2021考研数学真题及答案解析数学(三)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)当x→0时，是x⁷的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【详解】因为当x→0时，,所以是x⁷高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数,在x=0处(A)连续且取极大值.(B;连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(2可导且导数不为0.【答案】D.【详解】因为,故f(x)在x=0处连续；因为,故,正确答案为D.(3)设函数f(x)=ax··brx(a>0)(A)(e,+∞).(B)(0,e).有两个零点，则的取值范围是①(C)(0,【答案】A.【详解】令f(x)=ax-blnx=0,,令f’(x)=0有驻点从而,可得正确答案为A.(4)设函数f(x,y)可微，f(x+1,e*)=x(x+1)²,f(x,x²)=2x²Inx,则df(1,1)=(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)dy.
(D)-dy.
【答案】C.【详解】f(x+1,e*)+ef₂(x+1,e*)=(x+1)²+2x(x+1)f’(x,x²)+2xf₂’(x,x²)=4xlnx+2x①②分别将带入①②式有f’(1,1)+f2(1,1)=1,f(1,1)+2f2(1,1)=2联立可得f(1,1)=0,f2(1,1)=1,df(1,1)=f(1,1)dx+f(1,1)dy=dy,故正确答案为C.(5)二次型f(x,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x₁)²的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【详解】f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x₁)²=2x₂²+2x,x₂+2x₂x₃+2x₁x₃所以,故特征多项式为令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.(6)设A=(a₁,α₂,α₃,α₄)为4阶正交矩阵，若矩阵,k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=(A)α₂+α₃+α₄+ka.(B)α₁+α₃+α₄+ka₂.(C)α₁+α₂+α₄+ka₃.(D)α₁+α₂+α₃+ka₄·【答案】D.【解析】因为A=(α,α₂,α₃,α₄)为4阶正交矩阵，所以向量组α,α₂,α₃,α₄是一组标准正交向量组，则r(B)=3,又,所以齐次线性方程组Bx=0的通解为ka₄.而,故线性方程组Bx=β的通解x=α₁+α₂+α₃+k a₄,其中k为任意常数.故应选D.(7)已知矩阵,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取(C【答案】C.【解析】=(F,P),则,则.故应选C.(8)设A,B为随机事件，且0<P(B)<1,下列命题中不成立的是(A)若P(A|B)=P(A),则P(A|B)=P(A).(B)若P(A|B)>P(A),则P(A|B)>P(A)(C)若P(A|B)>P(A|B),则P(A|B)>P(A).(D)若P(A|AUB)>P(A|AUB),则P(A)>P(B).【答案】D.【详解】因为P(A|AUB)>P(A|AUB),固有P(A)>P(B)-P(AB),故正确答案为D.(9)设(X,Y),(X₂,Y₂),…,(X,Y)为来自总体i的简单随机样本，令θ=从-H₂,,θ=x-Y则(A)E(θ̂)=θ(B)E(O)=θ,(C)E(θ)≠θ,(D)E(θ)≠θ,【答案】B【详解】因为X,Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则X-Y也服从二维正态分布，即E(Ô)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ-μ₂=θ,,故正确答案为B.(10)设总体X的概率分布为,利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得θ的最大似然估计值为AB①(D)【答案】A.【详解】似然函数取对数l求导,得.故正确答案为A.二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(11)若y=cose-√,【答案】【详解】【答案】6.【详解】(13)设平面区域D由曲线y=√x·sinπx(0≤x≤1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为【答案】(14)差分方程△y,=t的通解为·【答案】,C为任意常数.【详解】y=C,,(t+1)(a(t+1)+b)-t(at+1)=t,2at+a+b=t,,C为任意常数.(15)多项式【答案】-5.【详解】所以展开式中含x³项的有-x³,-4x³,即x³项的系数为-5.(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数【答案】【解答】联合分布率,即三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本小题满分10分)已知存在，求α的值.【答案】【详解】.要想极限存在，则左右极限相等；又由于从而即(18)(本小题满分12分)的极值.【答案】(-1,0)处取极小值2;处取极小值【详解】(1)即得驻点(-1,0),(2(3)驻点(-1,0)处，A=3,B=0,C=1,AC-B²=3>0,A>0故f(x,y)在(-1,0)处取极小值2;驻点处，A=24,B=0,C=4,AC-B²=3>0,A>0故f(x,y)在处取极小值·(19)(本小题满分12分)设有界区域D是x²+y²=1和直线y=x以及x轴在第一象限围城的部分，计算二重积分【答案】其中(20)(本小题满分12分)设n为正整数，y=y,(x)是微分方程xy′-(n+1)y=0满足条件的解.(1)求y,(x);(2)求级数的收敛域及和函数.【答案】】(1);(2)收敛域[-1,1],(1)得,将的收敛域为[-1,1]带入，有又因为S(x)在[-1,1]连续，所以(21)(本小题满分12分)设矩阵仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P,使P-¹AP为对角矩阵.【详解】当b=3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则,a=-1,此时，2=2=3所对应特征向量为2₃=1所对应的特征向量为,则当b=1时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则,知a=1,此时，2=λ₂=1所对应特征向量为则2₃=3所对应的特征向量为(22)(本小题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.(3)求【答案】(1)【详解】(1)由题知：(2)由y=2-x,即先求Z的分布函数：当z<1时，F₂(z)=0;当z≥1时，。
