绝密★启用前2020年全国硕士研究生招生考试数学(二)(科目代码：302)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题(1)x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是(A)(B)(C)(D)(2)第二类间断点个数(A)1(B)2(C)3(D)4(3)(A)(B)(C)(D)(4)f(x)=x²ln(1-x),n≥3时，f(”(0)=(A)(B)(C)(D)(5)关于函数,给出以下结论①②③2020数学(二)真题第1页共4页④正确的个数是(A)4(B)3(C)2(D)1(6)设函数f(x)在区间[-2,2]上可导，且f’(x)>f(x)>0,则(A)(B)(C)(D)(7)设4阶矩阵A=(a)不可逆，a₁₂代数余子式A₁₂≠0,a₁,a₂,a₃,a₄为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0通解为(A)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(B)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(C)x=k₁a₁+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(D)x=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(8)设A为3阶矩阵，a₁,a₂为A属于特征值为1的线性无关的特征向量，a₃为A的属于特征值-1的特征向量，则的可逆矩阵P可为(A)(a₁+α₃,α₂,-a₃)(B)(a₁+α₂,α₂,-a₃)(C)(a₁+a₃,-a₃,α₂)(D)(a₁+a₂,-a₃,a₂)二、填空题(9)若(10)(11)设z=arctan[xy+sin(x+y],则dz|o,π)=(12)斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g,水密度为p,则该平板一侧所受的水压力为则(13)设y=y(x)满足y"+2y’+y=0,且y(0)=0,y’(0)=1,(14)行列三、解答题(15)求曲线(x>0)的斜渐近线方程.(16)已知函数f(x)连续且,求g’(x)并证明g’(x)在x=0处连续.(17)f(x,y)=x³+8y³-xy极值.(18)待补充.(19)平面D由直线x=1,x=2,y=x与x轴围成，计算(20)(I)证：存在ξ∈(1,2),f(ξ)=(2-ξ)e²;(Ⅱ)证：存在η∈(1,2),f(2)=ln2·ne”".(21)f(x)可导，f’(x)>0(x≥0)过原点O上任意点M切线与x轴交于T,MP⊥x轴，y=f(x),MP,x轴围成面积与△MTP面积比为3:2,求曲线方程.(22)设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x²+x²+x²+2ax₁x₂+2ax₁x₃+2ax₂x₃经可逆线性变(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P.(23)设A为二阶矩阵，P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量：(I)证明P为可逆矩阵；(Ⅱ)若A²a+Aa-6a=0,求P-¹AP,并判断A是否相似于对角矩阵.2020数学(二)真题第4页共4页2020年全国硕士研究生招生考试数学二答案数学(二)一、选择题(1)x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】A.B.C.D.(2)函数的第二类间断点的个数为(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【答案】C.【解析】共3个，选(C).(3)(A)(B)(C)(D)【答案】A.【解析】令√x=sint,则x=sin²t,dx=2sint costdt(4)已知函数f(x)=x²ln(1-x),当n≥3时，f(n)(0)=(A)(B)(C)(D)【答案】A.,则【解析】由泰勒展开式，故(5)关于函数,给出以下结论②③④其中正确的个数是(A)4(B)3(C)2(D)1【答案】B.【解析】①正确；|xy-0=|k|y,|x-0|=|x|,y-0|=|v,从而(x,y)→(0,0)时斤以③正确；,从而正确，④正确.(6)设函数f(x)在区间[-2,2]上可导，且f’(x)>f(x)>0,则(A)(B)(C)(D)【答案】B.【解析】构造辅助函数,由由题知，F’(x)>0,从而单增，F(0)>F(-1),也即，又有f(x)>0,从而故选(B).(7)设4阶矩阵A=(a;)不可逆，a₁₂的代数余子式A₁₂≠0,a₁,a₂,α₃,a₄为矩阵A的列向量组，A为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为(A)x=ka₁+k₂a₂+k₃a₃,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(B)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(C)x=k₁a₁+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(D)x=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数【答案】C.【解析】由已知，|A|=0,r(A)=3,故r(A*)=1,故A*x=0的基础解系中解向量的个数为3;由A₁₂≠0得α₁,α₃,α₄线性无关，则通解为x=k;α₁+k₂α₃+k₃α₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数，故(C).(8)设A为3阶矩阵，a₁,a₂为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a₃为A的属于特征值-1的特征向量，则的可逆矩阵P可为(A)(a₁+a₃,a₂,-a₃)(B)(a₁+α₂,a₂,-a₃)(C)(a₁+α3,-a₃,α₂)(D)(a₁+α₂,一a₃,a₂)【答案】D.【解析】由已知A(α₁+α₂)=1·(a₁+a₂),A(-α₃)=-(-a₃),Aa₂=1·α₂,且α₁+α₂,一α₃,α₂线性无关，又由1,-1,1的顺序知，P可为(q₁+α₂,-a₃,α₂).故选(D).二、填空题(9)若【答案】-√2.【解析】(10)【答案】【解析】交换积分次序，(11)设z=arctan[xy+sin(x+y],则dz|0,πz)=【答案】(π-1)dx-dy.【解析】将(0,π)带入可得，故dz|0,π=(π-1)dx-dy(12)斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g,水密度为p,则该平板一侧所受的水压力为【答案】【解析】以水平面向右为x轴，以垂直于三角板斜边向上为y轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为y=x-a,取微元dy,则此时dF=-y2xpgdy=-2pgy(y+a)dy则一侧的压力(13)设y=y(x)满足y"+2y’+y=0,且y()=0,y’(0)=1,则【答案】1.【解析】由方程可得特征方程为λ²+22+1=0,则特征方程的根为Z=-1,2=-1,则微分方程的通解为y=c₁e⁻*+c₂xe⁻*,由y(0)=0,y’(0)=1可得c₁=0,c₂=1,则y(x)=xe,则(14)行列式【答案】a⁴-4a².【解析】三、解答题(15)求曲线的斜渐近线方程.【解析】故所求斜渐近线为(16)已知函数f(x)连续且,求g’(x)并证明g’(x)在x=0处连续.【解析】并且f(x)连续，可得f(0)=0.当x=0时，g(0)=0.导数定义格又因为所以g’(x)在x=0处连续.(17)求函数f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.【解析】令f(x,y)=3x²-y=0,f,(x,y)=24y²-x=0,得或当驻点为(0,0)时，则AC-B²<0,故(0,0)不是极值点.当驻点为时，则AC-B²>0,A=1>0,故为极小值点.为极小值.(18)2020数学(二)真题第7页共1 1页设函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足.求f(x),并求曲线y=f(x)及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.【解析】得(19)设平面区域D由直线x=1,x=2,y=x与x轴围成，计算【解析】(20)设函数(I)证：存在ξ∈(1,2),f(ξ)=(2-ξ)e²;(Ⅱ)证：存在η∈(1,2),f(2)=ln2·ne”".【解析】(I)法1:令F(x)=f(x)+(x-2)e²,则F(1)=-e<0,由零点定理知，存在ξ∈(1,2),使得F(ξ)=0,即f(5)=(2-ξ)e².法2:因f’(x)=e²,则f(5)=(2-ξ)e²等价于f(ξ)=(2-5)f’(5).,则F(1)=0,F(2)=0.由罗尔定理知，存在ξ∈(1,2),使得F’(ξ)=0.又,即f(5)=(2-ξ)e².(II)令g(x)=Inx,则出柯西中值定理知，存在η∈(1,2),使得即,故f(2)=1n2·ne”.(21)设函数f(x)可导，且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点0,其上任意一点M处的切线与x轴交于T,又MP⊥x轴于点P,已知由曲线y=f(x)直线MP以及x轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.【解析】设切点M(x,y),则过M点的切线方程为Y-y=y’(X-x).令Y=0,则曲线y=f(x),直线MP及x轴围成图形的面积为△MTP的面积因则,即①方程①两边同时求导，得：,整理得：3yy"=2(y’)²②.令y’=p,则,代入②,得解得,即从而解得因曲线y=f(x)过原点，即f(0)=0,则C₂=0,故y=Cx³(C>0).(22)设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x²+x²+x²+2ax₁x₂+2ax₁x₃+2ax₂x₃经过可逆线性变换得g(y₁,y₂,y₃)=y²+y²+4y²+2y₁y₂·(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P.【解析】令,则f(x,x₂,x₃)=x⁷Ax,g(y,y₂,y₃)=y’By.(1)由题可知，A与B合同，即P TAP=B.所以A与B的正负惯性指数相同.由正负惯性指数性质得：A与B的正负特征值个数对应相等。因为|B-λE|=0,所以B的特征值为Z=0,Z₂=2,₃=4,所以3=1+2a=0,2.3=1-a>0,故(2)配方法,其中g(y₁,y₂,y₃)=y²+y²+4y²+2yy₂=(y₁+y₂)²+4y².其中故2020数学(二)真题第10页共11页(23)设A为二阶矩阵，P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量：(I)证明P为可逆矩阵；(Ⅱ)若A²a+Aa-6a=0,求P-¹AP,并判断A是否相似于对角矩阵.【解析】(1)(解法一)证明：假设P不是可逆矩阵，则α与Aα线性相关.根据线性相关的定义，存在不全为0的实数k,k₂,使得成立.k;α+k₂Aα=0.若k₂=0,则有k;a=0.a是非零向量，则k₁=0,与k₁,k₂不全为0矛盾，所以k₂≠0.所以有,与α不是A的特征向量矛盾，所以假设不成立，故P是可逆矩阵.(解法二)设Aa=β,则β≠ka,即α,β线性无关，故P=(a,β)=(a,Aα)为可逆矩阵.(II)因为A²α+Aα-6a=0,所以又因为P是可逆矩阵，所以记由可得B的特征值为Z=2,2₂=-3.而A与B相似，故A的特征值为Z=2,₂=-3,从而可知A可相似对角化.2020数学(二)真题第1 1页共1 1页。
