2026年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.已知当x→0时，ax2+bx+arcsin x与-1是等价无穷小，则()【答案】(A)2.设y1(x),y2(x),是某2阶非齐次线性微分方程的两个特解.若常数λ,μ使得2λy1(x)+μy2(x)是该方程的解，λy1(x)-2μy2(x)是该方程对应的齐次方程的解，则()【答案】(B)3.设z=z(x,y)由方程x-az=ey+az(a是非零常数)，则()【答案】(A)4.线密度为1的线段，x在(-1,0)和(1,0)之间，质量为m的质点在(0,1)点，求质点对线段的引力()【答案】(D)5.已知f(x)在区间[-1,1]内有定义，则()(A)当f(x)在(-1,0)内单调递减，(0,1)内单调递增时，f(0)是极小值(B)当f(0)是极小值时，f(x)在(-1,0)内单调递减，(0,1)内单调递增(C)当f(x)在区间[-1,1]内是凹函数时，在[-1,1]上单调递增(D)当在[-1,1]上单调递增时，f(x)在区间[-1,1]内是凹函数【答案】(C)6.已知f dt,g(x)为f(x)的反函数，则()【答案】(B)7.设函数f(x,y)在区域D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1}上连续，且f(x,y)=f(y,x)，则f(x,y)dσ=()【答案】(D)8.单位阵经过若干次两行互换得到的矩阵为置换矩阵，设A为n阶置换矩阵，A*为A的伴随矩阵，则()(A)A*为置换矩阵(C)A*=A-1【答案】(B)(B)A-1为置换矩阵(D)A*=-A-1 9.设矩阵A若存在矩阵B满足AB=C，则()(A)a=_1,b=_1(B)a=2,b=2(C)a=_1,b=2(D)a=2,b=_1【答案】(A)10.设3阶矩阵A,B满足AB+BA=A2+B2，且A≠B则下列结论中错误的是()(A)(A_B)3=O(B)A_B只有零特征值(C)A和B不能都是对角矩阵(D)A_B只有一个线性无关的特征向量【答案】(D)二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.已知p为实数，dx收敛，则p的取值范围___________.【答案】0<p<2 12.极限.1【答案】2 13.求曲线x2+23xy+y2=1在(0,1)处的曲率半径R=【答案】4 14.f(x,y)可微，且df(0,0)=πdx+3dy,g(x)=f(ln x,sinπx),计算g,(1)=.【答案】_2π15.求f(x)=ln(2+x)在[0,2]上的平均值为.【答案】3ln 2_1 16.设A二次型xTAATx的规范形为y1(2)，则a+b=___________.【答案】2三、解答题：17~22小题,共70分.请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)计算I dxy sin y2dy..【解析】设D1是积分区域在第一象限内的部分，则=2 sinθdθ∫02 r 2.sin rdr=·2.(_r2 cos r+2r sin r+2 cos r)02=4sin、2_2·2.4 18.(本题满分12分)设g(x)连续，f(x)=2 g(xt)dt,求f,(x)表达式，并判断f,(x)在x=0处的连续性.【解析】f(0)=0，当x≠0时，令u=xt，则f du，由导数定义得：f当x≠0时，f,由连续定义：limf,(x)=lim g(x3).3x3_23 g(u)du=0_lim 3 g(2(u))du x→0 x→0 x x→0 x=f,(0)=0，故f,(x)在x=0处连续.19.(本题满分12分)求函数f(x,y)=(2x2-y2)ex的极值.【解析】令解得：(x,y)=(0,0),(-2,0)fxx,,=ex(2x2+8x+4-y 2)，fxy,,=-2yex,fyy,,=-2ex(0,0)处：A1=fxx,,(0,0)=4,B1=fxy,,(0,0)=0,C1=fyy,,(0,0)=-2 A1C1-B12<0,故(0,0)不是f(x,y)的极值点；(-2,0)处：A2=fxx,,(-2,0)=-4e-2,B2=fxy,,(-2,0)=0,C1=fyy,,(-2,0)=-2e-2 A2 C2-B22>0,A2<0,故f(-2,0)=8e-2是f(x,y)的极大值.20.(本题满分12分)设M(x0,y0)是曲线y的拐点，O为坐标原点，区域D是第一象限中曲线y线段OM及x轴正半轴围成的无界区域，求区域D绕x轴旋转所生产的旋转体的体积.【解析】y在x≥0范围内的拐点为(x0,y 1πx 3 x=x0左侧旋转体为锥，其体积为V1=3πy0(2).x0=3(1+x(0)02)2=16πx=x0右侧旋转体的体积为Vdx令x=tan t，则V cos2 tdt dt sin 2t故所求旋转体体积V=V1+V 21.(本题满分12分)求微分方程x2y,,_2xy,_(y,)2=0(x>2)满足yy,x=3=_9的解.【解析】原方程可化为两边积分得：x+C1,y由y,x=3=_9得：C1=2故y dx dx dx=_4 ln x+C2由y得C2=11，故y=_4 ln x+11 22.(本题满分12分)设向量组A=(α1,α2,α3,α4)，G=(α1,α2)，(1)证明α1,α2是α1,α2,α3,α4的一个极大无关组；(2)求H，满足A=GH，并求A10.【解析】得r(α1,α2,α3,α4)=2且α1,α2线性无关，故α1,α2是α1,α2,α3,α4的一个极大无关组；(2)解矩阵方程组GH=A，由解得：η1=(1,0)T,η2=(0,1)T,η3=(_1,1)T,η4=(1,_1)T故H HG则A10=GHGH GH=G 9 H=G H=G。
