绝密★启用前试卷类型：考研数学2024年全国硕士研究生招生考试数学(二)(科目代码：302)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。6.本次考试时长为3小时。(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名2024年全国硕士研究生招生考试数学二试题及解答一、选择题，1～10题，每题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.函数的第一类间断点的个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0【解析】f(x)的所有间断点为0,1,2.且不难得到所以f(x)的第一类间断点只有x=1,选C.2.已知,则(A)2e(B)(C)【解析】首先有,当x=2时，t=1,于是所以(D)()选B.3.已知函则()(A)f(x)为奇函数，g(x)为奇函数(B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(C)f(x)为偶函数，g(x)为偶函数(D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数【解析】令则h(x)是偶数，故f(x)=h(sinx)仍然是偶函数，而g(x)则是奇函数，选D.4.已知数列{an}(an≠0),若{an}发散，则(A)发散(B)发散(C)发散【解析】对于A和C选项可取反例an=2(-1)”,对于B选项可取反例an=(-1)”,()(D)发散正确答案选D.实际上是(-∞,+∞)上的单调递增的连续函数，于是f(x)在(-∞,+∞)上存在连续的反函数g(x).设则an=g(bn).如果bn收敛于b,则an=g(bπ)收敛于g(b),矛盾，所以{bn}发散.()5.已知函数,则在点(0,0)处(A)连续，f(x,y)可微(B)连续，f(x,y)不可微(C)不连续，f(x,y)可微(D)不连续，f(x,y)不可微【解析】在点(0,0)处有同理有f’(0,0)=0,于是有所以f(x,y)在点(0,0)处可微.而当xy≠0时,那么不存在，选C.6.设f(x,y)是连续函数，则(C)(D)选A.7.设非负函数f(x)在[0,+∞]上连续，给定以下三个命题：(1)若收敛，则收敛；(2)若存在p>1,使极限存在，则收敛；(3)若收敛，则存在p>1,使极限存在；其中正确的个数是()()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】对于命题(1),取,则收敛，但发散，所以(1)错误.对于命题(2),如果极限存在，那么存在M>0,使得当x充分大时，xPf(x)≤M,即由比较法判别法可知收敛，命题(2)正确.对于命题(3),取,则收敛，但不存在p>1,使得存在.选B.8.设A为3阶矩阵，,若则A=()(B)(C)【解析】由于,所以选C.9.设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0,且A≠A*,则r(A)的取值为()(A)0或1(B)1或3(C)2或3(D)1或2【解析】首先A不可逆且A≠0,否则A=A*,矛盾.于是AA*=|A|E=0,那么A(A-A*)=A²=0,所以r(A)+r(A)≤4→r(A)≤2,即r(A)=1或2.并且可以分别取满足题意，选D.10.设A,B均为2阶矩阵，且AB=BA,则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【解析】如果α是A的特征值λ对应的特征向量，即Aα=λα,那么ABα=BAα=λBα.如果Bα=0,则α是B的特征值0所对应的特征向量；如果Bα≠0,则Bα是矩阵A的特征值λ对应的特征向量，但λ是A的一重特征值，所以λ只有一个线性无关的特征向量，这意味着存在常数μ,使得Bα=μα,这也说明α是B的特征向量.如果A有两个不相等的特征值，那么A有两个线性无关的特征向量，从而B也有两个线性无关的特征向量，B可对角化.反之，取A=B=E,那么B是可对角化的，但A有两个相同的特征值，因此选B.二、填空题，11～16题，每题5分，共3 0分.11.曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为【解析】将曲线看成函数x=y²,那么曲线在点(0,0)处曲率为于是这点处的曲率半径为由于曲线在(0,0)处与y轴相切，那么曲率中心为,曲率圆的方程为12.函数f(x,y)=2x³-9x²-6y⁴+12 x+24y的极值点为【解析】由f&=12x-18,f“=0,f”,=-72y².当(x,y)=(1,1)时，A=f"(1,1)=-6,B=f"(1,1)=0,f“”(1,1)=-72,此时AC-B²>0,所以(1,1)是极值点.当(x,y)=(2,1)时，A=fc(2,1)=6,B=f"(2,1)=0,f"↓(2,1)=-72,那么AC-B²<0,所以(2,1)不是极值点.13.微分方程满足初始条件y(1)=0的解为【解析】令u=x+y,则y=u-x,y=u-1,于是,解此变量分离的方程可得x=u-a rctanu+C,即x=x+y-arctan(x+y)+C,y=arctan(x+y)-C.由y(1)=0可得即原方程的14.已知函数f(x)=x²(eˣ-1),则f(⑤)(1)=_·【解析】由莱布尼茨公式容易得到f(5)(x)=(eˣ+1)⁵x²+5(eˣ+1)⁴).2x+10(eˣ+1)³).2=(x²+10x+20)e,于是f⁵)(1)=31e.15.某物体以速度v(t)=t+ksinπt做直线运动，若它从t=0到t=3的时间段内平均速度是k=【解析】由题意有则16.设向量若α₁,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=【解析】首先由α1,α₃线性无关可知a≠1.对向量组(α1,α2,α3)进行初等行变换可得由条件有r(a₁,α2,α3)=2,于是a+2=0,a+b=0,即a=-2,b=2,且此时α1,α2,α3两两线性无关，于是ab=-4.三、解答题，17～22题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分10分)设平面有界区域D位于第一象限，由曲线与直线围成，计算【解析】积分区域关于直线y=x对称，由轮换对称性有于是18.(本题满分12分)设y=y(x)满足方程x²y"+xy-9y=0,且ylk=1=2,y|x=1=6.(1)利用变换x=e’化简方程，并求y(x)的表达式；(2)求【解析】(1)由于x=e,则t=Inx,于是代人原方程可得于是方程的通解为y=C₁e³¹+C₂e-3ᵗ=C₁x³+C₂x-³.代人ylx=1=2,y’|=1=6可得C₁=2,C₂=0,所以y=2x³.(2),令t=√4-x²,则x²=4-t²,(x²)=-2t dr,于是原积分化19.(本题满分12分)设t>0,求曲线y=√xe⁻×与直线x=t,x=21及x轴所围平面图形，绕x轴旋转所得的旋转体体积为V(t),求V(t)的最大值.【解析】由题意可知那么这说明V(t)在(0,1n2)上单调递增，在[In2,+∞)上单调递减，所以V(t)的最大值为20.(本题满分12分)设f(u,v)具有二阶连续偏导，g(x,y)=f(2x+y,3x-y),且满足(1)求(2)若,且,求f(u,v)的表达式.【解析】(1)由于g(x,y)=f(2x+y,3x-y),那么由复合函数求导可得代人原方程可得25f¹2=1,所以(2)由于,所以又,那么,所以21.(本题满分12分)设函数f(x)具有二阶导数，且f’(0)=f’(1),|f"(x)|≤1.证明：【解,x∈[0,1],那么g(0)=g(1)=0,且如果存在xo∈(0,1),使得g(xo)>0,那么由拉格朗日中值定理可知，存在ζ∈(0,xo),ξ2∈(xo,1),使得进一步存在ζ∈(ξ1,ξ2),使得矛盾.因此对任意x∈(0,1),都有g(x)≤0,即同理还有综合起来即(2)将不等式在[0,1]上积分，注意到于是即22.(本题满分12分)设矩阵两个方程组不同解.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵x=Qy将f(x₁,x₂,x₃)化为标准形.【解析】(1)由题意可知Ax=0与同解，于是对进行初等行变换可得所以a=1,b=2.(2)首先有是一个对称矩阵，所以二次型的矩阵C=且r(C)=1,那么C的特征值为λ1=λ2=0,23=trC=6.对λ1=λ2=0,解方程组Cx=0得两个正交的单位特征向量λ3=6,解方程组(6E-C)x=0得单位特征向量则Q为正交矩阵，作正交变换x=yy,则二次型f(x₁,x₂,x₃)化为标准形6y3.
