2020届高三数学（理）“小题精练”23甲方：乙方：联系地址：联系地址：证件号码：证件号码：联系电话：联系电话：13.14.15.16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为()A．{3}B.{7}C．{3，7}D.{1，3，5}2．设复数z满足z(2－i)＝(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A.2 B.－C.D.3．设函数f(x)＝则f＝()A．－1 B.1 C．－D.4．已知p：∃x0∈R，3x0<x，那么綈p为()A．∀x∈R，3x<x3 B.∃x0∈R，3x0>x C．∀x∈R，3x≥x3 D.∃x0∈R，3x0≥x 5．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝()A．4 B.－4 C．±4 D.5 6．函数f(x)＝的图象大致为()7．某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置．如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()A.B.C.D.8．若点(，0)到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为()A.B.C.或D.9．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是()A．函数y＝f(x)的单调递减区间为B．函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到C．函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝D．若x∈，则y＝f(x)的取值范围是10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B间的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为()A．πB.2πC．3πD.4π11.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上．则四棱锥PABCD体积的最大值为()A．8 B.C．16 D.12．已知函数f(x)＝aln x－2x，若不等式f(x＋1)>ax－2ex在x∈(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B.[2，＋∞)C．(－∞，0]D.[0，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－1)，且a与b垂直，则x的值为________．14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________．15．抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________．16.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论中正确的有________．(写出所有正确结论的序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③异面直线AC与A1B成60°角；④AC1与底面ABCD所成角的正切值是.2020届高三数学（理）“小题速练”23（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为()A．{3}B.{7}C．{3，7}D.{1，3，5}解析：选B由图知，阴影区域表示的集合为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{1，3，5}，所以∁U(A∪B)＝{7}．故选B.2．设复数z满足z(2－i)＝(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A.2 B.－C.D.解析：选D法一：由已知得z＝＝＝＝－i，所以z＝＋i，所以复数z的虚部为.故选D.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z(2－i)＝，所以(2a＋b)＋(2b－a)i＝－4i，所以解得所以z＝－i，所以复数z的虚部为.故选D.3．设函数f(x)＝则f＝()A．－1 B.1 C．－D.解析：选A由题意，得f＝log2＝－1.故选A.4．已知p：∃x0∈R，3x0<x，那么綈p为()A．∀x∈R，3x<x3 B.∃x0∈R，3x0>x C．∀x∈R，3x≥x3 D.∃x0∈R，3x0≥x解析：选C因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x∈R，3x≥x3，故选C.5．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝()A．4 B.－4 C．±4 D.5解析：选A设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝＝4，解得q2＝2，所以a5＝a3q2＝4.故选A.6．函数f(x)＝的图象大致为()解析：选C法一：因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A、B；当x<0时，f(x)＝(x2－1)ex，则f′(x)＝(x2＋2x－1)ex，令f′(x)>0，得x<－1－，令f′(x)<0，得－1－<x<0，故f(x)在(－∞，－1－)上单调递增，在(－1－，0)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上有极大值．故选C.法二：因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A、B；又f(2)＝<1，比较可得C.故选C.7．某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置．如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()A.B.C.D.解析：选B法一：由题意，知该单词第三个字母有C种可能，最后两个字母有A种可能，所以所求概率P＝＝.故选B.法二：满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以所求概率P＝.故选B.8．若点(，0)到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为()A.B.C.或D.解析：选A由已知可得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.又点(，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为，即＝＝，所以3b2＝2c2.又b2＝c2－a2，所以3(c2－a2)＝2c2，即c2－3a2＝0，所以e＝＝，故选A.9．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是()A．函数y＝f(x)的单调递减区间为B．函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到C．函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝D．若x∈，则y＝f(x)的取值范围是解析：选D由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，故A错误；由于sin＝sin，所以函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，故C错误；由于x∈，所以2x－∈，当2x－＝时，f(x)min＝，当2x－＝时，f(x)max＝1.故选D.10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B间的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为()A．πB.2πC．3πD.4π解析：选D以A为原点，射线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3，0)．设M(x，y)，依题意有＝2，化简整理得x2＋y2－8x＋12＝0，即点M的轨迹方程为圆(x－4)2＋y2＝4，围成区域的面积为4π.故选D.11.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上．则四棱锥PABCD体积的最大值为()A．8 B.C．16 D.解析：选D设球O的半径为R，因为球O的表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2.如图，四棱锥PABCD底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形ABCD相邻两边长为x，y，则x2＋y2＝(2R)2≥2xy，当且仅当x＝y＝R时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD＝2R2.设点P到底面ABCD的距离为h.点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，PO＝R，即hmax＝R，则四棱锥PABCD体积的最大值为S正方形ABCDhmax＝R3＝.故选D.12．已知函数f(x)＝aln x－2x，若不等式f(x＋1)>ax－2ex在x∈(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B.[2，＋∞)C．(－∞，0]D.[0，2]解析：选Af(ex)＝ax－2ex，所以f(x＋1)>ax－2ex在(0，＋∞)上恒成立，等价于f(x＋1)>f(ex)在(0，＋∞)上恒成立．因为x∈(0，＋∞)时，1<x＋1<ex，所以只需f(x)在(1，＋∞)上递减，即x>1时，f′(x)≤0恒成立．因为f′(x)＝－2，所以x>1时，≤2恒成立，a≤2x，所以a≤2.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－1)，且a与b垂直，则x的值为________．解析：由a⊥b得a·b＝(3，1)·(x，－1)＝3x－1＝0，解得x＝.答案：14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)．又S3＝a5，则3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，所以am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2 021，解得m＝1 011.答案：1 011 15．抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________．解析：由题意知，焦点坐标为，准线方程为x＝－，点M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x1＋＝，解得x1＝3，所以y＝18，所以|OM|＝＝3.答案：3 16.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论中正确的有________．(写出所有正确结论的序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③异面直线AC与A1B成60°角；④AC1与底面ABCD所成角的正切值是.解析：①∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，BD⊄平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确．②∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又∵A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1，∵B1D1∩B1C＝B1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正确．③AC∥A1C1，△A1C1B为等边三角形，则异面直线AC与A1B成60°角，③正确．④∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，tan∠C1AC＝＝＝，④错误．综上所述，正确的结论有①②③.答案：①②③甲方（签字盖章）：乙方（签字盖章）：代表人（签字）：代表人（签字）：年月日年月日。
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