2025年高考全国一卷《数学》真题（原卷版）.pdf

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第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司2025年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

(1 5i)i+的虚部为（）A.1−B.0 C.1 D.62.设全集9U x x=是小于的正整数，集合{1,3,5}A=，则U Að中元素个数为（）A 0 B.3 C.5 D.83.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（）A.2 B.2 C.7 D.2 24.若点(,0)(0)a a是函数π2 tan3y x=−的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）A.

π4B.

π2C.

π3D.

4π35.设()f x是定义在R上且周期为2的偶函数，当2 3x时，()5 2f x x=−，则34f−=（）A.

12−B.

14−C.

14D.

126.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）.

第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司等级风速大小m/s名称2 1.1~3.3轻风3 3.4~5.4微风4 5.5~7.9和风5 8.0~10.1劲风A.轻风B.微风C.和风D.劲风7.若圆2 2 2(2)(0)x y r r++=上到直线3 2y x=+距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(3,)+D.(0,)+8.若实数x，y，z满足2 3 52 log 3 log 5 logx y z+=+=+，则x，y，z的大小关系不可能是（）A.x y zB.x z yC.y x zD.y z x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正三棱柱1 1 1ABC ABC−中，D为BC中点，则（）A.1AD AC⊥B.BC⊥平面1AADC.1//CC平面1AAD D.1 1//AD AB10.设抛物线2:6C y x=焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交3:2l x=−于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（）A.||||AD AF=B.||||AE AB=C.||6ABD.||||18AE BE的第3页/共4页学科网（北京）股份有限公司11.已知ABCV的面积为14，若1cos 2 cos 2 2sin 2,cos cos sin4A B C A B C++==，则（）A.2 2sin sin sinC A B=+B.2AB=C.

6sin sin2A B+=D.2 2 3AC BC+=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.若直线2 5y x=+是曲线exy x a=++的切线，则a=_________.

13.若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________.

14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望()E X=_________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20 180 200未患该疾病780 20 800合计800 200 1000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；（2）根据小概率值0.001=的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附22()()()()()n ad bca b c d a c b d−=++++，()2P x k…0.005 0 010 0.001k 3.841 6.635 10.82816.设数列na满足1 3a=，1 11(1)n na an n n n+=+++.

第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：nna为等差数列；（2）设21 2()mmf x a x a x a x=+++L，求(2)f−．17.如图所示的四棱锥P ABCD−中，PA⊥平面ABCD，,BC AD AB AD⊥∥．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）2,1 3,2PA AB AD BC===+=，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．（i）证明：O在平面ABCD上；（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．18.设椭圆2 22 2:1(0)x yC a ba b+=的离心率为2 23，下顶点为A，右顶点为B，||10AB=．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足3AR AP=．（i）设(,)P m n，求点R的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求||PM的最大值．19.设函数()5cos cos5f x x x=−．（1）求()f x在π0,4的最大值；（2）给定(0,π)，设a为实数，证明：存在[,]y a a−+，使得cos cosy；（3）若存在使得对任意x，都有5cos cos(5)x x b−+，求b最小值．的。

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