2023年考研数学二一、选择题，1～10题，每题5分，共50分.1.曲线的斜渐近线方程为A.y=x+e B C.y=x()D 2.函数的一个原函数为()A.3.已知{xn}.{yn}满足：,xn+1=sinxn.Yn+1=y2(n=1,2,…),则当n→∞时，()A.xn是yn的高阶无穷小B.yn是xn的高阶无穷小C.xn与yn是等价无穷小D.xn与yn是同阶但不等价的无穷小4.若微分方程y"+ay’+by=0的解在(-x,+∞)上有界，则()A.a<0,b>0 B.a>0,b>0 C.a=0.b>0 D.a=0,b<0 5.设函数y=f(x)由确定，则()A.f(x)连续，f’(0)不存在B.f’(0)存在，f’(x)在x=0处不连续C.f’(x)连续，f"(0)不存在D.f"(0)存在，f"(x)在x=0处不连续6.若函数在α=αo处取得最小值，则αo=()B.-In(ln 2)C D.In 2 7.设函数f(x)=(x²+a)e,若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则α的取值范围是()A.[0,1]B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)8.设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则9.二次型f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₁+x₃)²-4(x₂-x₃)²的规范形为()A.y²+y2 B.y²-y2 C.y²+y2-4y D.y²+y2-y3 10.已知向量若γ既可由α₁,α2线性表示，也可由,,,β₁,β₂线性表示，则γ=()A k∈R,k∈R c R二、填空题，11～16题，每题5分，共30分.11.当x→0时，函数f(x)=ax+bx²+In(1+x)与g(x)=eˣ²-cosx是等价无穷小，则_ab=·12.曲线的弧长为13.设函数z=z(x,y)由e²+xz=2x-y确定，则14.曲线3x³=y⁵+2y³在x=1对应点处的法线斜率为15.设连续函数f(x)满足：f(x+2)-f(x)=x,,则16.已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若,则三、解答题，17～22题，共70分.17.(本题满分10分)设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e²,0),L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(1)求y(x);(2)在L上求一点，是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.18.(本题满求函数的极值.19.(本题满分12分)已知平面区域(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.20.(本题满分12分)设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x²+y²-xy=1,x²+y²-xy=2与直线y=√3x,y=0围成，计算21.(本题满分12分)设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数.证明：(1)若f(0)=0,则存在ξ∈(-a,a),使得(2)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a),使得22.(本题满分12分)均有设矩阵A满足：对任意x₁,x₂,x₃(1)求A;(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P-¹AP=A.第一篇最新真题2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案一、选择题(1)【答案】B.【解析】(方法一)则所求斜渐近线方程为(方法二),则所求斜渐近线方程为(2)【答案】D.【解析】为连续函数，所以C₁=1+C₂,(D)为正确答案.(3)【答案】B.【解析】由递推关系可知，{xn},{yn}均为单调减数列，且为无穷小.由,y n+1=y2可知，由于,则由,Y+1=sin z。可知，,故当n→∞时，yn是xn的高阶无穷小.(4)【答案】C.【解析】微分方程的特征方程为λ²+aλ+b=0,特征根为若a²-4b>0,则特征方程有两个实根且λ1≠λ2.微分方程的解为y=C₁e²1ˣ+C₂e^2在(一∞,十∞)上无界.若a²-4b=0,则微分方程的解为在(一∞,十∞)上无界.若a²-4b<0,则微分方程的解为如果此解在(一∞,十∞)上有界，则a=0,进而b>0.因此答案选(C).【评注】本题还可从选项出发，验证只有(C)符合条件.(5)【答案】C.【解析】当t≥0时，当t<0时，,y=—zsin z.则则由,得y’(0)=0.由此可知y’(x)连续，又由可知y"(0)不存在.【评注】泰勒公式判断导数存在性.又,y"”(0)=—2,故"(O)不存在.(6)【答案】A.【解析】广义积分当α>0时收敛，所以f(a)的定义域为a>0.当α>0时，所以g(a)在点取得最大值，f(a)在点取得最小值.(7)【答案】C.【解析】由f(x)=(x²+a)e²可知，f’(x)=(x²+2x+a)e²,f"(x)=(x²+4x+a+2)e,要使得f(x)没有极值，二次多项式x²+2x+a的判别式△=4-4a≤0,a≥1;要使得f(x)有拐点，二次多项式x²+4x+(a+2)的判别式△=16-4(a+2)>0,a<2.所以a∈(1,2).(8)【答案】D.【解析】(方法一)分别令(A)(B)(C)(D)选项中的矩阵为I₁,I₂,I₃,I₄.不能保证|A|AB*=|A||B|E,所以I₁不是,选项(A)不正确.同理，选项(B)也不正确.,(C)不正确.选项(D)是正确的.(方法二)【评注】本题用到分块矩阵的逆或伴随，设Am,Bm(9)【答案】B.【解析】(方法一)配方法(x₁+x₂)²+(x₁+x₃)²-4(x₂—x₃)²=x²+2x₁x₂+x²+x²+2x₁x₃+x²—4x2+8x₂x₃—4x³=2x²-3x²2—3x³+2x₁x₂+2x₁x₃+8x₂x₃正确答案为(B).合同变换法二次型对应的对称矩阵(方法三)特征值二次型对应的对称矩阵由,得A的特征值为3,-7,0,故正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选(B).(方法四)可逆线性变换则f=zỉ+z²—4(z₁-z₂)²=-3z²—3z2+8z₁22.再由配方法、合同变化法或特征值.二次型对应的矩阵4的特征值为1,—7,0,正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选(B).(10)【答案】D.【解析】设γ=x₁α1+x₂α2=x₃β₁+x₄β₂,即x₁α1+x₂α2—x₃β₁一x₄β₂=0.(*)下面求解该方程组：行初等变换(行最简形),方程组(*)与同解.通解为正确答案为(D).二、填空题(11)【答案】-2.【解析】由题设知则a=-1,b=2.故ab=-2.(12)【答案】【解析】的定义域为[-√3,√3],所求弧长为(13)【答案】【解析】当x=y=1方程e²+xz=2x-y时，e²+z=1,得z=0.两边对x求偏导，有①①式两端再对x求偏导数，有将x=y=1,z=0再将x=y=1,z=0,②代入①代入②(14)【答案】【解析】将x=1代入3x³=y⁵+2y³得y=1.等式3x³=y⁵+2y³两端对x求导得9x²=5y⁴y’+6y²y’.将x=1,y=1代入上式得,所以，曲线3x³=y⁵+2y³在x=1对应点处的法线斜率为(15)【答案】【解析】(16)【答案】8.【解析】已知题中方程组有解，所以r(A)=r(B),其中又因为所以r(A)=3,从而r(B)=3,|B|=0.所以三、解答题(17)【解】(I)设曲线y=y(x)在点(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x),则在y轴上的截距为y—xy’,从而有x=y-xy’,即,解此方程得y(x)=x(C-1n x).由y(e²)=0可知，C=2,则y(x)=x(2-1n x).(Ⅱ)设曲线y=x(2-Inx)在点(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x),令X=0得Y=y-xy’=x,令Y=0得,该切线与两坐标轴所围三角形的面积为则,令S’(x)=0得驻点x=e³,且当时，S’(x)<0,当e³<x时，S’(x)>0,故S(x)在x=e³处取最小值，最小值为S(e³)=e³.因而所求点为,所围三角形的最小面积为e³.(18)【解】I由得驻点为(一e(-1)*,kπ)(k=0,±1,…).可计算，A=f“=1,B=f“y=-sin yey,C=f”=-x(cos y-sin²y)ecss.在驻点处，判别式△=B²-AC=-e(-1*·(一1)*e(-¹)*,当k为奇数时，△=e⁻²>0,不是极值点，当k为偶数时，△=-e²<0,且A=1>0,此时函数取极小值为,(k为偶数).(19)【解】(I)所求面积为(Ⅱ)所求旋转体体积为【评注】第I问的积分计算还有其他方法.方法一方法二(20)【解】曲线x²+y²—xy=1,x²+y²-xy=2的极坐标方程为(21)【证明】(I)由泰勒公式可知,其中η介于0与x之间.①②③则,(0<η<a),①+②得又f"(x)在[n,η]上连续，则必有最小值m和最大值M.而由介值定理知，存在ξ∈[n₂,m]C(-a,a),使得代入③式得(Ⅱ)设f(x)在xo∈(-a,a)取得极值，则f’(xo)=0,由泰勒公式可知,其中ξ介于x。与x之间，又|f"(x)|在[ξ1,ξ2]上连续，则必有最大值M.故存在η∈[1,ξ2]C(-a,a),使得|f"(η)|=M.(22)【解析】(Ⅱ)令=—(λ+2)(λ-2)(λ+1)=0求得A的特征值为λ1=-1,λ2=-2,λ3=2.先求解方程组(A+E)x=0(A+E)x=0的通解为x=k₁(-1,0,2),k₁∈R.取A的属于λ1=-1的特征向量为ζ1=(-1,0,2).再求解(A+2E)x=0(A+2E)x=0的通解为x=k₂(0,1,-1)T,k₂∈R.取A的属于λ2=-2的特征向量为ξ2=(0,1,-1).最后求解(A-2E)x=0(A-2E)x=0的通解为x=k₃(4,3,1)T,k₃∈R.取A的属于λ3=2的特征向量为ξ3=(4,3,1).,则。
