(网络收集)2026年天津数学卷高考真题带答案带解析文字版一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=(-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1},则(CuA)UB=()A.{-2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.{-2,0,1,2}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算、补集及并集运算.
U=(-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1,3}CuA={-2,2}B=(-2,0,1)∴(CvA)UB={-2,2,0,1}故选D2.设x∈R,则“x<0”是“x2-3x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查了充分条件、必要条件及一元二次不等式的解法.
当x2-3x>0知：x>3或x<0.
∴x<0→r2-3x>0,充分性成立.
x2-3x>0有x<0必要性不成立.
∴x<0是r2-3r>0的充分不必要条件.
故选：A3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.91,根据最小二乘法算得9=-1.17x+1370.7,下列说法正确的是()候鸟个数温度A.y与x呈负相关B.当x=10时，y一定为1359C.当x=10时，y一定小于1359D.两变量无线性回归关系【答案】A【解析】本题考查变量间相关关系、线性回归方程的意义.
对于A:回归方程y=-1.17x+1370.1,斜率为负，且相关系数r=0.91表示相关程度较高，故判断为负相关，A选项正确.
对于B:当x=10时，9=-1.17×10+1370.7=1359,回归方程所求9,得到的是预测值，实际值不一定等于预测值，B项错误.
对于C:由选项B分析可知C选项错误.
对于D:相关系数r=0.91,接近于1,说明两变量线性相关程度较高，故存在线性关系.
故本题选A.
4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()y4 oA.x+sinπTB.x-sinπxC.一x+sinπxD.r·sinπx【答案】C【解析】本题考查由函数图像识别函数解析式，考查函数奇偶性的判断及三角函数值的性质.
观察图像关于原点对称，应为奇函数，且f(1)<0对于A.若f(x)=x+sinx,f(-x)=-x-sinx=-f(x),f(x)为奇函数，但f(1)=1+sin1>0,排除A.
对于B.若f(x)=x-sin x,f(-x)=-x+sinx=-f(x),f(x)为奇函数，但f(1)=1-0=1>0,排除B.
对于C.若f(z)=-x+sinx,f(-x)=x-sinx=-f(z),f(x)为奇函数，f(1)=-1+0=-1<0,C正确.
对于D.若f(z)=rsinx,f(-x)=-rsin(-πx)=rsinπx=f(x),f(x)为偶函数，排除D.
故选C.
5.正方体ABCD-A?B?C?D?中，错误的是()A.ACⅡA?C?B.CC?⊥面ABCc.ACD?面A?C?BD.ADD?⊥面ACD?【答案】D【解析】本题考查空间线线关系、线面关系、面面关系的判定，考查线线平行的判定、线面垂直的判定、面面平行判定、面面垂直的判定.
对于A:正方体ABCD-A?B?C?D?中.易知AA?ⅡCC?且AA?=CC1,∴四边形A?ACC是平行四边形，∴AC||A?C?A正确.
对于B:正方体ABCD-A?B?C?D?中，易知CC?⊥AB、CC?⊥BC,ABn BC=B,∴CC?+面ABC,B正确.
对于C:由A选项知A?C?ⅡAC,AC c面ACD?,A?C?女面ACD?,:A?C?面ACD?,同理可证.C?B面ACD?A?C?nC?B=C?.A?C?C面A?C?B.C?B C面，∴面A?C?B面ACD?,C正确.
对于D:正方体ABCD-A?B?C?D?中.易知面ADD?与平面ACD?不垂直，故D错误.
故选D6.已知函数f(x)=|lnxl,若a=f(203),b=f(33).c=f(3-05)则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】A【解析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，利用其单调性比较函数值大小，考查分类讨论及数形结合的数学解题思想.
函数f)-1m=a-{-2<z1其图像如图：yy=f(xl-jlinxY0 1易知f(x)=|lnxl在[1,+∞单调递增。
又因为y=x在[1,+∞]单增，所以23<30.3y=3°在R上单增：3.3<30.5∴1<203<303<305∴f(23)<f(33)<f(35)由f(x)=|lnx|,∴f(35)=f(3-05)∴f(23)<f(33)<f(3-05)∴a<b<c故选A7.(x+(+的最小值为()A.10B.9C.8D.6【答案】B【解析】本题考查利用基本不等式求函数最值的方法。
(x+÷)(+)=z2++54≥2√2·z+5=924当且仅当=2(即x2=2,x=±√2)时取“=”故选B8.已知S2n-Sn=n,a3=6,则a?+ag=()A.68B.56C.-3D.-4【答案】C【解析】本题考查了数列前n项和Sn与通项am的关系、数列递推公式的应用.
由S2n-Sn=n①.
当n=1时，S?-S?=1即a2+a?-a1=1∴a2=1.
当n≥2时，S2(n-1)-Sn-1=n-1即S2n-2-Sa-1=n-1②.
①-②整理得:a2+a2-1-a=1③②式令n=2,a?+a3-a2=1a2=1,a3=6∴a?=-4③式令n=3,(+as-a3=1③式令n=4,ag+a?-a?=1∴ag+a?=1+a?=-3.
故选：C9.已知双曲线(-=1(a>0,b>O)的左焦点为F,A是右顶点，P是双曲线上一点，满足FA|=|FPI,∠FAP=30°,则双曲线离心率为()A.48B.38c.5D.3【答案】D【解析】本题考查双曲线的定义及其几何性质、余弦定理在解三角形中的应用.
△FPA中，|FA|=|FP|=a+C,∠FAP=30°∴∠APF=30°,∠PFA=120°,∠PAF’=150°由余弦定理：|API2=|FA2+|FPI2-2|FA||FP|cos 120°=2(a+c)2+(a+c)2=3(a+c)2:|AP|=√3(a+c)由双曲线定义：PF’|=|PF|+2a=a+c+2a=3a+c∴△PAF’中由余弦定理.
|PF’2=|PAl2+|AF’I2-2|PA|·|F’A|cos 150°(3a+c)2=[√3(a+c)2+(c-a)2-2(c-a)·√3(a+c)·(-)整理得：3c2-ac-4a2=0∴3e2-e-4=0∵e>1,e=3故选：D二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i是虚数单位，则(3+i)2=____.
【答案】8+6i【解析】本题考查复数的运算.(3+i)2=9+i2+6i=8+6i,答案为8+6i.
11.(x+2y)?展开式中3y的系数为_____.
【答案】8【解析】本题考查二项式定理，利用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
(x+2y)?中T+1=Cz?-(2y)°=CT2x?-y要得到3项需：{:=-∴r=1二所求项的系数为C{21=8.
答案为：812.在△ABC中，BC=4,AC=3,os A=-—,,则sin B=____.
316【答案】【解析】本题考查正弦定理的解三角形及同角三角函数关系.
△ABC中，cos A=--A∈(0.π).nA=v1-m2A=√1-(-÷=由正弦定理，BCA saCsinB=ABcA-3×平-3√答案为16.
13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，若有放回地取三次，则三次都没取到黄球的概率为_______;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是____.
837【答案】27,64【解析】本题考查独立重复试验概率计算、条件概率与对立事件应用.
第一空：策略中1+2+3=6个球，其中黄球有2个从6个球中取一个球，取不到黄球的概率p=?-2=6=3有放回的取三次，相当于三次独立重复试验.
∴三次都没有取到红球的概率R=(33=2第二空：设A:三次都没取到黄球B:三次至少取到一次红球.第二空要求的是P(B|A),先求P(B|A)在“没取到黄球”的条件下，只能取到红球或白球，共1+3=4个球.
1 3单次取到红球概率4,单次取到白球的概率4.
P(B|A即三次都没取到黄球的前提下，三次都没取到红PB4)=(3=32所以P(B|4)=1-P(Bl4)=1-27-347,37,答案为64.
8 37故答案为：第一空27;第二空64.
14.已知l@=a·b=1(6>1),设で=λa+u6,且a+b-c=0,则λ+u=_____;若|a+b-4=1,则λ+u=的取值范围是_______.
【答案】2,[1,3]【解析】本题考查向量的线性表示，向量模长的计算.
1y0及.Ω.B1 2 3其第一空：由飞=Aa+uB且a+B-飞=7∴7=a+B=λa+uB∴λ=u=1∴A+u=2第二空：设a与B夹角为8.
a=a.B=1∴|=·|6|·cosθ=1∴B|cosθ=1不妨设ā=(1,0),b=(1,1),C=(z,y)a+b-c=(2-x,-y)|a+b-c=1∴(x-2)2+y2=1设C=O,C点轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆.
当C=B时即C点落在A(1,1)处时.
C=λ7+ub(1,1)=X(1,0)+u(1,1)=(λ+u,u)A+u=1取得最小值当C=(3,1时，即C点落在B(3,1)处时.
Z=λa+ub(3.1)=(λ+u,u)A+u=3.取得最大值.
答案为[1,3]故答案为：第一空2;第二空[1,3].
15.在平面内，0为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为YA、YB、yc、YD.直线AB与直线CD交x轴于点P,直线AC交x轴于点M,直线BD交x轴于点N.以下说法正确的有___.
①若M与抛物线焦点重合，则ABB=-2;②JA·YB=yc·YD;③OM||ON|=2|OP|2;④yB-yc)|OP|=(yB-yD)|OM;SAHecr=(1OP【答案】②⑤【解析】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系.
∵A、B、C、D均在抛物线y2=2r上.
∴A(号，ya)B(·ya)C(子，Bc)D(鲁，y)过两点(2,3)(2.:B)的直线方程：-班=2n(2),令y=0,与x轴交点横坐标r=-2对于①.抛物线焦点(2·0,mM(,0..取从A=1、VB=2、yc=1、YD=-2此时9AUB=-2故①错误对于②.直线AB与CD交于P,设P(P,0)则p=-2B=_c2∴YAUB=ycYD.②正确.
对于③.由通用公式IOMI=I-2CI,1ONI=|-2D,IOPl=1-2EIOM·1ONI=|AVBcD由②YAUB=ycyD设YAYB=ycyD=k.
10MIONI=2|OP2=2.是=2显然|OM||ON|≠2|OP2.故③错误对于④IOP=|-2,IOMI=|-2c(yB-yc)|OP|=lyB-ybl|OM|即yB-ycl29B=(yB-y0)2不一定恒等。④错误对于⑤.S△AcP=-lOP-OM·Isal S△BPD=?|OP-OM]·Iysl又OMI=12°IIONI=i2CIOPl=12以及AJB=3cSDSaBep2=(1O?..⑤正确.
答案为：②⑤三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数(2)=sin(2z+若).
(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当xeI-6121时，求f(x)的最大值和最小值；(III)若a∈(0,),sina=3求f(a)的值.
【答案】(1)π(Ⅱ)最大值2,最小值2(m22√6+1【解析】本题考查正弦型函数的周期及最值，考查简单的三角恒等变换(两角和的正弦公式及二倍角的正、余弦公式)同角三角函数基本关系求值.
(I)f(x)=sin(2x+6)T=2=2=7.
()∈I-6122x∈1-3·62x+?∈-6·3,令=2r+6y=sint在-6·)单增当--m2+--时，”m=sm-)=-当=3m2+6一3时，6=i-=2f(2)m--()---IⅢ)ae(0,),sna=望a=√1-(学P=sn2=2sina cosa=2×3×3-23cos 2a=1-2sin2a=1-2×(32=3f(a)=sin(2a+6)=sin2o cs?+cs2osng=232×+×立=2√6+117.在长方体ABCD-A?B?C?D?中，AB=2,AA?=3,AD=4,A?E=3ED?,2C?F=FC.
E DGAFB D:AB(1)求证：BD一面CEF;(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥A-CEF的体积.
【答案】(1)4oE?C?FB?迎IcyABx证明：长方体ABCD-A?B?C?D?中，如图建立空间直角坐标系AB=2,AA?=3,AD=4A?E=3ED;,2C?F=FC∴D(0,0,0),B(4,2,0)C(0,2,0),E(1,0,3)F(0,2,2),A(4,0,0)∴BD=(-4,-2,0)CE=(1,-2,3)CF=(0,0,2)∴BD·CE=0,BD⊥CEBD·CP=0.BD⊥CF∴BDICEBD⊥CFCEnCF=F∴BD⊥面CEF(2)5(3)2【解析】题考查空间向量在立体几何中的应用，空间线面垂直的判定求面面角及三棱锥体积的计算.
z?pEC?AF?JcB(1)证明：长方体ABCD-A?B?C?D?中，如图建立空间直角坐标系AB=2,AA?=3,AD=4A?E=3ED1,2C?F=FC∴D(0,0,0),B(4,2,0)C(0,2,0),E(1,0,3)F(0,2,2),A(4,0,0)∴BD=(-4,-2.0)CE=(1,-2,3)CF=(0,0,2)∴BD·CE=0.BD⊥CEBD.CF=0.BD⊥CF∴BD⊥CEBDICFCENCF=F∴BD⊥面CEF(2)由(1)知BD是面CE的一个法向量BD=(-4,-2,0)又∵AE=(-3,0,3)AF=(-4,2.2)设π⊥平面AEF,π=(z,y,z)∴π·AE=-3x+3z=0π·AF=-4x+2y+2z=0令x=1,z=1,y=1∴π=(1,1.1)l(BD,7)一--P+(-2P·-5∴面AEF与面CEF夹角余弦值(3)在D?C?上取点E使C?E?=3E?D?∵A?E=3ED?∴EE?|A?G?,A?G?|AC∵EE?|AC.
EE?面ACF,ACC面ACF..EE?面ACF.
∴E到面ACF的距离与E1到面ACF的距离相等.
∴V三棱锥A-CEP=Ve-ACE=VB-ACF=VA-ECF∴C?D?=AB=2.
C?E?=3E?D?C?E=3CD?=3×2=2,CF=2C?FCF=2CCi=2SaF?ce=-×CF×E?C?i=2×2×3=2Va-E?CF=÷×AD·SAEiCF==×4×3=2所求三棱锥体积为2.
18.已知椭圆c:2+2=1(a>b>0 2,柿圆被直线x-6截的线段长为√3(I)求C的标准方程；(Ⅱ)斜率为-√3的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x?,y),Q(r2:y?kh<y2),A是椭圆上顶点.记直线AP,AQ的斜率分别为k1:k2求【答案】(1)柔+学=1()3.
【解析】本题考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆，直线与圆的位置关系.
(1)e==c=2又c2=a2-b2∴b2=a2-2=a2-2=3①x=b代入+最=2由①②2=32∴.B=±。
a=√3a=2.
a2=4.
bB=32=3标准方程+学=1(Ⅱ)由(1)知b2=3,二圆方程：x2+y2=3设直线方程y=-√3r+m,与圆相切∴圆心(0,0)到直线√3r+y-m=0距离等于半径√√3P+P-5∴m=2√3或m=-2√3联立{+-+m消去y整理得15z2-8√3mx+4m2-12=0①当m=2√5Hom52-16x+12=0,1=一三，x=2当一5,”=5,x?=2Hy?=0∵y<y2∴P(2,0),e5-45A0、5)加=kLu-=-=Ahg--=(一2×(-6)=3当m=-2√3时，①即5x2+16x+12=0.
x?=-2.72=-当=-2时?:72=-5时，n=-43班<y?,∴P(-453,Q(-2.0)若A(0,v3)A=kun=-√3-3=kng=2-×(3)=3综上：=319.已知等差数列{an}与等比数列{ba}满足a1=2,b?=1,a2=b?+b2,a?=b?-bi.
(1)求数列(am),(bm)的通项公式；(2)记En={x∈R|z≤n,k∈N,x=a或x=b},记Ca为E中的元素个数.
(I)求C3;(II)求Z-9s【答案】(1)an=2n,bn=3#-1(2)(i)3”+2+1(ii)【解析】本题考查等差数列、等比数列基本量的计算，及数列求和的技巧，集合概念的证明。
(1)由已知{aa}等差数列，{ba}等比数列，设公差d,公比q,a1=2,b?=1=1-一+0-{2+3=±一1{a=3∴an=2+(n-1)×2=2n.
bn=1×3-1=3”-1(2)(i)E?={z∈R|z≤n,3k∈N°,x=a*且x=b}∴a=2,4,6.⋯,2k.ak为偶数b=30,3,32,⋯,3“-1.b4为奇数.
{a对与(b无公共元素∴E?={3°},c?=1E?={3°.2},c?=2E?={3°,2.31}=3个E?n={3°,2,31,4,6,8,32,⋯,3”-1,3?-1+1,⋯3”-1,3"}3”-1满足a≤3”的k有2个满足b≤3”的k有n+1个.
.Cs=3°21+n+1=3°+2n+1(ii)20.已知f(x)=e-2sinx(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当re1-3,+∞时，证明f(4)≥1+3:(3)求实数a的最大可能值，使得r··r·⋯r·2(n+1),,对任意的n∈N都成立.
【答案】(1)切线方程为：==2+1.
(2)由f(z)≥1+5即e-2sinx≥+1即证e2≥2sinx+=+1当x≥0时，x≥sin r.
只需证≥2+÷+1即e?-x-1≥0.
令9(z)=e2-r-1g(x)=e2-1≥0g(x)在[0,+∞单调递增g(z)≥g(0)=0e2≥x+1即2>sinx++1当家×<O时：令：h(x)=e?--sinx--x-1K(t)=e--osx-()=K(a)=e-2--U(c)=e+2sinz≥x+1+2sinxp(z)=x+1+2sinxP(4)=1+2sr>0p(x)在(一-O单调递增.
p(z)≥P-=)=-3+1+2sin(--)3(1-sn3)>0.
1(x)在(一：0)单调递增而h(x)在(-0单调递增n(0)=e°-aso-=0.
∴h(x)≤h(0)<0.
∴h(x)在(一-04单调递减h(0)=e°-2in0-0-1=0.
∴h(x)≥h(0)即-2sinr≥x+1.
综上：[(2)≥1+3恒成立.
(3)【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数证明不等式，数列中累乘法的思想及不等式恒成立问题。
(1)f()=e2-2inx f(0)=e°--sin0=1切点(0.1)了()=e--osxk=f(0)=e°--so=5二切线方程：v==x+1.
(2)由f(z)≥1+5即e2-2inz≥5*+1即证e2≥2sinx+=+1当x≥0时，x≥sinx.
只需证e≥2+=+1即e-x-1≥0.
令9(z)=e2-x-1g(x)=e2-1≥0g(x)在0,+∞单调递增g(z)≥g(0)=0..e≥x+1即>3sinx++11当3<x<0时：令：h(x)=e-{sinx--r-1K()=e2--sx-()=H(x)=e--osx--U()=e2+?sinz≥x+1+3sinxp(z)=x+1+2sinxp(z)=1+号osx>0∴p(x)在(一-0)单调递增.
p(c)≥p-)=-+1+2sim(--)=3(1-sin3)>0.
1(x)在(一3,0单调递增而h(x)在(一-O单调递增K(0)=e°--s0-=0.
∴h’(x)≤h(0)<0.
∴h(x)在(一3-0)单调递减h(0)=e°-2sin0-0-1=0.
∴h(x)≥h(0)即2--sinx≥x+1.
工综上：“f(z)≥1+3恒成立.
(3)。
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