2022年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.已知函数,则x=0是f(x)的().A.第二类间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.连续点2.设函数f(x)连续，,则dF(x)=().A.0 B.(x—t)f(x)dx C.D.3.设函数f(x,y)可微，且df(x,y)=(ax²y²+3ysinx)dx+(2x³y+bcosx+1)dy,则().A.a=3,b=-3 B.a=-3,b=3 C.a=3,b=2 D.a=2,b=3 4.已知区域D={(x,y)|π²≤x²+y²≤4π²},则A.4πB.—4πC.6π²D.—6π²5.行列式A.a⁵+b⁵B.—a⁵+b⁵C.a⁵-b⁵D.—a⁵—b⁵6.设3维向量组α₁,α2,α₃的秩为2,则向量组α₁一α2,α₂一α3,α₃一α₁的秩是().A.0或1 B.1或2 C.1或3 D.2或3 7.若线性方程组有无穷多解，则a=().A.1 B.0 C.-1 D.-2 8.已知随机变量X～N(1,2),则E(X²-2X-1)=().A.-1 B.0 C.1 D.2 9.设X²(n)表示自由度为n的X²分布的是上侧α分位数.设X₁,X₂,…,X¹0是来自N(0,1)的简单随机样本，记,则(),A.P{X6.95(9)<S²<x.05(9)}=0.9 B.P{X3.95(10)<S²<X3.5(10)}=0.9 C.P{X6.95(9)<9S²<X3。5(9)}=0.9 D.P{χ0_{.}952(10)<9S2<χ0_{.}052(10)}=0.9 10.袋子中有1个红球、2个黄球、2个白球，从中任取4个，以X表示取出的红球数，Y表示取出的黄球数，则Cov(X,Y)=().A B C.D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.12.已知函数f(x)=(2x+1)e⁻=²,则f"(0)14.微分方程满足条件y lx=1的解为y=·15.已知矩阵,则(A²+A+E)⁻¹的行列式的值为16.设随机事件A,B,C两两独立，ABC=,且,P(AUB,则_P(C)=·三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(1)求f(x)在x=1处的左导数f’_(1);(2)证明：存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)十ξf’(ξ)=0.18.(本题满分12分)设D是曲线与y=x³(x≥0)围成的平面有界区域，Ω是D绕x轴旋转所得旋转体，求D的面积与Ω的体积.19.(本题满分12分)计算20.(本题满分12分)求函数f(x,y)=(y+sinx—2)[1—1n(y-1)]在区域D={(x,y)|0<x<π,1<y<π}内的极值.21.(本题满分12分)设矩阵的一个特征值为1.(1)求a的值；(2)求可逆矩阵P,使P-¹AATP为对角矩阵.22.(本题满分12分)设随机变量X的概率密度为记X的分布函数为F(x),令Y=F(X).(1)求F(x)及DX;(2)求Y的概率密度.2022年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学试题参考答案及解析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.【答案】(C).【解析】所以，x=0是跳跃间断点.2.【答案】(D).【解析】3.【答案】(A).【解析】df(x,y)=(ax²y²+3ysinx)dx+(2x³y+bcosx+1)dy,知f(x,y)可微；因：连续，则相等，因此，a=3,b=-3.4.【答案】(D).【解析】5.【答案】(A).【解析】行列式展开得6.【答案】(B).【解析】设存在3个实数a,b,c使得a(α₁一α2)+b(a₂一α3)+c(α₃一α₁)=0成立。整理上式得：(a一c)α₁+(b—a)α2+(c—b)α₃=0因向量组α1,α2,α3的秩为2,则a一c,b—c,c—b中至少有一个不为零.不妨设a—c=k≠0,得kα₁+(b—c—k)α2+(c—b)α3=0,整理得：k(α₁—α2)+(b—c)(a₂一α₃)+0(α₃—α₁)=0,因k≠0所以向量组α₁一α2,α2一α3,α₃一α₁线性相关，其秩小于3.7.【答案】(C).【解析】因方程组有无穷多解，则a≠0方程组的增广矩阵，进行行初等变换,方程组有无穷多解，所以a⁴-1=a³+a²=0,得a=-1.8.【答案】(B).【解析】E(X)=1,D(X)=2 E(X²-2X-1)=E(X²)-2E(X)-1=D(X)+(EX)²-2E(X)-1=0 9.【答案】(C).【解析】知样本方差S²满足：～X²(n-1),总体X～N(0,1)1-α,当α=0.1,n=10因此，P|X3.95(9)<9S²<X3.05(9)|=0.9 10.【答案】(B).【解析】X表示取出的红球个数，Y表示取出的黄球个数，则随机变量X可能取值X=0和X=1,随机变量Y可能取值Y=1和Y=2;则X,Y的分布律分别为：XY的分布律协方差二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.11.【答案】【解析】12.【答案】-2.【解析】f’(x)=e=²(2—4x²—2x)f"(x)=—2xe⁻²²(2—4x²—2x)+e⁻²(-8x—2)13.【解析】所以14.【答案】(1+x)eˣ1.【解析】由方程分离变量得：,积分得：得：y=C[(1+x)eˣ],由yl x=1=2得,y=(1+x)e-1 15.【答案】【解析】矩阵A可逆，得16.【答案】【解析】ABC=φ,则P(ABC)=0 P(A U BU C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)—P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)由,得三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)由得又f(x)在x=1处左连续，故f(1)=0.(2)令g(x)=xf(x).由题意知，g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且g(0)=g(1)=0,由罗尔中值定理知：存在ξ∈(0,1)使得g’(ξ)=0,即f(ξ)十ξf’(ξ)=0.18.【解析】两条曲线的交点为(0,0),(1,1).区域D的面积为Ω的体积为19.【解析】20.【解析】由f(x,y)=(y+sinx—2)[1-1n(y—1)]得fa(x,y)=[1—In(y-1)]cosx令f(x,y)=0,f,(x,y)=0,fxx(x,y)=-[1-In(y-1)]sinx,在点处，,B=fxy,C=fy,因为AC-B²>0,A<0,所以f(x,y)在点处取极大值，且极大值为21.【解析】(1)因为1是A的特征值，所以|E-A|=a(a²-a+1)=0解得a=0.(2)由于,|λE—AAT|=λ(λ-2)²,解得AA’的特征值λ₁=λ₂=2,λ3=0当λ₁=λ2=2时，解方程组(2E—AAT)x=0,得AAT的两个线性无关特征向量当λ₃=0时，解方程组(0E-AAT)x=0,得AA的特征向量令,则22.【解析】(1)当x<0当时，分布函数F(x)=0;当时，F(x)=1;,因此，X的分布函数又故D(X)=E(X²)—(E(X))²=π—3.(2)记Y的分布函数为G(y),当y<0时，G(y)=0,当y≥1时，G(y)=1;当0≤y<1时，因此，Y的分布函数为故Y的密度。
