4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图⑴(或在的延长线上，在上)，则图⑴图⑵【例1】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【答案】70【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接．∵∴又∵∴，∴．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【答案】5【例2】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为(平方厘米)．【答案】48【例4】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【答案】24【例5】如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=×=同理有=,即==×=.类似的还可以得到=×=，=×=．所以有=-(++)=(1---)=．即为．【答案】【例6】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【答案】12.5【例7】如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，，故(平方厘米)．【答案】10【例8】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法)本题是性质的反复使用．连接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面积．(法)用共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以．【答案】18【例9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有．同理．类似的，还可得，有=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得，，有=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有EAH、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，=2×3=6，所以=6．类似的，还可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米．连接AC，还可得=6，=6，有+=6（+）=6=30平方厘米．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例10】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【答案】【例11】如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接．由共角定理得，即同理，即所以连接，同理可以得到所以平方米【答案】13.2【例12】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．【答案】60【例13】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以【答案】3.5【例14】如图，，，，，．求．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．最后求得的面积为．【答案】【例15】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接、．因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米．【答案】12【例16】四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．由于，，所以与三角形的面积之比为．同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为．【答案】【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．【答案】【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。【考点】三角形的鸟头模型【难度】5星【题型】解答【关键词】学而思杯，6年级，第10题【解析】连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。【答案】1次。
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