数学试题及解析第1页（共3页）2025考研数学（二）真题试卷及解析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设函数(,)z z x y=由2ln d 0x tyz z e t−+−=∫确定，则z zx y∂∂+=∂∂A．()2 21x yz e ez−−−+．B．()2 21x yz e+ez−−+．C．()2 21x yz e ez−−−−+．D．()2 21x yz e ez−−−++．1.【答案】A【解析】，分别对求偏导，得：2.已知函数()20e sin dx tf x t t=∫，()2 20e d sinx tg x t x=∫，则A．0x=是()f x的极值点，也是()g x的极值点．B．0x=是()f x的极值点，()0,0是曲线()y g x=的拐点．C．0x=是()f x的极值点，()0,0是曲线()y f x=的拐点．数学试题第2页（共3页）D．()0,0是曲线()y f x=的拐点，()0,0也是曲线()y g x=的拐点．【答案】B【解析】2 2 2()sin,()2 sin cosx x xf x e x f x xe x e x′′′==+(0)0,(0)1 0f f′′′==>.
0x=是()f x的极值点.
2 220()sin sin 2xx tg x e x x e dt′=+∫,2 2 2 220()sin 2 2 sin sin 2 2cos 2xx x x tg x e x xe x xe x e dt′′=+++∫(0)0,(0)0,(0)0g g g′′′′′′==>.
(0,0)是()y g x=的拐点.
3.如果对微分方程()0y-2ay+a+2 y′′′=任一解()y x，反常积分()dy x x∞∫+0均收敛，则a的取值范围为A.2 1]−−(，.B.1]−∞−(，.
C.2−(，0).D.−∞(，0).
3.【答案】C【解析】当时，4 0y y′′′+=，通解：，时，不收敛.
故B、D排除.
当时，，通解：收敛.
数学试题第3页（共3页）4.设函数()f x，()g x在0x=某去心邻域内有定义且恒不为0，若0x→时，()f x是()g x的高阶无穷小，则当0x→时A.()()()()f x g x g xo+=.
B.()()()()2f x g x f xo=.
C.()()()e 1g xf x o=−.
D.()()()2f x g xo=.
4.【答案】C【解析】由题易知，时，是高阶无穷小.
则有及，.
又，在某去心邻域内有定义且不恒等于0.
故对于选项，等式两端同除得：取极限得即，显然A不成立.
对于B选项，等式两端同除得两端取极限得,即，显然不成立.
对于C选项，等式两端同除得数学试题第4页（共3页）取极限得显然有，故正确.
对于D等式两端同除得取极限得，显然不成立.
综上选C.
5．设函数(,)f x y连续，则()22 42 4d,dxx f x y y−−=∫∫A．()()4 4 20 2 4,d,d dyyf x y x f x y x y−−−−+∫∫∫．B．()()4 4 20 2 4,d,d dyyf x y x f x y x y−−−+∫∫∫．C．()()4 4 40 2 2,d,d dy yf x y x f x y x y−−−−+∫∫∫．D．()4 20 42 d,dyy f x y x−∫∫．【答案】A【解析】由题易知，此二重积分积分区域为数学试题第5页（共3页）{}2D(,)4 4,2 2x y x y x=−≤≤−≤≤，对应图像为上图所示。
记{}21(,)4 4,2 0D x y x y x=−≤≤−≤≤，{}22(,)4 4,0 2D x y x y x=−≤≤≤≤，且()22 42 4I=d,dxx f x y y−−∫∫，则()()1 2I=,d,dD Df x y f x yσσ+∫∫∫∫，交换积分次序得()()()()4 4 4 20 2 0 44 4 20 2 4I=d,d d,d,d,d dyyyyy f x y x y f x y xf x y x f x y x y−−−−−−−−+=+∫∫∫∫∫∫∫故A正确。
6.设单位质点,P Q分别位于点(0,0)和(0,1)处，P从点(0,0)出发沿x轴正向移动，记G为引力常量，则当质点P移动到点(,0)l时，克服质点Q的引力所做的功为（）A.20d1l G xx+∫B.3220d(1)l Gx xx+∫C.3220d(1)l G xx+∫D.3220(1)d(1)l G x xx++∫【答案】A【解析】由题可知，其对应如图所示.
单位质点P与单位质点Q之间的引力为数学试题第6页（共3页）其中为两质点间的距离.
旦由图可知又引力F在方向上的力投影为.
故克服引力做功为：1 132 20 02 210d d d(1)1(1)xG x GxF x x xWx x x==+++=∫∫∫7.设函数()f x连续，给出下列4个条件：①0()(0)limxf x fx→−存在；②0()(0)limxf x fx→−存在；③0()limxf xx→存在；④0()(0)limxf x fx→−存在.
其中可得到“()f x在0x=处可导”的条件个数为A.1.B.2.C.3.D.4.
7.【答案】B【解析】①.或为正.
数学试题第7页（共3页）若为正，则当0x→时.有.则⇒若，()()00limlimxxf xAxf xAx+−→→=⇒−=，则存在，若，则不存在.
②由，则若，则若，则从而②成立.
③由存在，则.则同①，从而③错.
④存在，则在处可导在处可导，④正确.
从而①③错误，②④正确，选B.
8.设矩阵1 2 02 00 0ab有一个正特征值和两个负特征值，则（）A.4,0a b>>B.4,0a b<>C.4,0a b><D.4,0a b<<【答案】D【解析】数学试题第8页（共3页）令1 2 02 00 0A ab=，为实对称矩阵，对应二次型为()2 2 21 2 3 1 2 3 1 2,4,f x x x x ax bx x x=+++，则用配方法将其化为标准型，()()2 2 21 2 3 1 2 2 32(,4),f x x x x x a x bx=++−+。已知A有一正两负特征值，则4 0 40 0a ab b−<<⇒<<，故选D.
9.下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵1 1 0 10 0 1 20 0 0 0的是A.
1 1 0 11 2 1 3.
2 3 1 4B.
1 1 0 11 1 2 5.
1 1 1 3B.
1 0 0 10 1 0 3.
0 1 0 0D.
1 1 2 31 2 2 3.
2 3 4 69.【答案】B【解析】A选项：B选项：C选项：数学试题第9页（共3页）D选项：数学试题第10页（共3页）10.设3阶矩阵,A B满足()=()1,r r+AB BA则A.方程组(+)=0A B x只有零解.
B.方程组=0Ax与方程组=0Bx均只有零解.
C.方程组=0Ax与方程组=0Bx没有公共非零解.
D.方程组=0ABAx与方程组=0BABx有公共非零解.
【答案】D【解析】取,则，.
，.排除B，C.
，排除A,故选D.
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.设()1d ln 22a xx x a+∞=+∫，则______a=.
【解析】2a=.
数学试题第11页（共3页）原式11d ln ln(2)(2)a x x x ax x a+∞+∞==−++∫11d ln ln(2)(2)a x x x ax x a+∞+∞==−++∫1lim ln ln lim ln(2)2 2x xx x ax a a x a→+∞→+∞=−=+++++1ln ln(2)ln 22ln(2)2 ln 2 2aa a∴++=+=⇒=12.曲线3 3 23 1y x x=−+的渐近线方程为______.
【解析】可得无水平渐近线、铅直渐近线，故求斜渐近线即可.
故13.()21 1 2 1lim ln 2ln 1 ln______nnnn n n n→∞−+++−=.
【解析】数学试题第12页（共3页）数学试题第13页（共3页）14.已知函数()y y x=由()221ln 1 2,2 e d 0y t ux tt u+−=+−=∫确定，则0d______d tyx==.
【解析】由②两边关于求导，则当时,则.
15.微分方程()()2 3 d 2 5 d 0y x x x y y−+−=满足条件()1 1y=的解为______.
【答案】2 23 4 5 4x xy y−+=【解析】解：2 2(2 3)d(2 5)d 02 d 2 d 3 d 5 d 03 5d(2)d()d()02 2y x x x y y=y x x y x x y y=xy x y=−+−⇒+−−⇒−−即2 22 23 5d(2)02 23 522 2xy x y=xy x y c−−⇒−−=数学试题第14页（共3页）又因为(1)1y=则3 52,22 2c c−−=⇒=−即2 22 23 52 22 23 4 5 4xy x yx xy y−−=−−+=则所求方程为22 20 115x xy+−=.
16.设矩阵()1 2 3 4,,,=A a a a a，若1 2 3,,a a a线性无关，且1 2 3 4+=+a a a a，则方程组1 44=+Ax a a的通解为______=x.
【答案】1 11 01 01 4k+−−，k为任意常数【解析】由于1 2 3 4αααα+=+，故1 2 3 4,,,αααα线性相关；且已知1 2 3,,ααα线性无关，则()3r A=。那么1 44Axαα=+等价于()1 2 3 4 1 410,,,404αααααα⋅=+，故1004是1 44Axαα=+的一个特解。又因为1 2 3 4αααα+=+，即1 2 3 4 0αααα+−−=，则()1 2 3 411,,,011αααα⋅=−−。由()4 3 1s n r A=−=−=可得，1111−−是0Ax=的一个基础解数学试题第15页（共3页）系，故1 44Axαα=+的通解为1 11 01 01 4k+−−，其中k为任意常数。
数学试题第16页（共3页）三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）计算()()1201 d.
1 2 2xx x x+−+∫17．解：()1 1220 011 2 2(1)2 2A Bx Cdx dxx x xx x x+=++−++−+∫∫1201 1 35 3 51 2 2xdxx x x−+=++−+∫1 1 120 0 02 3 1ln 2π1 1ln|1|ln 2 2 a0 1rctan(1)5 10 5 10x x x x==+−++−−+.
18.（本题满分12分）设函数()f x在0x=处连续,且()()()2sin0e 1lim 3.
ln 1 ln 1xxxf xx x→−+=−++−证明()f x在0x=处可导,并求()0.f′18解：已知()()()2 2 2 2 2 21 1ln(1)ln(1)2 2x x x x o x x x o x x o x++−=−+−−+=−+()()2sin 2 2 2 211 2sin(2sin)1 2sin 2sin2xe x x o x x x o x=+++=+++因此，()()2 22sin2 20 0()1 2sin 2sin 1()13 lim limxx xxf x x x o xxf x ex x→→−++++−+−==−−22 20 0()2sin 2sinlim limx xxf x x xx x→→−−=+−−数学试题第17页（共3页）可以得出20()2sinlim 5xxf x xx→−=−−，()3 3201()26lim 5xxf x x x o xx→−−+=,进一步可以得出20()2lim 5xxf x xx→−=,以及0()2lim 5xf xx→−=,0lim[()2]0xf x→−=，可得0lim()2(0)xf x f→==，故0()2(0)lim 5xfxxf→−′==。
数学试题第18页（共3页）19.（本题满分12分）设函数(),f x y可微,且满足()()()2d,2 e d e 1 d,0,0 2,y yf x y x x x y y f−−=−+−−=求(),f x y，并求(),f x y的极值.
19.解：2 2 22(,)().()(1)()(1)()(2)y y y y yyyf fxe f x y x e y x e y e x y ex yy y ey y e Cϕϕϕϕ−−−′−−′−−∂∂=−⇒=−+=+=−+∂∂=−+=++⇒则则则2(,)(2)(0,0)2,C 0y yf x y x e y e Cf−−=−+++=⇒=又2(,)(2).y yf x y x e y e−−=−++则22 0 01(1)0yyf xe xxf ye x yy--ì¶=-=ïì=¶Þ¶=-ïïî=--=ï¶î则驻点（0，-1）2 22,2,(1)()y y y y yxx xy yyf e f xe f e x y e e x y-----=-==---=-在点（0，-1）处2,0,A e B C e=-==-则2 0,0,AC B A从而-><(,)0 1f x y在（，）处有极大值，且极大值为-(0,1)f e-=20.（本题满分12分）数学试题第19页（共3页）已知平面有界区域(){}2 2 2 2,|4,4,D x y x y x x y y=+≤+≤计算()2 d d.
Dx y x y−∫∫【答案】16123π−由题可知，积分区域{}2 2 2 2 2 2(,)(2)2,(2)2D x y x y x y=−+≤+−≤∣对应图形为右图所示，显然积分区域关于y x=对称记{}2 2 21(,)(2)2,D x y x y y x=+−≤∣{}2 2 22(,)(2)2,D x y x y y x=−+∣故1 22 2 2()()()D D DI x y dxdy x y dxdy x y dxdy=−=−+−∫∫∫∫∫∫122()Dx y dxdy=−∫∫令cos.sinx r y rθθ==则在积分区域1D上有0 4cos04rθπθ则()()1 14cos2 2 2 2 240 0()2 2 cos sinD Dx y dxdy x y xy dxdy d r r rdrπθθθθ−=+−=−∫∫∫∫∫∫()4 4cos 3 30 082 cos sin 63d r r drπθθθθπ=−=−∫∫故8 162(6)123 3Iππ=−=−.
21.（本题满分12分）设函数()f x在区间(),a b内可导.证明导函数()f x′在(),a b内严格单调增加的充分必要条件是:数学试题第20页（共3页）对(),a b内任意的1 2 3,,x x x,当1 2 3x x x<<时,()()()()2 1 3 22 1 3 2.
f x f x f x f xx x x x−−<−−解：充分性：若对(,)a b内任意的1 2 3,,x x x，当1 2 3x x x<<时，都有()()()()2 1 3 22 1 3 2f x f x f x f xx x x x−−<−−则在(,)a b内取任意的1 2 3 4 5x x x x x<<<<，有()()()()()()()()2 1 3 2 4 3 5 42 1 3 2 4 3 5 4f x f x f x f x f x f x f x f xx x x x x x x x−−−−<<<−−−−在()()()()2 1 3 22 1 3 2f x f x f x f xx x x x−−<−−两边同时令2 1x x+→，得()()()3 113 1f x f xf xx x+−′≤−，两边同时令2 3x x−→，得()()()3 133 1f x f xf xx x−−′≤−，即()()()()3 11 33 1f x f xf x f xx x+−−′′≤≤−，同理可得()()()()3 13 53 1f x f xf x f xx x+−−′′≤≤−.因为()()()()3 1 5 33 1 5 3f x f x f x f xx x x x−−<−−，所以()()1 5f x f x+−′′≤.由1 5,x x的任意性，可得()f x′在(),a b内严格单调递增，充分性得证。
再证必要性，即已知()f x′单调递增，在[][]1 2 2 3,,,x x x x上分别使用拉格朗日中值定理，知存在()()1 1 2 2 2 3,,,x x x xξξ∈∈，使()()()2 112 1f x f xfx xξ−′=−，()()()3 223 2f x f xfx xξ−′=−，又由()f x′单调递增，且1 2ξξ<知，()()1 2f fξξ′′<，即()()()()2 1 3 22 1 3 2f x f x f x f xx x x x−−<−−，必要性得证。
数学试题第21页（共3页）综上所述，充要条件得证。
22.（本题满分12分）已知矩阵4 1 21 1 12 1 a−=−A与0 00 6 00 0 0k=B合同.
(1)求a的值及k的取值范围;(2)若存在正交矩阵,Q使得T,=Q AQ B求k及.Q（1）A与B合同知，二者有相同的正负惯性指数显然，B的特征值为K、6、0，故有特征值0.故.
计算得，即有.
此时.
知的特征值为3、6、0.P=2.故k>0.
(2)由，知.
故、相似，特征值相同，故.对A:时，解，，时，解，时，解再单位化得：.
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