2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x的不等式的解集为2＜x＜4，则ab的值是．2．已知实数x、y、z满足x＋y＝2，，则x＋2y＋3z＝．3．若a2＋b2＝4，则＝．4．设a、b都是实数，函数f(x)＝ax2＋b(x＋1)－2．若对任意实数b，方程ax2＋b(x＋1)－2＝x有两个相异的实根，则实数a的取值范围为．5．在梯形ABCD中，AB∥CD，且∠D＝90°．设CD上有一点E，使得AE＝BE，且△AED与△CEB相似但不全等．已知，则的值为．6．若x、y都是正数，且，则的最大值为．7．有一个六位数，它的数码和可被26整除．这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是．(第8题图)8．如图，点B、C在以AD为直径的半圆上，且C是弧的中点，AC与BD交于点P．若BP＝4，CD＝，则AB＝．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a、b、c、d为四个不同的实数，若a、b为方程x2－10cx－11d＝0的解，c、d为方程x2－10ax－11b＝0的解．求a＋b＋c＋d的值．10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？(第11题图)11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E．若PQ⊥AC，证明：点E为边AB的中点．12．从1，2，3，…，2017中选取n个数，使得这n个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n的最大值．2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x的不等式的解集为2＜x＜4，则ab的值是．解：－3．由题设，b＞0，不等式等价于－a－b＜x＜－a＋b．从而，解得a＝－3，b＝1，ab＝－3．2．已知实数x、y、z满足x＋y＝2，，则x＋2y＋3z＝．解：－9．由x＋y＝2，得x＝2－y，则，即．因此z＝－3，y＝－2，x＝4，x＋2y＋3z＝－9.3．若a2＋b2＝4，则＝．解：2．由a2＋b2＝4，得－2≤a、b≤2，所以a＋2≥0，且b－3＜0．又ab－3a＋2b－6≥0，即(a＋2)(b－3)≥0，所以a＝－2，b＝0，原式＝2．4．设a、b都是实数，函数f(x)＝ax2＋b(x＋1)－2．若对任意实数b，方程ax2＋b(x＋1)－2＝x有两个相异的实根，则实数a的取值范围为．解：0＜a＜1．由题意得，即因为对任意实数b恒成立，所以，解得0＜a＜1．5．在梯形ABCD中，AB∥CD，且∠D＝90°．设CD上有一点E，使得AE＝BE，且△AED与△CEB相似但不全等，已知，则的值为．解：．6．若x、y都是正数，且，则的最大值为．解：.因为，所以(+1)2≤，0＜xy≤．所以＝，所以，当时,即时,取最大值为.7．有一个六位数，它的数码和可被26整除.这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是.解：898999．显然，这个六位数加1以后有进位．要使数码和为26的倍数，至少需要进3位．因此，此六位数的后三位均为9，前三位的数码和是25．因此满足条件的最小的数为898999．(第8题图)8．如图，点B、C在以AD为直径的半圆上，且C是弧的中点，AC与BD交于点P．若BP＝4，CD＝，则AB＝．解：12．延长AB、DC交于点E．因为AD为直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，因此∠EBP＝90°＝∠DCP，所以E、B、P、C四点共圆，DC·DE＝DP·DB．因为C是弧的中点，所以∠EAC＝∠DAC，EC＝DC＝，45＝DP·(DP＋4)，解得DP＝5．由勾股定理得，CP＝．又由相交弦定理得，CP·AP＝DP·BP，即AP＝5×4，AP＝．所以AB＝．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a、b、c、d为四个不同的实数，若a、b为方程x2－10cx－11d＝0的解，c、d为方程x2－10ax－11b＝0的解．求a＋b＋c＋d的值．解：由一元二次方程根与系数的关系得a＋b＝10c，c＋d＝10a．两式相加得a＋b＋c＋d＝10(a＋c)．因为a是方程程x2－10cx－11d＝0的解，且d＝10a－c，所以，0＝a2－10ac－11d＝a2－10ac－11(10a－c)＝a2－110a＋11c－10ac．①类似地，c2－110c＋11a－10ac＝0．②①－②得(a－c)(a＋c－121)＝0．因为a≠c，所以a＋c＝121．因此，a＋b＋c＋d＝10×121＝1210．10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？解：设p2＋10pq＋9q2＝k2(k∈N*)，则(p＋3q)2＋4pq＝k2，(k－p－3q)(k＋p＋3q)＝4pq．因为p、q都是素数，所以(k－p－3q，k＋p＋3q)＝(1，4pq)，(2，2pq)，(4，pq)，(p，2q)，(q，2p)，(2p，q)，(2q，p)．则2(p＋3q)＝4pq－1,2pq－2，pq－4，p－2q，q－2p，2p－q，2q－p．因为2(p＋3q)是偶数，4pq－1是奇数，所以2(p＋3q)≠4pq－1．因为2(p＋3q)＞p－2q，q－2p，2p－q，2q－p，所以2(p＋3q)≠p－2q，q－2p，2p－q，2q－p．若因此2(p＋3q)＝pq－4，则p、q中必有一个为2，代入后无符合题意的解．若2(p＋3q)＝2pq－2，则pq－p－3q＝1，(p－3)(q－1)＝4，(p－3，q－1)＝(1,4)，(2,2)，(4,1)．解得(p，q)＝(4,5)（舍），(5,3)，(7,2).综上所述，(p，q)＝(5,3)，(7,2).…11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E.若PQ⊥AC，证明：点E为边AB的中点．证明：在PC上截取PA′＝PA，则∠PA′Q＝∠PAQ，点P为AA′中点．(5分)联结A′B．因为∠PA′Q＝∠PAQ＝180°－∠DAC＝180°－∠DBC＝∠PBQ，所以A′、P、Q、B四点共圆．所以∠A′BC＝∠QPC＝90°，即A′B⊥BC.因为PE⊥BC，所以A′B∥PE．因为点P为AA′中点，所以点E为边AB的中点.(第11题图)法二：延长PE交CQ于点F，则∠PFB＝∠APQ＝90°。因为∠PBF＝180°－∠DBC＝180°－∠DAC＝∠PAQ，所以△PBF∽△QAP，。因为，所以。由直线PEF截△ABC，得。所以BE＝EA，即点E为边AB的中点。12．从1，2，3，…，2017中选取n个数，使得这n个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n的最大值．解：一方面，选取{9i＋1，9i＋2，9i＋3，9i＋4，2017}(i＝0，1，2，3，…，223)，这897个数满足题意．另一方面，对于9个连续正整数a，a＋1，a＋2，…，a＋8，可分为以下五组{a，a＋4}，{a＋1，a＋5}，{a＋2，a＋6}，{a＋3，a＋7}，{a＋8}，每组至多取一个数，即任意连续9个正整数中至多取五个数．若恰好取出五个数，则每组恰好取一个，则必有a＋8，则无a＋3，a＋4，则必有a＋7，a，则无a＋2，a＋5，则必有a＋6，a＋1．由于(a＋6)－(a＋1)＝5，因此不满足题意，所以任意连续9个正整数中至多取四个．所以从1，2，3，…，2017中至多取个正整数．综上所述，n的最大值为897．。
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