2020届高三数学(理)“小题精练”11甲方:乙方:联系地址:联系地址:证件号码:证件号码:联系电话:联系电话:13.14.15.16.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足=i,则z=()A.+i B.-i C.-+i D.--i 2.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|x2+3x<0},则A∩B=()A.(0,2)B.(-1,0)C.(-3,2)D.(-1,3)3.为了得到函数y=sin 2x的图象,可以将y=cos的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度4.已知两个平面相互垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题个数是()A.3 B.2 C.1 D.0 5.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走的总路程为()A.里B.1 050里C.里D.2 100里6.已知a>0且a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,那么实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]7.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A.B.C.D.8.为了了解现在互联网行业的就业情况,某高校教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图1)和90后从事互联网行业者岗位分布图(如图2),则下列结论中不一定正确的是(注:80后是指在1980~1989年(包含1980年与1989年)之间出生,90后是指在1990~1999年(包含1990年与1999年)之间出生,80前是指1979年及以前出生()A.互联网行业从业人员中80后的人数不超过一半B.互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的20%C.互联网行业中90后从事市场岗位的人数不足所有年龄从业者总人数的10%D.互联网行业中从事职能岗位的人数90后比80后多9.过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C:-y2=1相交于A,B两点,若P为AB的中点,则|AB|=()A.2 B.2 C.3 D.4 10.已知向量a,b满足|a|=4,b在a方向上的投影为-2,则|a-3b|的最小值为()A.12 B.10 C.D.2 11.设曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l,则切线l与曲线C的公共点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 12.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,则a4=________.14.将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱,则该圆柱的高为________.15.已知点M(0,2),过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A,B两点,若∠AMF=,则点B的坐标为________.16.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.2020届高三数学(理)“小题速练”11(答案解析)1.解析:选C.解法一:因为=i,所以1+2z=i-iz,所以z===-+i,故选C.解法二:设z=a+bi(a,b∈R),因为=i,所以1+2(a+bi)=i-i(a+bi),所以2a+1+2bi=b+(1-a)i,所以,解得,所以z=-+i,故选C.2.解析:选B.由x2-x-2<0得-1<x<2,即A=(-1,2),由x2+3x<0得-3<x<0,即B=(-3,0),所以A∩B=(-1,0),故选B.3.解析:选A.y=cos=sin,将函数y=sin的图象向右平移个单位长度后得函数y=sin 2x的图象,故选A.4.解析:选C.构造正方体ABCDA1B1C1D1,如图,(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,BD⊂平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故①错;(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内的任意一条直线,l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直,故②正确;(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故③错;(4)当过交线上一点时,④不一定正确.故正确命题个数是1个.5.解析:选C.由题意可知,马每天行走的路程组成一个等比数列,设该数列为{an},则该匹马首日行走的路程为a1,公比为,则有=700,则a1=,则马14天走的总路程为=(里).故选C.6.解析:选D.依题意,解得1<a≤2,故实数a的取值范围为(1,2],故选D.7.解析:选C.依题意,小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人,另外2个学校各1人,共有CA=36(种)分配方法,若小明必分配到甲村小学,有CA+CA=12(种)分配方法,根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为=,故选C.8.解析:选D.对于A选项,由饼状图可知80后人数占了41%,故A正确;对于B选项,90后从事技术岗位的人数所占比例为6.%,由饼状图知90后人数占了56%,56%×6.%=176.%>20%,故B正确;对于C选项,由饼状图知90后人数占了56%,56%×2.%=392.%<10%,故C正确;对于D选项,因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚,所以无法判断,故D错误.故选D.9.解析:选D.由已知可得点P的位置如图所示,且直线AB的斜率存在,设AB的斜率为k,则AB的方程为y-2=k(x-4),即y=k(x-4)+2,由,消去y得(1-2k2)x2+(16k2-8k)x-32k2+32k-10=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,因为P(4,2)为AB的中点,所以=8,解得k=1,满足Δ>0,所以x1+x2=8,x1x2=10,所以|AB|=×=×=4,故选D.10.解析:选B.由题意得:a·b=-2×4=-8,∴|a-3b|=|a|2-6a·b+9|b|2=9|b|2+64.∵b在a上投影为-2,∴|b|min=2,∴|a-3b|2=9|b|2+64≥9×22+64=100,∴|a-3b|=≥=10(-10舍去),即|a-3b|min=10.11.解析:选C.y′=12x3-6x2-18x,所以切线l的斜率k=y′|x=1=-12,所以切线l的方程为12x+y-8=0.联立方程得,消去y,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,所以(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,所以x1=-2,x2=,x3=1,所以切线l与曲线C有3个公共点.故选C.12.解析:选B.当-1<x≤0时,0<x+1≤1,则f(x)=f(x+1)=(x+1)x;当1<x≤2时,0<x-1≤1,则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2<x≤3时,0<x-2≤1,则f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3),……由此可得f(x)=由此作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知当2<x≤3时,令22(x-2)(x-3)=-,整理,得(3x-7)(3x-8)=0,解得x=或x=,将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(-∞,m]都有f(x)≥-,必有m≤,即实数m的取值范围是,故选B.13.解析:解法一:由Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)可得S2=3S1+1=3a1+1,即a2=2a1+1=-1.根据Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)①,知Sn+1=3Sn+2n+1-3②,②-①可得,an+1=3an+2n(n≥2).两边同时除以2n+1可得=·+(n≥2),令bn=,可得bn+1=·bn+(n≥2).∴bn+1+1=(bn+1)(n≥2),数列{bn+1}是以b2+1=为首项,为公比的等比数列.∴bn+1=·(n≥2),∴bn=·-1(n≥2).又b1=-也满足上式,∴bn=·-1(n∈N*),又bn=,∴an=2nbn,即an=3n-1-2n.∴a4=33-24=11.解法二:由Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,知S2=3S1+4-3,∴a2=-1.S3=3S2+8-3,∴a3=1.S4=3S3+16-3,∴a4=11.答案:11 14.解析:解法一:如图,设球的球心为O,半径为R,则4πR2=100π,解得R=5.由题意知圆柱为球O的内接圆柱,设圆柱底面圆的圆心为O1,半径为r,高为h,A是圆柱底面圆周上一点,连接OO1,OA,O1A,则OO1===(0<r<5),则圆柱的高h=2,所以圆柱的体积V=πr2h=2πr2=2π.令y=f(r)=25r4-r6(0<r<5),再令t=r2,则y=g(t)=25t2-t3(0<t<25),则g′(t)=50t-3t2=t(50-3t),易知g(t)在上单调递增,在上单调递减,所以当t=时,函数g(t)取得最大值,即f(r)取得最大值,也即是圆柱的体积取得最大值,此时r2=,h=2=.解法二:如图,设球的球心为O,半径为R,则4πR2=100π,解得R=5.设圆柱的高为x(0<x<10),圆柱底面圆的圆心为O1,A是圆柱底面圆周上一点,连接OO1,OA,O1A,则OO1=,圆柱底面圆的半径O1A==,所以圆柱的体积V=π·x=π(0<x<10),则V′=π,易知函数V=π(0<x<10)在上单调递增,在上单调递减,所以当x=时,圆柱的体积V取得最大值.答案:15.解析:解法一:由抛物线方程y2=4x知焦点F(1,0).如图易知点A是第一象限的点,点B是第四象限的点,因此设A(y0>0),所以=,=(1,-2).因为∠AMF=,所以⊥,则·=0,所以×1+(y0-2)×(-2)=0,整理,得y-8y0+16=0,解得y0=4,所以A(4,4),所以直线AB的方程为y=(x-1),即x=y+1,代入抛物线方程,得y2=4,解得y=4(舍去)或y=-1,所以x=,故点B的坐标为.解法二:由抛物线方程y2=4x知焦点F(1,0),所以kMF==-2.因为∠AMF=,所以MA⊥MF,所以直线MA的斜率为,所以直线MA的方程为y=x+2,与抛物线方程y2=4x联立,解得,所以直线AB的方程为y=(x-1),即x=y+1,代入抛物线方程,得y2=4,解得y=4(舍去)或y=-1,所以x=,故点B的坐标为.答案:16.解析:(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知,当0<m<120时,x=0,当m≥120时,(m-x)×80%≥m×70%,得x≤对任意m≥120恒成立,又≥15,所以x的最大值为15.答案:(1)130(2)15甲方(签字盖章):乙方(签字盖章):代表人(签字):代表人(签字):年月日年月日。
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