2022年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，则以下的命题中，①若α(x)~β(x),则α(x)~β(x);②若α²(x)~β²(x),则α(x)~β(x);③若α(x)~β(x),则α(x)-β(x)=o(α(x));④若α(x)-β(x)=o(α(x)),则α(x)~β(x),真命题的序号为()(A)①③.(B)①④.(C)①③④.(D)②③④.(2)(A)(B)(C)(D)(3)设f(x)在x=x。处有二阶导数，则()(A)当f(x)在x。的某邻域内单调增加时，f’(x₀)>0.(B)当f’(x₀)>0时，f(x)在x。的某邻域内单调增加.(C)当f(x)在x。的某邻域内是凹函数时，f"(x。)>0.(D)当f"(x₀)>0时，f(x)在x。的某邻域内是凹函数.(4)已知f(t)连续，,则()(A)(B)(5)设p为常数，若反常积分收敛，则p的取值范围是()(A)(-1,1).(B)(-1,2).(C)(-∞,1).(D)(-∞,2).(6)设数列{xn}满足,则()(A))存在，则存在.(B))存在，则存在.(C))存在，则存在，不一定存在.(D))存在，则存在，1不一定存在.—1—(7)若,则()(A)I₁<I₂<I₃.(B)I₂<I₁<I₃.(C)I₁<I₃<I₂.(D)I₃<I₂<I₁.(8)设A为3阶矩阵，,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是()(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A=PAQ.(B)存在可逆矩阵P,使得A=PAP-1.(C)存在正交矩阵Q,使得A=QAQ⁻¹.(D)存在可逆矩阵P,使得A=PAPT(9)设矩阵,则线性方程组Ax=b的解的情况为()(A)无解.(B)有解.(C)有无穷多解或无解.(D)有唯一解或无解.(10)设α₁=(λ,1,1),α₂=(1,λ,1)T,a₃=(1,1,λ),α₄=(1,λ,λ²),若α₁,α₂,a₃与α₁,α₂,α4等价，则λ的取值范围是()(A){0,1}.(B){λ|λ∈R,λ≠-2}.(C){λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.(D){λ|λ∈R,λ≠-1}.二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.)(12)已知函数y=y(x)由方程x²+xy+y³=3确定，则y”(1)=_(13)(14)微分方程y"-2y"+5y’=0的通解为y(x)=(15)已知曲线L的极坐标方程为r=sin 30,则L围成的有界区域的面积为_(16)设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，得到矩阵,则A⁻¹的迹tr(A⁻¹)=三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)已知函数f(x)在x=1处可导,求f’(1).—2—(18)(本题满分12分)设函数y(x)是微分方程2xy’-4y=2lnx-1的满足条件：的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.(19)(本题满分12分)已知平面区域D={(x,y)|y-2≤x≤√4-y²,0≤y≤2},计算(20)(本题满分12分)已知可微函数f(u,v)满!,且f(u,0)=u²e⁻“.(I)记g(x,y)=f(x,y-x),(Ⅱ)求f(u,v)的表达式与极值.—3—(21)(本题满分12分)设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f"(x)≥0的充分必要条件是对任意不同的实数a,b,都有成立.(22)(本题满分12分)已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=3x²+4x2+3x²+2x₁x₃·(I)求正交矩阵Q,使正交变换x=Qy将二次型f(x₁,x₂,x₃)化为标准形；(Ⅱ)证明—4—2022年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题解析一、选择题1若当x→0时，α(x),B(x)是非零无穷小量，则以下的命题中，①若α(x)~β(x),则α²(x)~β²(x);②若α²(x)~β²(x),则α(x)~β(x);③若α(x)~β(x),则α(x)-B(x)=o(α(x));④若α(x)-β(x)=o(α(x)),则α(x)～B(x),真命题的序号为()(A)①③.(B)①④.(C)①③④.(D)②③④.答案C.分析本题主要考查无穷小量的概念.四个命题均与无穷小量等价这个概念有关.当x→0时，α(x)~ß(x)意味着1,o(α(x))满足解依次分析四个命题.若α(x)~β(x),则1,从,即α²(x)~β²(x).命题①是真命题.由α²(x)~β²(x)并不能得到α(x)~β(x).考虑B(x)=-α(x),则1,即α²(x)~β²(x),但1,α(x)与β(x)只是同阶但并不等价的无穷小量.命题②不是真命题.要说明α(x)-β(x)=o(α(x)),只需说明1命题③是真命题.要说明α(x)~β(x),只需说明命题④是真命题.综上所述，应选C.—5—考查无穷小量的比较以及o(·)符号含义的题目，历年真题当中出现较少，在2013年数三真题中有一道考查。(·)符号含义的题目.【例】当x→0时，用“0(x)”表示比x高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是()(2013年数学三试题)(A)x·o(x²)=o(x³).(B)o(x)·o(x²)=o(x³).(C)o(x²)+o(x²)=o(x²).(D)o(x)+o(x²)=o(x²).答案D.(B)答案D.分析本题主要考查交换积分次序.本题中的二次积分，按照题目给定的先x,后y的次序不太好算，故应考虑交换积分次序.解如图(a)所示，二次积分对应的积分区域D是由直线y=x,x=2以及x轴所围成的三角形区域.原二次积分采用的是先x,后y的积分次序，改写成先y,后x的积分次序，即将D写成X型区域，如图(b)所示.D={(x,y)|0≤y≤x,0≤x≤2}.(a)(b)因此，应选D.3设f(x)在x=x。处有二阶导数，则()(A)当f(x)在x。的某邻域内单调增加时，f’(x。)>0.(B)当f’(x₀)>0时，f(x)在x。的某邻域内单调增加.(C)当f(x)在x。的某邻域内是凹函数时，f"(x₀)>0.—6—(D)当f"(x₀)>0时，f(x)在x。的某邻域内是凹函数.答案B.分析本题主要考查一阶导数、二阶导数与函数性态的关系.函数的单调性与一阶导数的关系设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.若在(a,b)内f’(x)≥0,且等号只在有限个点处成立，则f(x)在[a,b]上单调增加.(单调减少的情况对应于f’(x)≤0的情况.)函数的凹凸性与二阶导数的关系设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.若在(a,b)内f“(x)≥0,且等号只在有限个点处成立，则f(x)为[a,b]上的凹函数.(凸函数的情况对应于f"(x)≤0的情况.)在不确定一阶导函数的连续性的情况下，单点处的一阶导符号不能确定该点邻域内的函数的单调性.在不确定二阶导函数的连续性的情况下，单点处的二阶导符号不能确定该点邻域内的曲线的凹凸性.)注意到题目条件给出f(x)在x=x。处有二阶导数，故f(x)在x。的某邻域内存在连续的一阶导数.特别地，f’(x)在x=x₀处连续.从而，.结合极限的定义可得，存在δ>0,当x∈(x。-8,xo+8)时，f’(x)>0.于是，f(x)在(x。-δ,x。+δ)内单调增加.应选B.下面说明选项A、C、D不正确.在一阶导数连续的条件下，当f(x)在x。的某邻域内单调增加时，我们能得到在该邻域内f’(x)≥0,但却不能保证f’(x)>0,因为可能存在有限个点，在这些点处，f’(x)=0.例如f(x)=x³,该函数在(-∞,+∞)上单调增加，但是f’(0)=0.选项A不正确.对选项C,考虑f(x)=x⁴,则f(x)为(-∞,+∞)上的凹函数，但是f"(0)=0.选项C不正确.对选项D,我们可以考虑二阶导函数存在间断点的例子.若x₀为f"(x)的间断点，贝f"(x)>0不成立，从而无法通过极限的定义得到x。的一个小邻域，在该小邻域内f"(x)>0考虑函数’该函数在x=0处存在二阶导数，但是f"(x)在x=0处不连续.当x≠0时，当x=0时，由导数定义，因此，f’(x)在x=0处连续.当x=0时，由导数定义，—7—-3c当x≠0时，.如图所示，f"(x)在x=0附近振荡，振幅为1,在x=0附近不存在小邻域使得f(x)在该邻域上保持不变号，即不存在x=0的小邻域，使得f(x)在该邻域上是凹函数或凸函数.选项D不正确.已知f(t)连续，令,则()答案C.分析本题主要考查变限积分求偏导数.F(x,y)是由含参变量的变限积分给出的二元函数，求它的偏导数，可以先将参变量从被积函数中分离出去，再利用变限积分求导公式计算偏导数.整理F(x,y)的表达式分别计因此应选C.—8—2005年数一、数二真题中，也有一道与本题类似的题.【例】设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()(2005年数学一、二试题)(A)(B)(C)(D)答案B.5设p为常数，若反常积分收敛，则p的取值范围是()(A)(-1,1).(B)(-1,2).(C)(-∞,1).(D)(-∞,2).答案A.分析本题主要考查反常积分审敛.本题中的反常积分为瑕积分，有两个点需要考虑，x=0,x=1.无界函数的极限审敛法设函数f(x)在区间[a,b]上连续，f(存在常数p,使(1)若0≤A<+∞,0<p<1,则反常积收敛；(2)若0<A≤+∞,p≥1,则反常积发散由于x=0和x=1均为可能的瑕点，故将积分拆成两部分.当p<0时，,x=0不是瑕点，为常义积分.当0≤p<1时，取δ>0,使得0<p+δ<1,从而由无界函数的极限审敛法可知，收敛.当p=1时，于是，当p≥1时，—9—-5c因此，当p<1时，收敛，当p≥1时，再考虑于是，当p≥0时，x=1不是瑕点，为常义积分.当0<-p<1,即-1<p<0时，由无界函数的极限审敛法可知，当-p≥1,即p≤-1时，同理可得从而由无界函数的极限审敛法可知，发散.因此，当p>-1时，收敛，当p≤-1时，综上所述，收敛当且仅当p∈(-∞,1)∩(-1,+∞)=(-1,1).应选A.拓展以下为历年真题中关于反常积分审敛的同类真题【例】设m,n均是正整数，则反常积分的收敛性()(2010年数学一、二试题)(A)仅与m的取值有关.(B)仅与n的取值有关.(C)与m,n的取值都有关.(D)与m,n的取值都无关.答案D.【例】若反常积分收敛，则()(2016年数学一试题)(A)a<1且b>1.(B)a>1且b>1.(C)a<1且a+b>1.(D)a>1且a+b>1.答案设数列{x}满足,则()(A)存在，则存在.—10—(B))存在，则存在.(C))存在，则存在，但不一定存在.(D))存在，则存在，但不一定存在.答案D.分析本题主要考查数列极限与函数极限的关系.题目中出现的sin(cos x)与cos(sin x)均为复合函数，要将lim sin(cos x)与lim cos(sin xa)内层的数列取出来，可以考虑在外层再复合上外层函数的反函数(如果存在的话).若)存在，则将其记为a.由于sin x在上存在反函数arcsinx,故但存在并不能保证存在.例如取,则,但在.选项B错误，选项D正确.应选D.不存由于cosx在上并不单调，故由存在并不能保证]存在.同样取,则1,但和均不存在.选项A、C不正确.注①考虑到cosx是偶函数，形如xn=(-1)"a,的数列均可作为选项A、B、C的反例.②这道题的出题思路在2017年的一道数二真题当中也出现过.【例】设数列{x。}收敛，则()(2017年数学二试题)(A)当时(B)当时，(C)当时，(D)当时，答案D.7若,则()(A)I₁<I₂<I₃.(B)I₂<I₁<I₃.(C)I₁<I₃<I₂.(D)I₃<I₂<I₁.答案A.分析本题主要考查定积分比较大小.三个定积分的积分区间相同，故只需比较被积函数的大小.解通过观察可发现，要比较I₁与I₂的大小，只需比较与In(1+x)的大小.—11—,则f(0)=0,当x∈(0,1)时，f’(x)>0,f(x)单调增加，从而f(x)>f(0)=0,即.因此，I₂>I₁.此外，同样的方法不难证明在(0,1)内，In(1+x)<x.另一方面，由于在(0,1)内，0<sinx,cosx<1,1<1+sinx<2,故I₃的被积函数>x.结合In(1+x)<x可得.因此，I₃>I₂·综上所述，应选A.设A为3阶矩阵,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是()(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A=PAQ.(B)存在可逆矩阵P,使得A=PAP-¹.(C)存在正交矩阵Q,使得A=QAQ-¹.(D)存在可逆矩阵P,使得A=PAPT.答案B.分析本题主要考查矩阵相似的条件.3阶矩阵A的特征值为1,-1,0意味着A有3个不同的特征值，从而相似于与它具有相同特征值的对角矩阵，即A.矩阵相似的定义设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P-¹AP=B,则称B是A的相似矩阵，或者称矩阵A与B相似.3阶矩阵A的特征值为1,-1,0意味着A有3个不同的特征值，从而A相似于与它具有相同特征值的对角矩阵，即A.于是，A的特征值为1,-1,0的充分必要条件即A与A相似的充分必要条件.选项B实际上为A与A相似的定义，即存在可逆矩阵P,使得A=P-¹AP,也即A=PAP-¹.因此，应选B.兜男、取,则ζ1,52,5₃相互均不正交.令P=(5₁,52,53),A=,则A与对角矩阵A相似，但是A的线性无关的特征向量均不正交.选项D是A与A合同的定义.对一般矩阵而言，相似与合同之间并无相互蕴含的关系.考虑选项A的反例,这两个矩阵具有相同的正、负惯性指数，从而合同，但它们并不相似.考虑选项C的反例.由前面的分析可知，A与A相似.又因为A是实对称矩阵，而与实对称矩阵合同的矩阵一定是实对称矩阵，但A不是实对称矩阵，所以A与A不合同.因此，选项D既不是A与A相似的充分条件，也不是A与A相似的必要条件.拓展矩阵之间的各种关系1.矩阵等价(1)定义若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价，记作A~B;若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价，记作A~B;若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记作A～B.(2)充分必要条件设A与B为m×n矩阵，则(i)A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B.(ii)A≈B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B.(iii)A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.(3)矩阵等价与矩阵的秩的关系两个同型矩阵等价，当且仅当它们的秩相等，而两个同型矩阵的秩相等仅仅只是它们合同或者相似的必要条件.2.矩阵相似(1)定义设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P-¹AP=B,则称B是A的相似矩阵，或者称矩阵A与B相似.对A进行运算P-¹AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.—13—-9c(2)n阶矩阵A与对角矩阵相似的判定条件A有n个不同的特征值充分条件A有n个线性无关的特征向量充分必要条件3.矩阵合同(1)定义设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C,使B=C’AC,则称矩阵A与B合同.(2)充分必要条件两实对称矩阵A,B合同的充分必要条件是A和B的正、负惯性指数相同，也等价于它们具有相同的秩和正惯性指数.(3)实对称矩阵均合同于对角矩阵，且不可能合同于实对称矩阵以外的矩阵.4.等价、相似与合同的关系对于一般矩阵来说，合同不能推出相似，而相似也不能推出合同.相似合同等价A的每个特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数A为实对称矩阵设矩阵,则线性方程组Ax=b的解的情况为()(A)无解.(B)有解.(C)有无穷多解或无解.(D)有唯一解或无解.答案D.分析本题主要考查线性方程组的解的情况.本题的方程组的系数矩阵带参数，故需要分情况讨论.但若注意到系数矩阵行列式与范德蒙德行列式有关，则有一种情况实际上是很好判断的.的n阶行列式被称为范德蒙德行列式，.不难发现，若存在x;=x,(i≠j),则V=0,否则V≠0.解(法一)注意到当a≠1,b≠1,且a≠b时，|A|≠0.由克拉默法则可知，此时方程组Ax=b有唯一解.—14—-10c当a=1时，r(A,b)≠r(A),方程组无解.同理可得，当b=1时，r(A,b)≠r(A),方程组无解.当a=b时，r(A,b)≠r(A),方程组无解.综上所述，方程组Ax=b的解的情况只有两种可能，有唯一解或无解.应选D.(法二)直接对增广矩阵(A,b)作初等行变换.当a=b=1时，r(A)=1,r(A,b)=2,方程组无解.当a=1,b≠1或a≠1,b=1时，r(A)=2,r(A,b)=3,方程组无解.当a=b,但均不等于1时，r(A)=2,r(A,b)=3,方程组无解.当a≠1,b≠1,且a≠b时，r(A)=r(A,b)=3.方程组有唯一解.综上所述，方程组Ax=b的解的情况只有两种可能，有唯一解或无解.应选D.注像这种系数矩阵中带参数，需要稍加讨论才能判断解的情况的方程组问题，往年真题中除了在解答题中出现过外，也在选择题中出现过.【例】设矩阵.若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为()(2015年数学一、二、三试题)(A)a≠Ω,d≠2.(B)a丈Ω,d∈2.(C)a∈Ω,deΩ2.(D)a∈Ω,d∈Ω.答案D.10设α₁=(λ,1,1)”,α₂=(1,A,1)",a₃=(1,1,A)",a₄=(1,A,λ²)T,若aα₁,α₂,a₃与a₁,α₂,α4等价，则λ的取值范围是()(A){0,1}.(B){λ|λ∈R,λ≠-2}.(C){λ|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.(D){λ|λ∈R,λ≠-1}.答案C.分析本题主要考查向量组等价.向量组α₁,α₂,α₃与α₁,α₂,aα4等价的充分必要条件是r(a₁,α₂,α₃)=r(a₁,a₂,α4)=r(α₁,α₂,α₃,α4).由这一条件出发，可以考虑对矩阵(α₁,α₂,aα₃,α4)作初等行变换并讨论秩来—15—-11c得到λ的取值另一方面，也可以通过计算|α₁,a₂,a₃|和|a₁,α₂,α4|来讨论α₁,a₂,a₃和aq₁,a₂,α4的秩.当它们均不为0时，这两个向量组都是3维向量组的极大无关组，从而是等价的.此外，还需讨论行列式均为0时两个向量组是否等价.解.此时α₁,α₂,a₃与α₁,α₂,α4显然等价.当λ≠1时，考虑矩阵A=(α₁,α₂,α₃,α₄).(r”表示对第i行作初等行变换后所得新的第i行，每作一次初等行变换，加一个*.)由于A有2阶非零子式,故r(A)≥2.另一方面，因为不存在λ满足λ+2=(λ+1)²=0,所以r(A)=3.r(a₁,a₂,a₃)=3当且仅当λ≠-2.r(q₁,α₂,ac4)=3当且仅当λ≠-1.因此，当λ≠1时，r(A)=r(q₁,a₂,a₃,44)=r(aY₁,a₂,a₃)=r(a₁,a₂,α₄)当且仅当λ≠-2且λ≠-1.注意到λ=1也包含在条件λ≠-2且λ≠-1中，故r(a₁,α₂,α₃,α4)=r(a₁,《₂,α₃)=r(α₁,α₂,α4)当且仅当λ≠-2且λ≠-1.综上所述，应选C.(法二)分别计算|α₁,α₂,α₃|,|α₁,α₂,α₄|.当λ≠1,-2,-1时，|a,α₂,a₃|与|a₁,a₂,a&₄|均不为0.此时，α₁,α₂,a₃和α,α₂,α₄均为3维列向量组的极大无关组，从而等价..此时α₁,α₂,α₃与α₁,α₂,α4显然等价.当λ=-2或λ=-1时，|α₁,α₂,a₃|≠|α₁,α₂,α4 I,且其中一个为0,另一个不为0,说明两向量组的秩不相等，从而不等价.综上所述，a₁,a₂,a₃与α₁,aα₂,a₄等价当且仅当λ≠-2且λ≠-1.应选C.—16—二、填空题11答案应填√e.分析本题主要考查极限计算.为幂指函数，且所求极限为1°型未定式，故可以采用取对数再计算极限的方法.解取对数再求极限.下面计算因此，原极限=eż=√e.12已知函数y=y(x)由方程x²+xy+y³=3确定，则y”(1)=_答案应填分析本题主要考查隐函数的导数计算.本题要求的是隐函数的二阶导数值，故对给定方程两端关于x求导两次，并代值即可.解将x=1代入原方程可得，1+y+y³=3,即y³+y-2=0.通过观察可得y=1是该方程的一个解.令f(y)=y³+y-2,则f’(y)=3y²+1>0,f(y)为单调增加函数，从而y=1为y³+y-2=0的唯一解.对x²+xy+y³=3两端关于x求导可得，2x+y+xy’+3y²y’=0,即2x+y+(x+3y²)y′=0.(1)代入x=1,y(1)=1可得3+4y’(1)=0.解得对(1)式两端再次关于x求导可得，2+y’+(1+6yy’)y’+(x+3y²)y"=0.代入x=1,y(1)=1,.解得—17—13答案应填分析本题主要考查定积分的计算.被积函数为有理函数，形如,其中被积函数的分母为没有实根的二次三项式，分子为一次多项式.对此类积分，可以拆分为两种基本类型.注意到(x²-x+1)’=2x-1,故可以将被积函数拆成两部分因此，拓展有理函数积分是一种基本积分类型.此类题在数二真题中出现较多.历年真题中，与本题最接近的是1999年数二的一道真题.—18—.(1999年数学二试题)答案,其中C为任意常数此外，以下题目也属于类似的有理函数积分.【例】(1997年数学二试题)答案【例】.(2014年数学二试题)答案(2021年数学一试题)答案【例(2022年数学三试题)答案【例】求不定积分(2019年数学二试题)答案,其中C为任意常数.微分方程y"-2y"+5y’=0的通解为y(x)=_答案应填C₁+e³(C₂cos 2x+C₃sin 2x),其中C₁,C₂,C₃为任意常数.分析本题主要考查高阶常系数齐次线性微分方程的解.此类题的解法为，先写出特征方程，然后根据特征方程的根的情况写出通解.解y”-2y"+5y’=0的特征方程为³-2r²+5r=0,分解因式得r(²-2r+5)=0.解得r₁=0,r2,3=1±2i.根据常系数齐次线性微分方程的通解与特征方程的根的关系，可得y”-2y"+5y’=0的通解为y=C₁+e(C₂cos 2x+C₃sin 2x),其中C₁,C₂,C₃为任意常数.注在2021年数二真题中，考了一道与本题完全类似的题.连续两年在填空题中考查高阶常系数齐次线性微分方程的解这一考点，希望能够引起大家对此类方程的重视.【例】微分方程y”-y=0的通解为y=_.(2021年数学二试题)答案,其中C₁,C₂,C₃为任意常数.—19—-15c已知曲线L的极坐标方程为r=sin 30,则L围成的有界区域的面积答案应填分析本题主要考查定积分在几何上的应用.本题中的曲线是由极坐标形式给出的.对于由极坐标形式r=r(θ)(α≤θ≤β)给出的封闭曲线L,其围成的平面图形的面积为A=如图所示，本题中的曲线L是“三叶玫瑰线”的一个花瓣，图中蓝色曲线为L.解由面积公式得本题中的曲线为三叶玫瑰线.在2013年数二真题中，有一道与本题非常接近的题.【例】设封闭曲线L的极坐标方程为,则L所围平面图形的面积是.(2013年数学二试题)答案r=cos 3θ的图形如右图.实际上，由r=cos 30逆时针旋转即可得r=sin 30,故这两段曲线围成的面积是相等的.16设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，得到矩阵,则A⁻¹的迹tr(A⁻¹)=_答案应填-1.分析本题主要考查矩阵运算，包括矩阵的初等变换与矩阵求逆等.写出条件中所给初等变换对应的初等矩阵，结合已知矩阵可以得到A⁻¹的表达式，从而得到A⁻¹的迹.交换第2行和第3行对应左乘初等矩阵,将第2列的-1倍加到第1列—20—对应右乘初等矩阵P-⁻¹BP₂¹.由此可得，A⁻¹=P₂B-¹P₁下面利用初等行变换计算B-¹..于是，P₁AP₂=B,从而A=于是，因此，进一步可得tr(A-¹)=-1.三、解答题已知函数f(x)在x=1处可导,求f’(1).分析本题主要考查导数的定义.由函数f(x)在x=1处可导可得f(x)在x=1处连续，从而由给定极限式可得f(1)=0,进一步可由该式凑导数定义得到f’(1)的值.解由f(x)在x=1处可导可得f(x)在x=1处连续，故得于是，f(1)=0.另一方面，=f’(1),—21—-17 c=f’(1).因此，=-2f’(1)=2.综上所述，f’(1)=-1.注本题中凑导数定义的做法，在2001年数一真题中也出现过.【例】设f(0)=0,则f(x)在点x=0。
