绝密★启用前2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。5.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题(1)设(A)bsin a(B)bcos a(C)bsin f(a)(D)bcos f(a)(2)函数第二类间断点个数(A)1(B)2(C)3(D)4(3)设奇函数f(x)在(一0,+0)上具有连续导数，则(A)是奇函数(B)是偶函数(C)是奇函数(D)是偶函数(4)设幂级数的收敛区间为(-2,6),则的收敛区间为(A)(-2,6)(B)(-3,1)(C)(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a,)不可逆，a₁₂的代数余子式A₁≠0,a₁,a₂,a₃,a₄为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为(A)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(B)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(C)x=k₁a₁+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(D)x=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(6)设A为3阶矩阵，a,a₂为A属于特征值为1的线性无关的特征向量，a₃为A的属于-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为(A)(a₁+a₃,α₂,-a₃)(B)(a₁+α₂,α₂,-a₃)(C)(a₁+a₃,-a₃,a₂)(D)(a₁+a₂,—a₃,a₂)(7)设A,B,C为三个随机事件，且,P(AB)=0,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为(A)(B)(C)(D)(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布i,随机变量中服从标准正态分布且为X独立的是(A)(B)(C)(D)二、填空题(9)设z=arctan[xy+sin(x+y)],则dz|0,π)=(10)曲线x+y+e²=0在点(0,-1)处的切线方程为(11)Q表示产量，成本C(Q)=100+13Q,单价p,需求量.则工厂取得利润最大时的产量为(12)设平面区：,则D绕y轴旋转所成旋转体体积为(13)行列式(14)随机变量X的概率分布,k=1,2,3,Y表示X被3整除的余数，则E(Y)=.三、解答题(15)已知a,b为常数，当n→∞时为等价无穷小，求a,b.(16)求函数f(x,y)=x³+8y³-xy的极值(17)设函数y=f(x)满足y"+2y’+5y=0,且f(0)=1,f’(O)=-1.(I)求f(x)的表达式；(Ⅱ)设,求(18)设D={(x,y)|x²+y²≤1,y≥0},连续函数f(x)满足(1 9)已知f(x)在区间[0,2]上具有连续导数，已知f(0)=f(2)=M,且.证明：(I)存在ξ∈(0,2),使得|f’(ξ)|≥M;(Ⅱ)若对任意的x∈(0,2),|f’(x)|≤M,则M=0.(20)设二次型f(x₁,x₂)=x²-4x₁x₂+4x2经正交变换化为二次型g(y₁,y₂)=ay²+4y1y₂+by2,其中a≥b.(I)求a,b的值；(Ⅱ)求正交矩阵Q.(21)设A为二阶矩阵，P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量：(I)证明P是可逆矩阵；(Ⅱ)若A²α+Aa-6a=0,求P-¹AP,并判断A是否相似于对角矩阵.(22)二维随机变量(X,Y)在正域上服从均匀分布，令(I)(Z,Z₂)概率分布；(Ⅱ)求Z₁,Z₂相关系数.(23)设某种元件的使用寿命T的分布函数为为参数且大于零.(I)求概率P{T>t}与P{T>s|T>S},其中S>0,t>0;(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t₁,t₂,…,t,若m已知，求θ的最大似然估计值θ.2020年全国硕士研究生招生考试数学三答案数学(三)一、选择题(1)设则(A)bsin a(B)bcosa(C)bsin f(a)(D)bcos f(a)【答案】B.【解析】于a与f(x)之间，.且f(a)=a.故(2)函数的第二类间断点的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】C.题目中.故选(C)(3)设奇函数f(x)在(一∞,+○)上具有连续导数，则(A)t是奇函数(B)是偶函数(C)t是奇函数(D)是偶函数【答案】A.【解析】对于(A),由F’(-x)=cos[f(-x)]+f’(-x)=cos f(x)+f’(x).所以F’(x)为偶函数，则t为奇函数，故(A)正确，(B)错误.(4)设幂级数的收敛区间为(-2,6),则的收敛区间为(A)(-2,6)(B)(-3,1)(C)(-5,3)(D)(-17,15)【答案】C.【解析】由于与的收敛半径相同.故由题设，收敛区间为(-2,6),则收敛半径R=4.因此，的收敛区间为(-1-4,-1+4),即(-5,3).(5)设4阶矩阵A=(a)不可逆，a₁₂的代数余子式A₁₂≠0,a₁,a₂,a₃,a₄为矩阵A的列向量组，A为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为(A)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃,其中k,k₂,k₃为任意常数(B)x=k₁a₁+k₂a₂+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(C)x=k₁a₁+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数(D)x=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄,其中k₁,k₂,k₃为任意常数【答案】C.【解析】因为A不可逆，所以r(A)<4.又因为A₁₂≠0,故r(A*)≥1,所以r(A)≥n-1=3,r(A)=3,r(A")=1,|A|=0.由于A₁₂≠0所以a₁,a₃,a₄线性无关.A*x=0的基础解系中有4-1=3个无关解向量，A*A=|A|E=0,所以A的列向量为A*x=0的解.因此A*x=0的通解为k₁a₁+k₂a₃+k₃a₄·(6)设A为3阶矩阵，a₁,a₂为A属于特征值为1的线性无关的特征向量，a₃为A的属于特征值-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为(A)(a₁+a₃,α₂,-a₃)(B)(a₁+a₂,α₂,-a₃)(C)(a₁+a₃,-a₃,α₂)(D)(a₁+a₂,一a₃,a₂)【答案】D.【解析】由于a₁,a₂线性无关，且为特征值1对应的特征向量.所以1至少为2重特征值.因为a₃为-1对应的特征向量，A为3阶矩阵，所以A的特征值为1,1,-1.又因为所以P的第一列、第三列为1对应的特征向量.P的第二列为-1对应的特征向量.故P的第二列应为a₃的线组合，第一列、第三列为a₁,a₂的线性组合.故选(D).(7)设A,B,C为三个随机事件，且,P(AB)=0,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】法1:A,B.C中恰有一个事件发生的概率为P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=P(4)-P(AB)-[P(AC)-P(ACB)]P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=P(B)-P(AB)-[P(BC)-P(BCA)]P(ABC)=P(BC)-P(BCA)=P(C)-P(CB)-[P(CA)-P(CAB)]因为P(AB)=0,而ABCcAB,则0≤P(ABC)≤P(AB)=0,故P(ABC)=0将题干的已知代入以上三个式子中，得故所求概率为,故选(D)法2:p=P(A+B+C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+2P(ABC)P(AB)=0→P(ABC)=0 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).故选(D)(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是(A)(B)(C)(D)【答案】C.【解析】由题知，1·√4=-1,而只有Cov(X,X+Y)=D(X)+Cov(X,Y)=0,故与X相互独立的只有(A)(C);又因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=3,所以,选(C).二、填空题(9)设z=arctan[xy+sin(x+y)],则dzlo₀,π)=【答案】(π-1)dx-dy.【解析】dz|(0.)=(π-I)dx-dy(10)曲线x+y+e²=0在点(0,-1)处的切线方程为【答案】y=x-1.【解析】方程两边对x求导得，1+y+e²(2y+2xy’)=0,代入x=0,y=-1得y’=1,故切线方程为y=x-1(11)设某厂家产品的产量为Q,成本C(Q)=100+13Q,设产品的单价为p,需求量则该厂家获得最大利润时的产量为【答案】8.【解析】由需求函数可得利润函,解得Q=8.,当Q=8时，L(Q)最大.(12)设平面区域,则D绕y轴旋转所成的旋转体的体积为【答案】【解析】(13)行列【答案】a⁴-4a².【解析】=-a(2a-a³)-2a²=a⁴-4a².(14)设随机变量X的概率分布P{x=k}=2k,k=1,2,3,Y表示X被3整除的余数，则EY=【答案】【解析】Y表示X被3除的余数，那么Y的取值有0,1,2,其取值的概率如下：三、解答题(1 5)已知a,b为常数，,当n→∞时是等价无穷小，求a,b.【解析】由等价无穷小的定义可知则若使该极限存在必有a+1=2,即a=1.可得(1 6)求函数f(x,y)=x³+8y³-xy的极值【解析】由计算可得或当x=0,y=0时，A=0,B=-1,C=0,当时，A=1,B=-1,C=4,则AC-B²=-1<0,则AC-B²=3>0所以(0,0)点不是极值点；且A>0,所以为极小值点，极小值(17)设函数y=f(x)满足y"+2y’+5y=0,且f(0)=1,f’(0)=-1.(I)求f(x)的表达式；(Ⅱ)设,求【解析】(I)y"+2y’+5y=0,由特征方程知，r²+2r+5=0,可得r₁=-1+2i,r₂=-1-2i,则方程的通解y=e⁻×(C₁cos 2x+C₂sin 2x).又因f(0)=1,f’(0)=-1,所以C₁=1,C₂=0,因此f(x)=e⁻*cos2x.(Ⅱ)设所以即故(18)设D={(x,y)|x²+y²≤1,y≥0},连续函数f(x)满足【解析】令,则f(x,y)=y√1-x²+Ax即,故(1 9)设函数f(x)在区间[0,2]上具有连续导数，已知f(0)=f(2)=0,.证明：(I)存在ξ∈(0,2),使得|f’(ξ)|≥M;(Ⅱ)若对任意的x∈(0,2),|f’(x)|≤M,则M=0.【解析】(1)设x=x₀时f|(x₀)|=M,,由拉格朗日定理35∈(0,x₀)使得3ξ₂∈(x₀,2)使若x₀∈[0,1]则取ξ=ξ,有若x₀∈(1,2)则取ξ=5,故同时成立若x₀≠1则显然M=0若x₀=1则当且仅当区间(0,1)和(1,2)上f|’(x)|=M成立，若假设M≠0要么f’(x)=±M与f(0)=f(2)=0矛盾要么f(x)在x=1处不可导，与已知矛盾故M=0(20)设二次型f(x₁,x₂)=x²-4x₁x₂+4x2经正交变换化为二次型g(y₁,y₂)=ay²+4y1y₂+by2,其中a≥b.(I)求a,b的值；(Ⅱ)求正交矩阵Q.【解析】(1)记,则Q’AQ=B,其中Q是正交矩阵.A与B相似，所以A与B有相同的特征值.得到A的特征值为Z=0,Z₂=5..由B的特征值也为Z=0,2₂=5,得ab=4,a+b=5.因为a≥b,所以a=4,b=1.(II)当Z=0时，(0E-A)x=0的基础解系为a₁=(2,1);当Z₂=5时，(5E-A)x=0的基础解系为α₂=(1,-2).当Z=0时，(0E-B)x=0的基础解系为β₁=(1,-2);当Z₂=5时，(5E-B)x=0的基础解系为β₂=(2,1).令,则所以P⁻¹AP=P₂⁻¹BP₂,所以B=P₂P⁻¹APP⁻¹.因为是正交矩阵，所以(21)设A为二阶矩阵，P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量：(I)证明P是可逆矩阵；(Ⅱ)若A²a+Aa-6a=0,求P-¹AP,并判断A是否相似于对角矩阵.【解析】(1)(解法一)证明：假设P不是可逆矩阵，则α与Aα线性相关.根据线性相关的定义，存在不全为0的实数k₁,k₂,使得成立k₁α+k₂Aα=0.若k₂=0,则有k₁α=0.α是非零向量，则k₁=0,与k₁,k₂不全为0矛盾，所以k₂≠0.所以有,与α不是A的特征向量矛盾，所以假设不成立，故P是可逆矩阵.(解法二)设Aα=β,则β≠ka,即α,β线性无关，得P=(a,β)=(a,Aα)可逆矩阵.(II)因为A²a+Aα-6a=0,所以.又因为P是可逆矩阵，所以记得到B的特征值为Z₁=2,Z₂=-3.A与B相似，则A的特征值也为2=2,Z₂=-3,所以A可相似对角化.(22)设二维随机变量(X,Y)在正域上服从均匀分布，令求(I)求二维随机变量(Z₁,Z₂)的概率分布；(Ⅱ)求Z,Z₂的相关系数.【解析】又P{Z=1,Z₂=0}=0故联合概率分布：Z₂Z 0 1 0 3 410(23)设某种元件的使用寿命T的分布函数为为参数且大于零.(I)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s},其中s>0,t>0;(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t₁,t₂,…,tn,若m已知，求θ的最大似然估计值θ.【解析】(I)似然函数：,(t,>0,i=1,2,…,n)所以θ的最大似然估计值为：。
