绝密★启用前试卷类型：考研数学2024年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。6.本次考试时长为3小时。(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名2024年全国硕士研究生招生考试数学三试题及解答一、选择题，1～10题，每题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.已知函数,则f(x)()(A)在x=1,x=-1处都连续(B)在x=1,处连续，x=-1处不连续(C)在x=1,x=-1处都不连续(D)在x=1处不连续，x=-1处连续【解析】不难得到,于是f(x)在x=-1处连续，在x=1处不连续，选D.2.设为整数，则I的值()(A)只与a有关(B)只与k有关(C)与a,k均有关(D)与a,k均无关【解析】由于s|inx|是周期为2π的周期函数，所以选B.()3.设f(x,y)是连续函数，则(C)(D)选A.4.已知幂级数的和函数为1n(2+x),则(A)(B)(C)【解析】将In(2+x)展开可得(D)()于是ao=In2,,所以选A.5.设二次型在正交变换下的标准型为f(x₁,x₂,x₃)=y²-2y2+3y²,则二次型f的矩阵A的行列式与迹分别为()(A)-6,-2(B)6,-2(C)-6,2(D)6,2【解析】矩阵A的特征值为1,-2,3,于是A||=-6,trA=2,选C.,若,则矩阵A=()6.设A为三阶矩阵，【解析】由于,所以选C.7.已知矩阵且-M₂1+M₂2-M₂3=0,则()(A)a=0或(B)a=0或(C)b=1或(D)b=-1或【解析】由-M₂1+M₂2-M₂3=0可得A21+A₂2+A₂3=0,则所以选B.8.设随机变量X的概率密度为(A)(B)0(C)【解析】则,则X的三阶中心矩E(X-EX)³=()(D)选B.9.设随机变量X,Y相互独立，X～N(0,2),Y～N(-1,1),设p₁=P{2X>Y},p₂=P{X-2Y>1},则()(A))析】首先Y-2X～N(-1,9),X-2Y～N(2,6),所以所以于是选B.10.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z=|X-Y|,则下列随机变量与Z同分布的是()(A)X+Y(B)(C)2X(D)X【解析】先求Z的分布函数Fz(z).当z≤0时，显然Fz(z)=0.当z>0时，Fz(z)=P(Z≤z)=P(|X-Y|≤z)=1-P(|X-Y|>z)这说明Z服从参数为λ的指数分布，选D.二、填空题，11～16题，每题5分，共30分.11.当x→0时，小，则k=【解析】x→0时，,所以k=3.12.【解析】首先于是13.函数f(x,y)=2x³-9x²-6y⁴+12x+24y的极值点为【解析】由或(2,1).且f"&=12x-18,f"=0,f”=-72y².当(x,y)=(1,1)时，A=f"(1,1)=-6,B=f↓(1,1)=0,f"(1,1)=-72,此时AC-B²>0,所以(1,1)是极值点.当(x,y)=(2,1)时，A=fc(2,1)=6,B=f"(2,1)=0,f"(2,1)=-72,那么AC-B²<0,所以(2,1)不是极值点.14.设某产品价格函数为,其中P为价格，Q为产量，总成本函数C=150+5Q+0.25Q².求经营该产品可获得的最大利润为【解析】该产品的利润函数为,于是L(Q)是连续函数，且,所以L(Q)的最大值为L(20)=50万元.15.设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵.若r(2E-A)=1,r(A+E)=2.求|A*|=【解析】由于r(2E-A)=1,r(E+A)=2,所以2至少为A的二重特征值，-1也是A的特征值，所以A的特征值为2,2,-1,于是|A|=-4,|A*|=|A|²=16.16.设事件A每次成功的概率为P,在三次独立重复试验中，在事件A至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为则P:【解析】设在3次试验中，B表示事件A至少成功1次，C表示事件A成功3次，则三、解答题，17～22题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分10分)设平面有界区域D位于第一象限，由曲线,xy=3与直线围成，计算【解析】积分区域关于直线y=x对称，由轮换对称性有于是18.(本题满分12分)设函数z=z(x,y)由方程z+e-yln(1+z²)=0确定，求【解析】将(x,y)=(0,0)代人原方程可得z(0,0)=-1.方程两边对x求导可得上述等式两边继续对x求偏导可得原方程两边对y求偏导可得上述等式两边继续对y求偏导可得所以19.(本题满分12分)设t>0,平面有界区域D由曲线y=xe-²2x与直线x=t,x=2t及x轴围成，D的面积为S(t),求S(t)的最大值.【解析】由题意可知那么这说明S(t)在(0,1n2)上单调递增，在[ln2,+∞)上单调递减，所以S(t)的最大值为20.(本题满分12分)设函数f(x)具有二阶导数，且f(0)=f’(1),|f"(x)|≤1.
证明：(2)【解,x∈[0,1],那么g(0)=g(1)=0,且如果存在xo∈(0,1),使得g(xo)>0,那么由拉格朗日中值定理可知，存在ζ∈(0,xo),ξ2∈(xo,1),使得进一步存在ζ∈(ξ1,ξ2),使得矛盾.因此对任意x∈(0,1),都有g(x)≤0,即同理还有综合起来即(2)将不等式在[0,1]上积分，注意到于是21.(本题满分12分)设矩阵且向量(1)证明：方程组Ax=α的解均为方程组Bx=β的解；(2)若方程组Ax=α与方程组Bx=β不同解，求a的值.【解析】(1)首先解方程组Ax=α,对(A,α)进行初等行变换可得令x₄=k,那么x₁=1-k,x₂=1-2k,x₃=-k,则方程组Ax=α的通解为x=(1-k,1-2k,-k,k)T=kξ+η,其中ξ=(-1,-2,-1,1)T,η=(1,1,0,0)T.容易验证Bξ=0,Bη=β,这就意味着kξ+η都是方程组Bx=β的解.(2)由于Ax=α的解都是Bx=β的解，如果这两个方程组不同解，则r(B)<r(A)=3.对矩阵B进行初等行变换可得所以a=1.22.(本题满分12分)设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中θ∈(0,+∞)为未知参数.X₁,X₂,…,Xn是来白总体X得简单随机样本，记X(n)=max{X₁,X₂,…,Xn},Tc=cX(m)·(1)求c,使得E(Tc)=θ;,求c使得h(c)最小.【解析】(1)先求X(m)的分布函数F(x)=P(X(m)≤x).当x<0时，F(x)=0;当x>θ时，F(x)=1;当0≤x≤θ时，F(x)=P(max{X₁,X₂,…,Xn}≤x)=P(X₁≤x,X₂≤x…,Xn≤x),从而要使得于是X(m)的概率密度为于是于是.(2)E(Tc)=θ,这是一个c的二次函数，显然当时，h(c)最小.
""""""此处省略40%，请
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