2022年全国硕士研究生招生考试数学一一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设则().A.f(1)=0 B.【答案】B.【解析】由于,所以C.f’(1)=1 D.故选B.2.设f(u)可导，,则()A C.f(1)=1,f’(1)=0D.f(1)=0,【答案】D【解析】.因此,即故f(1)=0,3.设,则()A.若存在，则存在.B.若)存在，则存在.C.若存在且存在，则定存在.D.若存在且存在，则定存在.【答案】D.【解析】4.A.I₁<I₂<I₃.B.I₃<I₁<I₂.C.I₂<I₁<I₃·D.I₂<I₁<I₃·【答案】【解析】5.下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是()A.A有3个不同特征值B.A有3个无关的特征向量C.A有3个两两无关的特征向量D.A不同特征值对应的特征向量正交【答案】A【解析】A有3个不同的特征值，则A有3个线性无关的特征向量，此时A可对角化，由于矩阵可对角化的充要条件是线性无关特征向量个数等于矩阵阶数，因此选项(A)符合题意6.设矩阵A,B均为n阶方阵，若Ax=0与Bx=0同解，则().A.仅有零解B.仅有零解C.D.同解【答案】C【解析】设,这里x(i=1,2)是n维列向量.与同解即解.由于Ax=0与Bx=0同解，若Ax=0x(i=1,2),则Bx,=0(i=1,2),反之亦然.因此等价于,所以(C)选项符合题意.7.设,若α₁,α₂,α₃与α₁,α₂,α₄等价，则λ∈().A.{λ∈R}B.{|λ∈R,λ≠-1}C.{|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}D.{λ|λ∈R,λ≠-2}【答案】C【解析】由于当λ=1时，,此时α₁,α₂,α₃与α₁,α₂,α₄等价.当λ=-2时，2=r(α,α₂,α₃)<r(a₁,α₂,α₄)=3,α₁,α₂,α₃与α₁,αz,α₄不等价.当λ=-1时，3=r(a₁,α₂,α₃)>r(a₁,α₂,a₄)=1,α₁,α₂,a₃与α,α₂,α₄不等价.因此当λ=-2或λ=-1时，α₁,α₂,α₃与α₁,α₂,α₄不等价等价，所以λ的取值范围为{2|λ∈R,λ≠-1,λ≠-2}.8.设X~U(0,3),Y～P(2),Cov(X,Y)=-1,求D(2X-Y+1)=().(A)10(B)9(C)1(D)0【解析】由X~U(0,3),Y~P(2)知，,故D(2X-Y+1)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)9.设X₁,X₂…Xn独立同分布，E(X)=μ,用切比雪夫不等式估计A.B.C.D.【答案】【解析】10.设X~N(0,1),在X=x的条件下，Y~N(x,1),则X与Y的相关系数为().A.1 B.D【答案】【解析】二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.f(x,y)=x²+2y²在(0,1)处最大的方向导数为_【答案】4.【解析】由已知可得,故grad(0,1)=(0,4),综上12.【答案】4.【解析】13.设x≥0,y≥0,满足x²+y²≤ke+,则k的最小值为"【分析】由已知可得,问题转化为计x≥0,y≥0上得最大值.【解】x>0,y>0时，令解得驻点为(0,0),(1,1).对驻点(0,0),A=2,B=0,C=2,AC-B²>0,A>0,(0,0)为极小值点，及J极小值=f(0,0)=0.对驻点(1,1),A=0,B=-2e⁻²,C=0,AC-B²<0,(1,1)不为极值点.当x=0,f(0,y)=y²e⁻"(y>0),则f’(0,y)=2ye⁻-y²e⁻³=0,得y=2为驻点，又f"(0,y)=(y²-4y+2)e⁻",f"(0,2)=-2e⁻²<0,f(0,2)=4e⁻²为最大值同理可得f(2,0)=4e²也为最大值.综上可得14.级数的收敛域为(a,+00),则a=.-1.【解析】,则解得x>-1,故a=-1.15.设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-¹)B=A,则B-A=.【答案】((E-(A-E)-¹)-¹-E)A【解析】由于(E-(A-E)⁻¹)B=A,又A可逆，因此A⁻¹(E-(A-E)⁻¹)B=E,从而有B可逆B=(E-(A-E)⁻¹)⁻¹A,因此B-A=(E-(A-E)-¹)-¹A-A=((E-(A-E)-¹)⁻¹-E)A 16.设A,B,C满足A,B互不相容，A,C互不相容，B,C相互独立，,则P[(BUC)|(AUBUC)]=【答案】【解析】由题知，P(AB)=0,P(AC)=0,所求概率由条件概率公式得：P[(BUC)|(AUBUC)]P(A)+P(B)+PC(-P+B)--BC)-P(AC+P(ABC)将代入得三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设y=y(x)满足近线.【解析】由题意可得y(x)=e-5(2xe⁵+c).又y(1)=3,有C=e.故y(x)=e-5(2xe+e)设y(x)的渐近线方程为y=kx+b,因此y(x)的斜渐近线为y=2x.18.(本题满分12分)设D={(x,y)l-2+yk√4-y²,02},,求二重积分【解析】19.(本题满分12分)设∑为x²+y²+z²=1,x≥0,y≥0,z≥0的上侧，∑的边界L的方向与∑的侧符合右手法20.(本题满分12分)设f(x)在(一∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f"(x)≥0的充要条件是对任意的实数a,b,证明：,则F(a)=0.由于f"(x)≥0,所以f’(x)单增，从而故F’(x)<0,F(x)单调递减.x>a,F(x)<0,则F(b)<0,21.(本题满分12分)设二次型(1)求二次型矩阵(2)求正交矩阵Q,使得二次型经正交变换x=Qy化为标准形(3)求f(x₁,x₂,x₃)=0的解【解】(1)据题意，故(2)易得A的特征值为14,0,0.当2=14时，解(A-14E)x=0,由得2=14对应的特征值为α₁=(1,2,3).当2₂=A₃=0时，解Ax=0,得22=2₃=0对应的特征值为α₂=(-2,1,0)和α₃=(-3,0,1).实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，故只需将α₂,α₃正交化，得5₂=(-2,1,0),5₃=(-3,-6,5).将α,5₂,53单位化，得令Q=(Y₁,Y₂,Y₃),经正交变换x=Qy,将f化为标准形14y₁².(3)在正交变换x=Qy下，f(x₁,x₂,x₃)化为14y₁².由f(x₁,x₂,x3)=0,得y₁=0,则,其中k₁,k₂为任意常数.22.(本题满分12分)设X₁,X₂,…,Xn是来自期望为θ的指数分布的简单随机样本，Y,Y₂,…,Ym是来自期望为20的指数分布的简单随机样本，且X₁,X₂,…,Xn,Y,Y₂,…,Y相互独立，求θ的最大似然估计量θ,及D(Ô).【解析】由已知所以总体,,从而可得设x₁,x₂,…,xn,y₁,Y₂,…,ym为样本X₁,X₂,…,Xn,Y₁,Y₂,…,Ym的观测值，且样本相互独立，则似然函数为当x₁,x₂,…,xn,Y1,y₂,…,ym>0时，似然函数两边取对数解得故θ的最大似然估计量为AA由,则D(X)=θ²,D(Y)=40²,。
