2020届高三数学（文）“大题精练”15甲方：乙方：联系地址：联系地址：证件号码：证件号码：联系电话：联系电话：17．（12分）函数部分图象如图所示：（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．18．（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，．（1）证明：；（2）若，，求点到平面的距离．19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；②求当天的利润不低于元的概率；（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．21．（12分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求的取值范围2020届高三数学（文）“大题精练”15（答案解析）17．【解析】（1）由图可得，，所以，所以，当时，，可得，因为，所以，所以的解析式为．（2），因为，所以，当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．18．【解析】（1）取中点，连，．∵是正三角形，∴．在中，，∴，∴平面，∴．（2）正中，，中，，∴，，∵，∴，∴中，，∴，∴．由（1）证得：平面，又为中点，∴，设到平面的距离为，，∴，∴．19．【解析】（1）当时，；当时，．（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：．②设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，∴，所以当天的利润不低于元的概率为．（3）若一天制作个蛋糕，则平均利润为；若一天制作个蛋糕，则平均利润为，∵，∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．20．【解析】（1）由题意得，解得，∵，，∴，，故椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，化简得，设，，，，，点到直线的距离，∵是线段的中点，∴点到直线的距离为，∴．综上，面积的最大值为．21．【解析】（1）依题意在上恒成立，即，在上恒成立，令，则当时，，所以，即实数的取值范围是．（2）依题意，所以，所以．不等式在时恒成立．即，即在时恒成立，令，则．因为，所以．当时，，所以函数在上单调递增，若，解得，与不符，应舍去；当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，．问题转化为恒成立时，求的最大值．令，则．当时，；当时，，所以在上单调递增，在单调递减，当时，．因为，所以，即恒成立．所以不存在整数使恒成立．综上所述，不存在满足条件的整数．22．【解析】（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为．（2）由，得，即直线的斜率为，从而，，由已知，设，，将代入，得，同理，将代入，得，所以．23．【解析】（1），当时，无解；当时，由，得，解得；当时，由，解得．所以的解集为．（2）由，得，设，当时，；当时，；当时，，∴，故实数的范围是．甲方（签字盖章）：乙方（签字盖章）：代表人（签字）：代表人（签字）：年月日年月日。
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