2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)(考试时间：上午8:30—11:30)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点.2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区垓内.超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效.3.填(书)写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂.4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回.考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当x→0时，()(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.1.【答案】(C).【解析】因为故x→0时，是x⁷的高阶无穷小.故应选(C).(2)函数在x=0处()(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.2.【答案】(D).【解析】因故f(x)在x=0处连续；又故应选(D).(3)有一圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为()(A)125πcm³/s,40πcm²/s.(B)125πcm³/s,-40πcm²/s.(C)-100πcm³/s,40πcm²/s.(D)-100πcm³/s,-40πcm²/s.3.【答案】(C).【解析】设圆柱体的底面半径为r,高为h,则圆柱体的体积V=πr²h,圆柱体的表面积S=2πr²+2πrh,从而V’(t)=π[2r·r’(t)·h+r²·h’(t)]S’(t)=2π·2r·r’(t)+2π[r’(t)·h+r·h’(t)]将r=10,h=5,r’(t)=2,h’(t)=-3分别代入①②中，解得故应选(C).(4)设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有2个零点，见的取值范围(A)(e,+∞).(B)(0,e).(D)4.【答案】(A).①②()【解析】因f(x)=ax-bln:,又因a>0,x>0,若b≤0、则f’(x)>0,f(x)严格单调递增，这与f(x)有2个零点矛盾，故b>0.令f’(x)=0,解得因f(x)有2个零点，故得,故故应选(A).(5)设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx²,则()(A)a=1,(B)a=1,(C)(D)5.【答案】(D).【解析】由题意知1=cos(1+ax+bx²+ax²)比较系数，有(a=0,得故应选(D).(6)设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e*)=(x-·1)²,f(x,x²)=2x²Inx,则df(1,1)=()(A)dx+dy.(B)d:-dy.(C)dy.(D)-dy.6.【答案】(C).【解析】令u=x+1,V=e*,则f(u,v)=u²Inv,从而f(x,y)=x²lny,故则f’(1,1)=0,f’(1,1)=1,得df(1,1)=dy.故应选(C).(7)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则()(B)(C)(D)7.【答案】(B).【解析】将区间[0,1]上均分成n份，取ξ为第k个小区间的中点，则由定积分的定义知，故应选(B).(8)二次型f(x,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x₁)²的正惯性指数与负惯性指数依次为()(A)2;0.(B)1;1.(C)2;1.(D)1;2.8.【答案】(B).【解析】f=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x)²=2x₂+.2x₁x₂+2x,x₃+2x₂x₃,二次型的矩阵A的特征值为3,-1,0,故f的正、负惯性指数都是1.故应选(B).(9)设3阶矩阵A(a₁,a₂,a₃),B(β,β₂,β₃),若向量组a₁,a₂,a₃可以由向量组β₁,β₂线性表出，则()(A)Ax=0的解均为Bx=0的解.(B)ATx=0的解均为BTx=0的解.(C)Bx=0的解均为Ax=0的解.(D)BTx=0的解均为A’x=0的解.9.【答案】(D).【解析】因为α₁,α₂,a₃可由β₁,β₂线性表示，所以a,a₂,a₃可由β₁,β₂,β₃线性表示.所以存在矩阵P,使得A=BP,于是PT BT=AT若Bx=0,则PTBTx=0,即ATx=0,即BTx=0的解都是ATx=0的解.故应选(D).(10)已知矩阵,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别为()(B)(C)(D)10.【答案】(C).【解析】法1:将选项代入验证，可故应选(C).法2:对(A,E)作初等行换，取,则对作初等列变换，取,则,即故应选(C).二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)11.【答案】【解析】(12)设函数y=y(x)由参数方程确定，则12.【答案】【解析】(13)设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+yln 13.【答案】1.【解析】在等式(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1z-arctan(2xy)=1确定，则两边对x求偏导有①x=0,y=2代入(x+1)z+yln z-arctan(2xy)=1中，得z+2In z=1,易知z=1,将x=0,y=2,z=1代入①中，有(14)已知函数14.【答案】【解析】从而,故(15)微分方程y"-y=0的通解y=15.【答案】y=c₁eˣ+c₂xeˣ+c₃x²e,其中c₁,C₂,C₃为任意常数.【解析】y"-y=0的特征方程为λ³-1=0,解得λ=1(三重),从而y"-y=0的三个线性无关的特解分别为e,xe,x²e*,故微分方程y"-y=0的通解为y=c₁eˣ+c₂xe+c₃x²e*,其中c₁,C₂,C₃为任意常数.(16)多项式中x³项的系数为16.【答案】-5.【解析】四阶行列式的每一项均是来自不同行不同列的4个元素的乘积，只有(-1)²(2134)a₁₂a₂₁a33a₄4=-x³和(-1)(4231)a₄a₂2Q₃3a₄1=-4x³这两项含x³,故x³项的系数为-5.三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本题满分10分)求极限17.【解析】(18)(本题满分10分)已知函数,求曲线y=f(x)的凹凸区间及渐近线.18.【解析】因为f(x)在x=0连续，又因为,故f’(0)=()=0,即f’(0)=0,从而f’(x)在x=0处连续，又因为,故f"(0)≠f"(O),从而f"(0)不存在，故当x>0时，f"(x)>0,当-1<x<0时，f"(x)<0,当x<-1时，f"(x)>0,从而曲线y=f(x)的凹区间为(-∞0,-1)和(0,+∞).凸区间为(-1,0).因,故x=-1为曲线y=f(x)的一条铅垂渐近线；因从而曲线y=f(x)无水平渐近线；因故y=x-1为x→+∞时曲线y=f(x)的一条斜渐近线.因故y=-x+1为x→-∞时曲线y=f(x)的一条斜渐近线.(19)(本题满分10分)设函数f(x)满足L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),记L的长度为S,L绕x轴旋转曲面面积为A,求S和A.19.【解析】在等式的两端对x求导，有故则(20)(本题满分11分)设y=y(x)(x>0)是微分方程xy’-6y:.-5满足条件y(√3)=10的解，(I)求y(x);(Ⅱ)设P为曲线y=v(x)上一点，I,为曲线y=y(x)上P点法线到y轴的截距，当Ip最小时，求P坐标.20.【解析】(I)因xy’-6y=-6,故从而=x⁶(x⁻⁶+C)=1+Cx⁶,又y(√3)=10,故从而(Ⅱ)曲线y=y(x)在点P的法线方程为,令X=0,则,则令g’(x)=0,解得x=1,当x>1时，g’(x)>0;当0<x<1时，g’(x)<0,故x=1为唯一的极小值点也一定是最小值点，此时点P的坐标为(21)(本题满分14分)设平面区域D由曲线(x²+y²)²=x²-y²(x≥0,y≥0)与x轴围成，计算二重积分21.【解析】(22)(本题满分15分)设矩阵仅有两个不同特征值，若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P,使P-¹AP为对角矩阵.22.【解析】=(λ-b)(λ²-42+3)=(λ-b)(λ-1)(λ-3),故A的特征值为λ=b,2=1,2₃=3.①若b=1,则=2=1是A的二重特征值，2₃=3,因A可相似对角化，故r(E-A)=1.得a=1.可求得A属于特征值1的两个线性无关的特征向量a₁=(-1,1,0),a₂=(0,0,1).对于2₃=3,求解(3 E-A)x=0,求得A属于特征值3的线性无关的特征向量为a₃=(1,1,1).可取P=(a₁,a₂,a₃),则P是可逆矩阵，满足②若b=3,则2=2₃=3是A的二重特征值，i₂=1,因A可相似对角化，故r(3E-A)=1.得a=-1.可求得A属于特征值3的两个线性无关的特征向量β₁=(1,1,0),β₂=(0,0,1).对于2=1,求解(E-A)x=0,求得A属于特征值1的一个线性无关的特征向量为β₃=(-1,1,1).可取P=(β,β₂,β₃),则P是可逆矩阵，满足。
