2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)(考试时间：上午8:30—11:30)考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点.2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效.3.填(书)写必须使用黑包字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂.4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回.考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)函数在x=0处()(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.1.【答案】(D).【解析】故f(x)在x=0处连续；又故应选(D).(2)设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e*)=x(x)²,f(x,x²)=2x²Inx,则df(1,1)=()(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)-dy.2.【答案】(C).【解析】令u=x+1,,=e,则f(u,v)=u²lnv,从而f(x,y)=x²In y,故则f’(1,1)=0,f’(1,1)=1,得df(1,1)=dy.故应选(C).(3)设函数在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx²+cx³,则()(A)a=1,b=0,(B)a=1,b=0,(C)a=-1,b=-1,(D)3.【答案】(A).【解析】由题意知，故=ax+bx²+(a+c)x²+o(x³),由泰勒展开的唯一性，比较系数，有故应选(A).(4)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则()(B)(C)4.【答案】(B).【解析】将区间[0,1]上均分成n份，取ξ为第k个小区间的中点，则,由定积分的定义知，故应选(B).(5)二次型f(x,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x)²的正惯性指数与负惯性指数依次为()(A)2;0.(B)1;1.(C)2;1.(D)1;2.5.【答案】(B).【解析】f=(x₁+x₂)²+(x₂+x₃)²-(x₃-x₁)²=2x²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃,二次型的矩阵A的特征值为3,-1,0,故f的正、负惯性指数都是1.故应选(B).(6)已知,记β₁=a,β₂=a₂-kβ,β₃=a₃-Lβ₁-l₂β₂,若β,β₂,β₃两两正交，则l,l₂依次为()(A)(B)(C)(D)6.【答案】(A).【解析】由已知，有β₁=α₁,β₂=Z₂-kβ₁=α₂-ka₁,B.=a₃-Lβ₁-l₂β₂=a₃-La₁-l₂(a₂-ka,),又β₁,β₂,β₃两两正交故(β,β₂)=0,即(a₁,a₂-ka₁)=(a,a₂)-k(a,a₁)=2-2k=0,得k=1,此时β₃=a₃-(L-I₂)a-l₂a₂·又(β,β₃)=(a,,a₃-(l-2₂)a₁-La₂)=(a,a₃)-(L-l₂)(a,a₁)-l₂(a,a₂)=5-(1-2₂)·2-2l₂=5-21₁=0,得,此时又(β₂,β₃)=(β₂,a₃-(L-2)a₁-L₂a₂)=(β₂,a₃)-(L-L₂)(β₂,a₁)-L(β₂,a₂)=2-(1-2)·0-l·4=2-4l₂=0,得故应选(A).(7)设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是()(A)(B)(C)(D)7.【答案】(C).【解析】对于(A):对于(B):,因为(E B)行满秩，所以r(A AB)=r[A(E B)]=(A),于是1对于(D):因为列满秩，所以,于是对于(C):取,则故应选(C).(8)设A,B为随机事件，且0<P(B)<1,下列命题中为假命题的是()(A)若P(A|B)=P(A),则P(A|B)=P(A).(B)若P(A|B)>P(A),则P(A|B)>P(A).(C)若P(A|B)>P(A|B),则P(A|B)>P(A).(D)若P(A|AUB)>P(A|AUB),则P(A)>P(B).8.【答案】(D).【解析】对于(A)选项：由P(A|B)=P(A),知A与B相互独立，故A与B相互独，从而有P(A|B)=P(A).故(A)正确.对于(B)选项：由P(A|B)>P(A),得P(AB)>P(A)P()故(B)正确.对于(C)选项：由P(A|B)>PA|B),得P(AB)>P(A)P(B),故(C)正确，由排除法知应选(D).事实上对于(D)选页：由P(A|AUB)>P(A|AUB),得P[A(AUB)]>P[A(AUB)],即P(A)>P(BA)=P(B)-P(AB),无法比较P(A)与P(B)的大小.故应选(D).(9)设(X,Y),(X₂,Y₂),…,(X,Y,)为来自总体N(μ,M₂;σ²,σ2;p)的简单随机样本，则()(A)θ是θ的无偏估计，(B)θ不是θ的无偏估计，(C)Ô是θ的无偏估计，(D)不是θ的无偏估计，9.【答案】(C).【解析】由题意得，X,～N(μ,o²),Y,～N(u₂,o2),i=1,2,…,n.E(O)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=从-μ₂=θ,故θ是θ的无偏估计，可排除(B)、(D).又(X,Y),(X₂,Y₂),…,(X,Y)为简单随机样本，故X与Y;(i≠j;i,j=1,2,…,n)相互独立，故cov(X,Y)=0,(i≠j).从而故D(G-DX-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)故应选(C).(10)设X₁,X₂,…,X1₆是来自总体N(μ,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H₀:μ≤10,H₁:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为w={x≥1 1},其中.则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为()(A)1-(0.5).(B)1-Φ(1).(C)1-Φ(1.5).(D)1-Φ(2).10.【答案】(B).【解析】由题意有犯第二类错误是指在H₀不真时接受H₀,也叫存伪错误.因拒绝域为W={x≥11},故接受域为{x<11}.当μ=11.5时，要求的概率为故应选(B).二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)11.【答案】【解析】确定，则(12)设函数y=y(x)由参数力程12.【答案】【解析】(13)欧拉方程x²y"+xy’-4y=0满足条件y(1)=1,y’(1)=2的解为·13.【答案】y=x².【解析】令x=e,方程x²y“+xy′-4y=0可化为y”(t)-4y(t)=0,解方程，得y(t)=C₁e²+C₂e⁻².又x=e’,从而,由y(1)=1,y’(1)=2,得解得从而满足条件的特解为y=x².(14)设∑为空间区域{(x,y,z)|x²+4y²≤4,0≤z≤2}表面的外.则曲面积分14.【答案】4π.【解析】由高斯公式，有因为Ω关于yOz,xOz面均对称，故·h=π·2·1·2=4π.(15)设A=a)为3阶矩阵，A,为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,则A₁+A₂₁+A₃₁=15.【答案】【解析】【分析】求A₁₁+A₂₁+A₃₁,相当于求A的第1行元素之和已知A的每行元素之和均为2,故两边同时左乘,故AA=3E,则(16)甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为·16.【答案】【解析】由题意有P{Y=0}=P{Y=0|X=0}P{X=0}+P{Y=0|X=1}P{X=1}P{X=0,Y=0}=P{Y-0|X=0}P{X=0}故(X,Y)的概率分布为Y X01 03/102/101/212/103/101/2 1/21/2三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)求极限17.【解析】(18)(本题满分12分)已知曲线C:求C上的点到xOy坐标面距离的最大值.18.【解析】由题意，的线C上的点到xOy坐标面距离为z||,故原问题可转化为求函数f(x,y,z)=z²在约束条件下的最大值.设拉格朗日函数L(x,y,z,a,μ)=z²+λ(x²+2y²-z-6)+μ(4x+2y+z-30),解得驻点(-8,-2,66),(4,1,12).则f(-8,-2,66)=66,f(4,1,12)=12,比较大小得距离最大值为66.(19)(本题满分12分)设DcR²是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D₁.(I)求I(D₁)的值；(Ⅱ)求,其中oD₁是D₁的正向边界.19.【解析】(I)被积函数非负的最大区域为4-x²-y²≥0,故要使I(D)取得最大值，则D₁={(x,y)ix²+v²≤4},故(Ⅱ)由(I)知，OD为x²+y²=4,方向逆时针.取L:x²+4y²=ε²,方向取顺时针，其中ε为很小的正数，使L在区域D₁的内部.记,则因为同理，计算可得故,又其中D₂:x²+4y²≤ε².而综上，得(20)(本题满分12分)已知20.【解析】、从而有,求级数的收敛域与和函数.当|e|<1,即x>0时，当x=0时，级数S₂(x)显然收敛；当x≠0时，因故当|x|<1时，级数S₂(x)收敛，当|x|>1时，级数发散.又当|x|=1时，级数S₂(x)收敛，故S₂(x)的收敛域为[-1,1],综上知的收敛域为[0,1].当0<x<1时，故因S₂(x)在x=1处收敛，由幂级数和函数的连续性知，综上，(21)(本题满分12分)已知(I)求正交矩阵P,使得PTAP为对角阵；(Ⅱ)求正定矩阵C,使得C²=(a+3)E-A.21.【解析】(I)A的特征值为λ₁=2₂=a-1,23=a+2.解方程[(a-1)E-A]x=0,解方程[(a+2)E-A]x=0,得A的对应于2=2₂=a-1的两个正交的特征向量得A的对应于2₃=a+2的特征向量a₁,a₂,a₃已正交，将a₁,α₂,a₃单位化，得取P=(β,β₂,β₃),则P为正交阵，满(Ⅱ)由(I)得A=PAPT,则C²=(a+3)E-A=(a+3)E-PT=(a+3)PPT-PAPT,则C为对称矩阵，且与合同，故C为所求正定矩阵.(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长度记为Y.令(I)求X的概率密度；(Ⅱ)求Z的概率密度；(Ⅲ)求22.【解析】设(0,2)区间上随机取一数记为W,由题意W～(0,2),且X=min(W,2-W),Y=2-X.(I)由分布函数的性质.Fx(x)=P{X≤x}=P{min(w,2-w)≤x}=P{min(w,2-w)≤x,0<w<1}+P{min(w,2-w)≤x,1≤w<2}=P{w≤x,0<w<1}+P{2-w≤x,1≤w<2},当x<0时，Fx(x)=0;当0≤x<1时，当x≥1时，Fx(x)=1.(Ⅱ)由分布函数的定义当z<1时，F₂(z)=);当z≥1时，故。
