2020届高三数学（理）“小题精练”11甲方：乙方：联系地址：联系地址：证件号码：证件号码：联系电话：联系电话：13.14.15.16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足＝i，则z＝()A.＋i B．－i C．－＋i D．－－i 2．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝()A．(0，2)B．(－1，0)C．(－3，2)D．(－1，3)3．为了得到函数y＝sin 2x的图象，可以将y＝cos的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是()A．3 B．2 C．1 D．0 5．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为()A.里B．1 050里C.里D．2 100里6．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，2)D．(1，2]7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A.B．C.D．8．为了了解现在互联网行业的就业情况，某高校教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图1)和90后从事互联网行业者岗位分布图(如图2)，则下列结论中不一定正确的是(注：80后是指在1980～1989年(包含1980年与1989年)之间出生，90后是指在1990～1999年(包含1990年与1999年)之间出生，80前是指1979年及以前出生()A．互联网行业从业人员中80后的人数不超过一半B．互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的20%C．互联网行业中90后从事市场岗位的人数不足所有年龄从业者总人数的10%D．互联网行业中从事职能岗位的人数90后比80后多9．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝()A．2 B．2 C．3 D．4 10．已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为()A．12 B．10 C.D．2 11．设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A．1 B．2 C．3 D．4 12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是()A.B．C.D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．14．将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________．15．已知点M(0，2)，过抛物线y2＝4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF＝，则点B的坐标为________．16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．2020届高三数学（理）“小题速练”11（答案解析）1．解析：选C.解法一：因为＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i，故选C.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝i，所以1＋2(a＋bi)＝i－i(a＋bi)，所以2a＋1＋2bi＝b＋(1－a)i，所以，解得，所以z＝－＋i，故选C.2．解析：选B.由x2－x－2<0得－1<x<2，即A＝(－1，2)，由x2＋3x<0得－3<x<0，即B＝(－3，0)，所以A∩B＝(－1，0)，故选B.3．解析：选A.y＝cos＝sin，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后得函数y＝sin 2x的图象，故选A.4.解析：选C.构造正方体ABCDA1B1C1D1，如图，(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；(4)当过交线上一点时，④不一定正确．故正确命题个数是1个．5．解析：选C.由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700，则a1＝，则马14天走的总路程为＝(里)．故选C.6．解析：选D.依题意，解得1<a≤2，故实数a的取值范围为(1，2]，故选D.7．解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有CA＋CA＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为＝，故选C.8．解析：选D.对于A选项，由饼状图可知80后人数占了41%，故A正确；对于B选项，90后从事技术岗位的人数所占比例为6.%，由饼状图知90后人数占了56%，56%×6.%＝176.%>20%，故B正确；对于C选项，由饼状图知90后人数占了56%，56%×2.%＝392.%<10%，故C正确；对于D选项，因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚，所以无法判断，故D错误．故选D.9．解析：选D.由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由，消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，因为P(4，2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ>0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝×＝×＝4，故选D.10．解析：选B.由题意得：a·b＝－2×4＝－8，∴|a－3b|＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝9|b|2＋64.∵b在a上投影为－2，∴|b|min＝2，∴|a－3b|2＝9|b|2＋64≥9×22＋64＝100，∴|a－3b|＝≥＝10(－10舍去)，即|a－3b|min＝10.11．解析：选C.y′＝12x3－6x2－18x，所以切线l的斜率k＝y′|x＝1＝－12，所以切线l的方程为12x＋y－8＝0.联立方程得，消去y，得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，所以(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0，所以x1＝－2，x2＝，x3＝1，所以切线l与曲线C有3个公共点．故选C.12．解析：选B.当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B.13．解析：解法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)①，知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3②，②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．两边同时除以2n＋1可得＝·＋(n≥2)，令bn＝，可得bn＋1＝·bn＋(n≥2)．∴bn＋1＋1＝(bn＋1)(n≥2)，数列{bn＋1}是以b2＋1＝为首项，为公比的等比数列．∴bn＋1＝·(n≥2)，∴bn＝·－1(n≥2)．又b1＝－也满足上式，∴bn＝·－1(n∈N*)，又bn＝，∴an＝2nbn，即an＝3n－1－2n.∴a4＝33－24＝11.解法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，知S2＝3S1＋4－3，∴a2＝－1.S3＝3S2＋8－3，∴a3＝1.S4＝3S3＋16－3，∴a4＝11.答案：11 14．解析：解法一：如图，设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.由题意知圆柱为球O的内接圆柱，设圆柱底面圆的圆心为O1，半径为r，高为h，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1＝＝＝(0<r<5)，则圆柱的高h＝2，所以圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝2π.令y＝f(r)＝25r4－r6(0<r<5)，再令t＝r2，则y＝g(t)＝25t2－t3(0<t<25)，则g′(t)＝50t－3t2＝t(50－3t)，易知g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，函数g(t)取得最大值，即f(r)取得最大值，也即是圆柱的体积取得最大值，此时r2＝，h＝2＝.解法二：如图，设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.设圆柱的高为x(0<x<10)，圆柱底面圆的圆心为O1，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1＝，圆柱底面圆的半径O1A＝＝，所以圆柱的体积V＝π·x＝π(0<x<10)，则V′＝π，易知函数V＝π(0<x<10)在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，圆柱的体积V取得最大值．答案：15．解析：解法一：由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1，0)．如图易知点A是第一象限的点，点B是第四象限的点，因此设A(y0>0)，所以＝，＝(1，－2)．因为∠AMF＝，所以⊥，则·＝0，所以×1＋(y0－2)×(－2)＝0，整理，得y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，所以A(4，4)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程，得y2＝4，解得y＝4(舍去)或y＝－1，所以x＝，故点B的坐标为.解法二：由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1，0)，所以kMF＝＝－2.因为∠AMF＝，所以MA⊥MF，所以直线MA的斜率为，所以直线MA的方程为y＝x＋2，与抛物线方程y2＝4x联立，解得，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程，得y2＝4，解得y＝4(舍去)或y＝－1，所以x＝，故点B的坐标为.答案：16．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．(2)设顾客一次购买的水果总价为m元．由题意易知，当0<m<120时，x＝0，当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%，得x≤对任意m≥120恒成立，又≥15，所以x的最大值为15.答案：(1)130(2)15甲方（签字盖章）：乙方（签字盖章）：代表人（签字）：代表人（签字）：年月日年月日。
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