历届希望杯初二八年级真题及答案一试二试.docx

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希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是()A．45°.B．75°.C．55°.D．65°2．2的平方的平方根是()A．2.B．2.C．±2.D．4 3．当x=1时，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是()A．0 B．a0.C．a1 D．a0-a1 4.ΔABC,若AB=π,BC=1+2,CA=7,则下列式子成立的是()A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有()A．4个B．5个.C．6个.D．7 6．5 2一7的立方根是[]（A）2一1.（B）1一2.（C）±(·2一1).（D）2+1.7．把二次根式a化为最简二次根式是[](A)a.(B)一a.(C)一一a.(D)一a 8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形()A．2组B．3组.C．4组D．5组。9.已知等于一个固定的值，则这个值是()A．0.B．1.C．2.D．4.把f1990化简后，等于()厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 1 A．x.B.1-x.C.1.D.x.x_1 x二、填空题（每题1分，共10分）2.(121_0.0196)÷+3丿)l3=__________.3.8_98+50=4．如图2，∠A=60°,∠1=∠2，则∠ABC的度数是5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是度．6．△ABC中，∠C=90°,∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：8．方程x2+px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是个．9．x，y，z适合方程组则1989x-y+25z=10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 2厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°.故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．4.A8-⃞3,BC-1+<2.5而25<同＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．6.因为5,E-7>0,这就排除了(B)和(C).又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 3厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．心-pt,区表示一个正数和一个负数.9．方程组可化简为：解得：x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 4厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[]A．7.5 B．12.C．4.D．12或4 2.已知P=1988×1989×1990×1991+1+(-1989)2，那么P的值是[]A．1987 B．1988.C．1989 D．1990 3．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.B．N＞P＞M且N＞Q＞M C．P＞M＞Q且P＞N＞Q.D．Q＞M＞P且Q＞N＞P 4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900,∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶3,则∠BDA=[]A．30°B．45°.C．60°.D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[]A．是不存在的.B．恰有一种.C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1．△ABC中，∠CAB∠B=90°,∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN=．2．若a-1+(ab-2)2=0,那么++的值是1 1 1 ab(a+1)(b+1)(a+1990)(b+1990)3．已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是．a b c ab ac bc abc 4．ΔABC中,∠B=300,AB=5,BC=3,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是a b c ab ac bc abc.5．设a,b,c是非零整数,那么++++++的值等于三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 5厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 6厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=1988 3．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB也是60"⃞从而满足AD:BC-1:G故选(C).5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3=∠N．∴NC=LC=3．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 7厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…,(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…,176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即∴从自然数1，2，3，…,354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°.又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 8厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[]A．2;B．3;C．4;D．5 A O P B厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，(1大)学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 9厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 2．方程x2-5x+6=0的两个根是[]A．1，6;B．2，3;C．2，3;D．1，6 3．已知△ABC是等腰三角形，则[]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC则a,b,c的大小关系是[]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c 5.若a≠b,则(b-a)a-b等于[]A B C 6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[]A．3个B．4个;C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角[]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[]个实数根．A．4;B．2;C．1;D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[]A．26;B．28;C．36;D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[]A．179;B．181;C．183;D．185 12.如果2x>3x+1,那么等于[]A．2x+5 B．2x-5;C．1 D．1 13．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[]A.5+3;B.5+2;C.3+2;D.5-3 14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是[]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[]到达N地．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 10厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 A．二人同时;B．甲先;C．乙先;D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于度．2.有理化分母3.方程x+1+x=0的解是x=4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么a+b=c 7．方程x2-y2=1991有个整数解．8．当m时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于度．A A E C D B F B D C D E F G A C B(2)(3)(4)10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°,AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°,则这个三角形的面积是15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是答案与提示一、选择题厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 11厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°.故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．10.设这个两位数为硒,则3(a+b)+2=10a+b,即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…,2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．12.由,E>⃞同+1,得(:B-回)K-1.∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即(2x+1)(x4-10x2+1)=0．即x4-10x2+1=0．故取(C)．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 12厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α,则有(180°-α)-(90°-α)=90°.厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 13厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即(k2-9)2-4(k+2)＞0．显然k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°.10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…,从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 14厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°.12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°,∠ADB=90°.又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°.又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°.在△ADF中，∠DAF=∠F=30°.∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°.13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°,则顶角是90°,高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p①x1x2=q②由题设及①,②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于()厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 15厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 A．1;B．2;C．3;D．4 2．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为()ts s A.ts;Bs-ts;C.;D..1+s 1+t 3.y>0时,_x3 y等于()A.-x xy;B.x xy;C.-x D.x.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成()A．a＜b＜c.B．(a-b)2+(b-c)2=0.C．c＜a＜b.D．a=b≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的()A．4倍.B．3倍.C．2倍.D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式()A.AD2=BD2+CD2.B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2.D．2AD2＞BD2+CD2 7.方程的实根个数为()A．4 B．3.C．2 D．1 8.能使分式的值为1123的x2、y2的值是()A.x2=1+3，y2=2+3;B.x2=2+3，y2=2-3;C.x2=7+4 3，y2=7-4 3;D.x2=1+2 3，y2=2-3.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为()A．17 B．15.C．13 D．11 10．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x2-21x+t=0的两个根,则等于()58 2402 365 A.2213;B.;C.;D..21 49 38二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 16厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么5.方程组有正整数解,则正整数a=_______.1 6.从一升酒精中倒出升,再加上等量的水,液体中还有酒精升;搅匀后,再倒3出升混合液,并加入等量的水,搅匀后,再倒出升混合液,并加入等量的水,这时,所得混合液中还有1 1 3 3升酒精.7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=2 2 4 3 9.x++x+的最小值的整数部分是.10．已知两数积ab≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=b三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 17厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 18厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 19厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°,只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°.5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 20厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°.10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2 b，这个不等式两边均为正数，→a3厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 21厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437>(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多(∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交流群：131033273 22厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992（2号群：835403229），高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437 QQ：136257437 1．已知a＞b＞0，则有[]A.a+b>1;B.ab>1;C.;D.a-b>1.a b 2．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于[]A.2;B.2 2;C.3;D.3 2.3.若a,那么a2-ab+b2的值为[]A.;B 4.3-22的值等于[]A.3-2;B.3-1;C.3+2;D.2-1.5．△ABC中，∠A=θ-α,∠B=θ,∠C=θ+α,0°<α<θ<90°.若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，则∠APC=[]A．90°B．105°.C．120°D．150°6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为[]A.a-1,a+1;B D.a2-1,a2+1.7.已知实数a满足丨1992-a丨+a-1993=0,那么a-19922的值为[]A．1991.B．1992.C．1993.D．1994.8．正整数a被7除，得到余数4，则a3+5被7除，得到的余数是[]A．0.B．2.C．4.D．6.9.635+6+35的值为[]A.7+5;B.D.1.10．方程x2+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于[]A.