2023年考研数学（三）真题答案及解析.docx

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绝密★启用前2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡、试题册和草稿纸按规定交回。考生编号考生姓名一、选择题(1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.)(1)已知函数f(x,y)=In(y+|xsin y|),则(A)存在.(B)存在，不存在.不存在均存在.(D)均不存在.(2)函数的一个原函数为B①(3)若微分方程y"+ay’+by=0的解在(一∞,+∞)上有界，则(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.(4)已知a<b(n=1,2,…).若级数与均收敛，则“绝对收敛”是‘绝对收敛”的(A)充分必要条件.(B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.(5)设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M’为矩阵M的伴随矩阵，则(6)二次型f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₁+x₃)²-4(x₂—x₃)²的规范形为(A)y+y2.(B)y²—y2.(C)y²+y2—4y³.(D)y²+y2一y³.(7)已知向量.若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β₁,β₂线性表示，则γ=(8)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(|X-EX|)=(A)(C)(D)1.(9)设X₁,X₂,…,Xn为来自总体N(μ1,o²)的简单随机样本，Y₁,Y₂,…,Ym为来自总体N(μ2,2σ²)的简单随机样本，且两样本相互独立.记—X)²,,则(A)(C)(D)(10)设X₁,X₂为来自总体N(μ,o²)的简单随机样本，其中o(σ>0)是未知参数.记^=a|X₁-X₂|,若E(G)=6,则a=(A)(B)(C)√π.(D)√2π.二、填空题(11～16小题，每小题5分，共30分.)(12)已知函数f(x,y)满足,则f(√3,3)=.(13)(14)设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于.假设f(t)连续且f(0)=0,则f(t)=(15)已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若(16)设随机变量X与Y相互独立，且X～B(1,p),Y～B(2,p),p∈(0,1),则X+Y与X-Y的相关系数为三、解答题(17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)已知可导函数y=y(x)满足ae+y²+y-In(1+x)cos y+b=0,且y(0)=0,y’(0)=0.(I)求a,b的值；(Ⅱ)判断x=0是否为y(x)的极值点.(18)(本题满分12分)已知平面区域(I)求D的面积；(Ⅱ)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.(19)(本题满分12分)已知平面区域D={(x,y)|(x-1)²+y²≤1},计算二重积(20)(本题满分12分)设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数，证明：(I)若f(0)=0,则存在ξ∈(-a,a),使得(Ⅱ)若f(x)在(一a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a),使得(21)(本题满分12分)均有设矩阵A满足：对任意x₁,x₂,x₃(I)求A;(Ⅱ)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P⁻¹AP=A.(22)(本题满分12分)设随机变量X的概率密度为,一∞<x<+∞,令Y=e×.(I)求X的分布函数；(Ⅱ)求Y的概率密度；(Ⅲ)Y的期望是否存在?绝密★启用前2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.(1)已知函数f(x,y)=In(y+|xsin y),则()(A)存在存在，不存在(C)均存在(D)均不存在【答案】(A)【解析】f(0,1)=0,由偏导数的定义因为所以不存在，存在.(2)函数的原函数为()(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】当x≤0时，当x>0时，=(x+1)sin x+cosx+C₂原函数在(-∞,+∞)内连续，则在x=0处所以C₁=1+C₂,令C₂=C,则C₁=1+C,故结合选项，令C=0,则f(x)的一个原函数为(3)已知微分方程式y"+ay’+by=0的解在(-∞0,o)上有界，则()(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0【答案】(C)【解析】微分方程y"+ay’+by=0的特征方程为λ²+aλ+b=0,当△=a²-4b>0时，特征方程有两个不同的实根2,2,则2,2至少有一个不等于零，若C₁,C₂都不为零，则微分方程的解y=Ce⁻²×+C₂e⁻²×在(-∞,+∞)无界；当△=a²-4b=0时，特征方程有两个相同的实根，若C₂≠0,则微分方程的解在(一∞0,+∞)无界；当△=a²-4b<0时，特征方程的根为此时，要使微分方程的解在(-∞0,+∞)有界，则a=0,再由△=a²-4b<0,知b>0.(4)已知a,<b,(n=1,2,…),若级数与均收敛，则“级数绝对收敛”是“级数绝对收敛”的()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】(A)【解析】由条件知为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设绝对收敛，则由b。|=|bₙ-aₙ+a|≤b-a„|+la|与比较判别法，得绝对收敛；设绝对收敛，则由|a|=|laₙ-bₙ+b„|≤|bₙ-a„|+b|与比较判别法，得绝对收敛.(5)设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则(A)(C)【答案】(B)(B)(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知故(B)正确.(6)二次型f(x,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₁+x₃)²-4(x₂-x₃)²的规范形为()(A)y²+y2(B)y²-y2(C)y²+y2-4y3(D)y²+y²-y3【答案】(B)【解析】由已知f(x₁,x₂,x₃)=2x²-3x²-3x²+2x₁x₂+2x₁x₃+8x₂x₃,则其对应的矩阵,得A的特征值为3,-7,0故选(B)(7)已知向量若γ既可由α,α₂线性表示，也可由与β,β₂线性表示，则γ=()①(D)【答案】(D)【解析】设r=xa₁+x₂α₂=y₁β+y₂β₂则x₁α₁+x₂α₂-y₁β-y₂β₂=0故(x,x₂,y₁,y₂)=c(-3,1,-1,1),c∈R所以r=-cβ+cβ₂=c(-1,-5,-8)=-c(1,5,8)=k(1,5,8),k∈R(8)设随机变量x服从参数为1的泊松分布，则E(X-Ex|)=()(A)(B)(C)(D)1【答案】(C)【解析】法1由题可知区=1,所以,选(C)法2:随机变量x服从参数为1泊松分布，即期望E(X)=1.=e⁻¹+(e-1)e⁻¹-(e-1-1)e⁻¹=2e⁻¹选(C).(9)设X₁,X₂,…,X为来自总体N(μ,σ²)的简单随机样本，Y₁,Y₂,…,Y为来自总体N(μ₂,2σ²)的简单随机样本，且两样本相互独立，记则()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】x,Xx₂…,x,的样本方差Y,Y₂,….y,的样本方差,两个样本相互独立(10)设x,,x₂为来自总体N(μ,σ²)的简单随机样本，其中σ(σ>0)是未知参数，记σ=a|x₁-x₂|,若E(σ)=σ,则a=()(A)(B)(C)√π(D)√2π【答案】(A)【解析】由题可知X₁-X₂~N(0,2σ²).令Y=X₁-X₂,则Y的概率密度为由E(ø)=σ,得.故选(A).二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.(11)【答案】【解析】(12)已知函数f(x,y)满，f(√3,3)=【答案】【解析】由题意可得,则又因为,可得c’(y)=c,由可得故【答案】【解析】令,则即有s"(x)-s(x)=0,解得s(x)=Ceˣ+C₂e⁻*.又由s(O)=1,s’(0)=0有C₁+C₂=1,C₁-C₂=0,解得(14)设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于.假设f(t)连续且f(0)=0,则f(t)=.【答案】2e’-2t-2【解析】由题意可得方程,即.两边同时t对求导得f(t)=f’(t)-2 t,即f’(t)-f(t)=2 t.由一阶线性微分方程通解公式有：=e[-(2t+2)e¹+c]=Ce¹-2t-2.又由于f(0)=0,则C-2=0,即C=2.故f(t)=2e’-2t-2.(15)已知线性方程组有解，其中a,b为常数，若则【答案】8【解析】由已知r(A)=r(A,b)≤3<4,故|A,b|=0(16)设随机变量X与Y相互独立，且X～B(1,p),Y～B(2,p),PE(0,1),则X+Y与x-Y的相关系数为【答案】【解析】因为X～B(1,p),所以DX=p(1-p).因为Y～B(2,p),所以DY=2p(1-p).Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X+Y,X)-Cov(X+Y,Y)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=DX-DY=p(1-p)-2p(1-p)=-p(1-p)因为x与Y相互独立，所以D(X+Y)=DX+DY=3p(1-p),D(X-Y)=DX+DY=3p(1-p)故三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)已知可导函数y=y(x)满足aeˣ+y²+y-1 n(1+x)cosy+b=0,且y(0)=0,y’(0)=0(I)求a,b的值.(Ⅱ)判断x=0是否为y(x)的极值点.【解析】(1)在题设方程两边同时对x求导得，将x=0,y=0代入题设方程得，a+b=0;将x=0,y=0,y’(0)=0代入①式得，a-1=0综上：a=1,b=-1.(2)在等式①两边再对x求导得，将x=0,y=0,y’(0)=0代入②式得，y”()=-a-1=-2.由于y’(0)=0,y”(0)=-2,故x=0是y(x)的极大值点.(18)(本题满分12分)已知平面区域(I)求D的面积.(Ⅱ)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.【解析】(1)面积(2)旋转体体积为(19)(本题满分12分)已知平面区域D={(x,y)|(x-1)²+y²≤1},计算二重积分Jʃ|√x²+y²-1|dxdy.【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算：分别采用极坐标进行计算：所以：(20)(本题满分12分)设函数f(x)在[-q a]上具有2阶连续倒数，证明：(I)若f(x)=0,则存在ξ∈(-a,a)使得(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在ηe(-a,a),使得【解析】(1)证明：,η介于0与x之间，贝,0<η₁<a①①+②得：又f"(x)在[n₂,n]上连续，则必有最大值M与最小值m,即m≤f”(n,)≤M;m≤f"(n₂)≤M;从而由介值定理得：存在ξ∈[n₂₂,n,]=(-a,a),有,代入③得：f(a)+f(-a)=a²f"(ξ),即(2)证明：设f(x)在x=x₀∈(-a,a)取极值，且f(x)在x=x。可导，则f’(x₀)=0.又γ介于0与x之间，贝,0<Y₂<a又|f”(x)|连续，,则又x₀∈(-a,a),则|f(a)-f(-a)|≤M(a²+x。²)≤2Ma²,则,即存在η=γ或η=γ₂∈(-a,a),有(21)(本题满分12分)设矩阵A满足对任意x₁,x₂,x₃均有(I)求A.(Ⅱ)求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P-¹AP=A.【解析】(I)因为对任意的x₁,x₂,x₃均成立，所以=(λ-1)(Z²+22)-2(λ+2)=(λ+2)(λ-2)(λ+1)=0.所以A的特征值为=-2,22=2,2₃=-1.₁=-2时，可得特征向量α₁=(0,-1,1)’;2₂=2时，可得特征向量α₂=(4,3,1’;2₃=-1时，可得特征向量α₃=(1,0,-2);,则(22)(本题满分12分)设随机变量X的概率密度为,一∞<x<+∞,令Y=e.(I)求X的分布函数(Ⅱ)求Y的概率密度(Ⅲ)Y的期望是否存在?【解析】(1)x∈R(II)【法1】分布函数法F(y)=P{Y≤y}=P{e×≤y}.当y<0时，F(y)=0;当y≥0时，号所以Y的概率密度为【法2】公式法因为y=e在(-∞0,+∞)上单调且处处可导，当x∈(-∞0,+∞),y>0,此时x=Iny,所以Y的概率密度为(Ⅲ)所以不存在.