IMO五年级下册基础奥数教程含答案第一讲等差数列例1下面各数的和是多少?0 1 2 3 4 5…48 49 1 2 3 4 5 6…49 50 2 3 4 5 6 7…50 51 48 49 50 51 52 53…96 97 49 50 51 52 53 54…97 98解：先逐行求和，再化简。(0+49)×50÷2+(1+50)×50÷2+…+(49+98)×50÷2=25×(49+51+…+147)=25×(49+147)×50÷2=25×25×196=625×200—625×4=125000—2500=122500例2一本图书除了封面和封底以外，每张纸的两面都标有页码，如果中央一张纸两面的页码之积是2450,则这本书的所有页码之和是多少?解：根据题意，2450应该是两个相邻自然数的积。试算发现2450=49×50,所以中央这张纸两面的页码分别是49和50,由此可以想到这一张是全书的第25张，全书共有24+1+24=49(张),合计共2×49=98(页)。这样就可以用等差数列的求和公式，计算出所有页码之和是：1+2+3+…+98=(1+98)×98÷2=4851。答：这本书的所有页码之和是4851。例3盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出9个球。如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是多少?解：这了便于思考，设第一次取出的球的编号是a,第二次取出的球的编号之和就是2a,第三次取出的球的编号之和就是4a,三次共取出的9个球的编号之和就是a+2a+4a=7a,即三次共取出的9个球的编号之和是7的倍数。10个球的编号之和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,55除以7余6,余数是6,说明未取出的球的编号是6。Math-y 1 IMO答：未取出的球的编号是6。例4有10张长3cm、宽2cm的纸片，将它们按照下图的样子摆在桌面上，这10张纸片所盖住的桌面面积是多少平方厘米?解：观察发现：纸片盖住的桌面面积成等差数列(单位：cm²)。6,8,10,12,……公差是2。所以，这10张纸片所盖住的桌面面积是6+2×9=24(cm²)。练习一1.计算：23.91+37.78+51.65+65.52+79.39+93.26+107.13=?2.计算1+2+3+2+4+6+3+6+9+…+100+200+300。3.计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70。4.计算100×95-95×90+90×85-85×80+80×75-75×70+…+20×15-15×10+10×5。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)5.计算(1994+1992+1990+…+4+2)-(1+3+5+…+1991+1993)。6.计算(2004-1)+(2003-2)+(2002-3)+…+(1003-1002)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)7.如图，照这样摆下去，若摆到80层，一共需要口多少个?■多少个?8.一个等边三角形边长1m,每隔2cm在边上取一点，再从这些点出发，分别作与其他两边平行的直线，并且与其他两边相交：(1)求边长为2cm的三角形的个数；(2)求所作平行线的总长度。9.一些边长为1 cm的正方体，像下图那样层层重叠放置，那么,当重叠到5层时，这个立体图形的表面积是cm²。(1994年全国小学数学奥林匹克决赛题)10.一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量互不Math-y 2 IMO相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃多少天?11.某同学把他最喜爱的书顺序编号为1,2,3,…,所有编号之和是100的倍数且小于1000,则他编号的最大数是多少?(2002年小学数学奥林匹克预赛题)12.有若干人的年龄的和是4476岁，其中年龄最大的不超过79岁，最小的不低于30岁，而年龄相同的人不超过3人，则这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于60岁的为老年人)?(2001年小学数学奥林匹克预赛题)第二讲图形问题例1图中有多少三角形?解：顶点向上的小三角形有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个);顶点向上的由4个小三角形组成的三角形有1+2+…+7=28(个);顶点向上的由9个小三角形组成的三角形有1+2+…+6=21(个);顶点向上的由16个小三角形组成的三角形有1+2+…+5=15(个);顶点向上的由25个小三角形组成的三角形有1+2+3+4=10(个);顶点向上的由36个小三角形组成的三角形有1+2+3=6(个);顶点向上的由49个小三角形组成的三角形有1+2=3(个);顶点向上的由64个小三角形组成的三角形有1个；顶点向下的小三角形有1+2+3+4+5+6+7=28(个);顶点向下的由4个小三角形组成的三角形有1+2+…+5=15(个);顶点向下的由9个小三角形组成的三角形有1+2+3=6(个);顶点向下的由16个小三角形组成的三角形有1个；总共有36+28+21+15+10+6+3+1+28+15+6+1=170(个)。例2图中每个小正方形的边长都是1,图中阴影部分的面积是多少?解法一：用大长方形的面积，减去阴影周围空白部分的面积。长方形的面积是6×5=30,左上角三角形的面积是2×2÷2=2,左下角三角形的面积是3×1÷2=1.5,右下角左边三角形的面积是2×1÷2=1,右边梯形的面积是(1+4)×3÷2=7.5,右上角左边三角形Math-y 3 IMO的面积是2×1÷2=1,右边梯形的面积是(1+2)×3÷2=4.5,所以阴影部分的面积是30一(2+1.5+1+7.5+1+4.5)=12.5。解法二：用四年级下期培训班上学过的格点图形面积计算公式：S=N+L÷2-1计算。公式中，S表示格点图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示图形边界上的点数。本题中，N=9,L=9,所以，S=9+9÷2-1=12.5。例3下图是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是水洼。一只小鸟飞来飞去四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它又飞到关于C点对称的3号位；再飞到关于A点对称的4号位；再飞到关于B点对称的位置；……如此继续对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米?解：观察发现6号位与0号位重合，即小鸟每飞6次就要回到0号位。2004被6除无余，所以2004号位与6号位重合，它们之间的距离是0米。例4已知正方形的一条对角线是13厘米，正方形的面积是多少平方厘米?解：再取一个同样的正方形，沿各自的对角线把每个正方形分成两个等腰直角三角形，然后拼成一个大正方形，大正方形的面积是13×13=169(cm²),所以原来正方形的面积是169÷2=84.5(cm²)。顺便还得到一个用正方形对角线的长度L求正方形面积S的计算公式：S=L²÷2。练习二1.如图，在一条直线上有依次排列的四个汽车站甲、乙、丙、丁，现在要在A、B、或C处建一个加油站，使这四个汽车站到加油站的距离总和最小，加油站应建在哪里?2.长方形的地里有4棵树，如图，要把这块地分成形状相同的4块，并且每块里都有一棵树，应该怎样分?3.下图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入几号球袋?Math-y 4 IMO 1号袋2号袋3号袋4号袋4.如图，正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m。现用4m长的绳子将一只羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在哪棵树上?5.如图，长方形ABCD的对角线相交于0,过O点作一条直线MN。长方形的长是10cm,宽是6cm。那么梯形ABMN的面积是多少平方厘米?6.下图中小正方形的面积都是1cm²,星形的面积是多少?7.图中，长方形的长和宽分别是12cm、9cm,把三角形的三条边平均分成三段，得到A、B、C、D、E、F六个点，连接AF、BC、DE,得到一个六边形，这个六边形的面积是多少平方厘米?8.一个由若干个小等边三角形组成的花园如图，在每个小等边三角形的每条边上均匀地栽了15株花(每条边的端点上都栽有花)。这个花园共栽花多少株?9.如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，阴影部分的面积是200 cm²,且四周的四个正方形的周长的和是240cm,那么四周的四个正方形的面积的和是多少平方厘米?如果。
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