五年级下册基础奥数教程含答案第一讲等差数列例1下面各数的和是多少？0 1 2 3 4 5…4849 1 2 3 4 5 6…4950 2 3 4 5 6 7…5051……………………484950515253…9697 495051525354…9798解:先逐行求和，再化简。(0＋49)×50÷2＋(1＋50)×50÷2＋…＋(49＋98)×50÷2＝25×(49＋51＋…＋147)＝25×(49＋147)×50÷2＝25×25×196＝625×2020625×4＝125000－2500＝122500例2一本图书除了封面和封底以外，每张纸的两面都标有页码，如果中央一张纸两面的页码之积是2450，则这本书的所有页码之和是多少？解:根据题意，2450应该是两个相邻自然数的积。试算发现2450＝49×50，所以中央这张纸两面的页码分别是49和50，由此可以想到这一张是全书的第25张，全书共有24＋1＋24＝49(张)，合计共2×49＝98(页)。这样就可以用等差数列的求和公式，计算出所有页码之和是:1＋2＋3＋…＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851。答:这本书的所有页码之和是4851。例3盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出9个球。如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是多少？解:这了便于思考，设第一次取出的球的编号是a，第二次取出的球的编号之和就是2a，第三次取出的球的编号之和就是4a，三次共取出的9个球的编号之和就是a＋2a＋4a＝7a，即三次共取出的9个球的编号之和是7的倍数。10个球的编号之和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55,55除以7余6，余数是6，说明未取出的球的编号是6。答:未取出的球的编号是6。例4有10张长3cm、宽2cm的纸片，将它们按照下图的样子摆在桌面上，这10张纸片所盖住的桌面面积是多少平方厘米？解:观察发现:纸片盖住的桌面面积成等差数列(单位:cm2)。6，8，10，12，……公差是2。所以，这10张纸片所盖住的桌面面积是6＋2×9＝24(cm2)。练习一1．计算:23.91＋37.78＋51.65＋65.52＋79.39＋93.26＋107.13＝？2．计算1＋2＋3＋2＋4＋6＋3＋6＋9＋…＋100＋2020300。3．计算:1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70。4．计算100×95－95×90＋90×85－85×80＋80×75－75×70＋…＋20205－15×10＋10×5。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)5．计算(1994＋1992＋1990＋…＋4＋2)－(1＋3＋5＋…＋1991＋1993)。6．计算(2020－1)＋(2020－2)＋(2020－3)＋…＋(1003－1002)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)7．如图，照这样摆下去，若摆到80层，一共需要□多少个？■多少个？8．一个等边三角形边长1m，每隔2cm在边上取一点，再从这些点出发，分别作与其他两边平行的直线，并且与其他两边相交:(1)求边长为2cm的三角形的个数；(2)求所作平行线的总长度。9.一些边长为1 cm的正方体,像下图那样层层重叠放置,那么,当重叠到5层时,这个立体图形的表面积是________cm2。(1994年全国小学数学奥林匹克决赛题)10．一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量互不相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃多少天？11．某同学把他最喜爱的书顺序编号为1,2，3，…，所有编号之和是100的倍数且小于1000，则他编号的最大数是多少？(2020年小学数学奥林匹克预赛题)12.有若干人的年龄的和是4476岁,其中年龄最大的不超过79岁,最小的不低于30岁,而年龄相同的人不超过3人,则这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于60岁的为老年人)?(2020年小学数学奥林匹克预赛题)第二讲图形问题例1图中有多少三角形？解:顶点向上的小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)；顶点向上的由4个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋7＝28(个)；顶点向上的由9个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋6＝21(个)；顶点向上的由16个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋5＝15(个)；顶点向上的由25个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＋4＝10(个)；顶点向上的由36个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＝6(个)；顶点向上的由49个小三角形组成的三角形有1＋2＝3(个)；顶点向上的由64个小三角形组成的三角形有1个；顶点向下的小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(个)；顶点向下的由4个小三角形组成的三角形有1＋2＋…＋5＝15(个)；顶点向下的由9个小三角形组成的三角形有1＋2＋3＝6(个)；顶点向下的由16个小三角形组成的三角形有1个；总共有36＋28＋21＋15＋10＋6＋3＋1＋28＋15＋6＋1＝170(个)。例2图中每个小正方形的边长都是1，图中阴影部分的面积是多少？解法一:用大长方形的面积，减去阴影周围空白部分的面积。长方形的面积是6×5＝30，左上角三角形的面积是2×2÷2＝2，左下角三角形的面积是3×1÷2＝1.5，右下角左边三角形的面积是2×1÷2＝1，右边梯形的面积是(1＋4)×3÷2＝7.5，右上角左边三角形的面积是2×1÷2＝1，右边梯形的面积是(1＋2)×3÷2＝4.5，所以阴影部分的面积是30－(2＋1.5＋1＋7.5＋1＋4.5)＝12.5。解法二:用四年级下期培训班上学过的格点图形面积计算公式:S＝N＋L÷2－1计算。公式中，S表示格点图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示图形边界上的点数。本题中，N＝9，L＝9，所以，S＝9＋9÷2－1＝12.5。例3下图是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是水洼。一只小鸟飞来飞去四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它又飞到关于C点对称的3号位；再飞到关于A点对称的4号位；再飞到关于B点对称的位置；……如此继续对称地飞下去。由此推断，2020号位和0号位之间的距离是多少米？2 5 C 3 0 B A 4 1解:观察发现6号位与0号位重合，即小鸟每飞6次就要回到0号位。2020被6除无余，所以2020号位与6号位重合，它们之间的距离是0米。例4已知正方形的一条对角线是13厘米，正方形的面积是多少平方厘米？解:再取一个同样的正方形，沿各自的对角线把每个正方形分成两个等腰直角三角形，然后拼成一个大正方形，大正方形的面积是13×13＝169(cm2)，所以原来正方形的面积是169÷2＝84.5(cm2)。顺便还得到一个用正方形对角线的长度L求正方形面积S的计算公式:S＝L2÷2。练习二1．如图，在一条直线上有依次排列的四个汽车站甲、乙、丙、丁，现在要在A、B、或C处建一个加油站，使这四个汽车站到加油站的距离总和最小，加油站应建在哪里？甲乙丙丁A B C 2．长方形的地里有4棵树，如图，要把这块地分成形状相同的4块，并且每块里都有一棵树，应该怎样分？····3．下图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入几号球袋？1号袋2号袋3号袋4号袋4．如图，正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m。现用4m长的绳子将一只羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在哪棵树上？池塘A B C D 5．如图，长方形ABCD的对角线相交于O，过O点作一条直线MN。长方形的长是10cm，宽是6cm。那么梯形ABMN的面积是多少平方厘米？A N D O B M C 6．下图中小正方形的面积都是1 cm2，星形的面积是多少？7．图中，长方形的长和宽分别是12cm、9cm，把三角形的三条边平均分成三段，得到A、B、C、D、E、F六个点，连接AF、BC、DE，得到一个六边形，这个六边形的面积是多少平方厘米？8．一个由若干个小等边三角形组成的花园如图，在每个小等边三角形的每条边上均匀地栽了15株花(每条边的端点上都栽有花)。这个花园共栽花多少株？9．如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果阴影部分的面积是2020cm2，且四周的四个正方形的周长的和是240cm，那么四周的四个正方形的面积的和是多少平方厘米？10．设计一种方案，把一个直角三角形分成两块，再拼成一个与原三角形面积相等的长方形。11．在一幅长80cm、宽50cm的矩形图画的四周镶一条宽为整数厘米的金色纸边(宽度保持不变)，制成一幅面积为5400 cm2的挂图，求金色纸边的宽度。12．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同的布料生产一批如右图形状的风筝。图中长方形的四个顶点分别在外围四边形各边的中点。长方形用甲种布料，其余部分用乙种布料(剪裁两种布料时不计余料)，如果生产这批风筝需要甲种布料30匹，请问需要乙种布料多少匹？第三讲解决问题(一)例1小李买了两条鱼，他把一条鱼的标价的小数点看错了位置，付给售货员18元，售货员让他再付40.95元。请你算算看，这两条鱼的标价分别是多少？解:因为他付的款比应付的款少，可见他无意中是把小数点的位置向左移动了，假如他向左移动了一位，这样一来，那条鱼的标价就缩小了10倍，相差的数等于缩小后的数的9倍，所以那条鱼的标价是(40.95－18)÷9×10＝25.5(元)，另一条鱼的标价是40.95－25.5＝15.45(元)。验算一下:按他的看法，只付给售货员2.55＋15.45＝18(元)，说明假设正确。所以两条鱼的标价分别是25.50元和15.45元。答:两条鱼的标价分别是25.50元和15.45元。例2班长计划用班费买一些日记本作为文娱活动的奖品。如果买每本3.5元的日记本，将剩余2.5元；如果买每本4.2元的同样数量的日记本，将缺少2.4元。那么，班长计划买多少本日记本？解:改变了所买日记本的品种之后，从剩余2.5元变成缺少2.4元，相差2.5＋2.4＝4.9(元)，这是由于每本多用了4.2－3.5＝0.7(元)的结果，所以班长计划买日记本4.9÷0.7＝7(本)。答:班长计划买7本日记本。例3小伟和小丽计划用50天假期练习书法，将3755个一级常用汉字练习一遍。小伟每天练73个汉字，小丽练80本汉字，每天只有一人练习，每人每天练习的字各不相同，这样，他们正好在假期结束时完成计划。他们各练了多少天？解:假设每天只有小伟一个人练习，那么假期结束时还会有3755－73×50＝105(个)字没有练。为了弥补不足，用小丽替换小伟，因为小丽每天比小伟多练80－73＝7(个)字，替换105÷7＝15(天)，正好可以补足所缺的105个字，所以，小丽练了15天，小伟练了50－15＝35(天)。答:小丽练了15天，小伟练了35天。例4一家四口人，爸爸比妈妈大3岁，哥哥比妹妹大3岁，15年前他们一家人的年龄之和是68岁，现在他们一家人的年龄之和是126岁，妹妹今年多少岁？解:15年前他们一家人的年龄之和是68岁，15年间四口人增加15×4＝60(岁)，今年全家四口人的年龄之和应该是68＋60＝128(岁)，而实际只有126岁，说明15年前妹妹还没有出生。128－126＝2(岁)，所以妹妹今年15－2＝13(岁)。答:妹妹今年13岁。练习三1．在一个四位数的某位数字前面添一个小数点，再和原来的四位数相减，差是1803.6，则原来的四位数是多少？2．商店里有6桶啤酒，它们的重量分别是15kg、16kg、18kg、19kg、2020、31kg。两天共卖出5桶，其中第一天卖出的是第二天卖出的2倍。那么商店没有卖出的那桶啤酒是多少千克？3．甲、乙两个书架中摆放的书一样多，从甲书架中拿走18本，从乙书架中拿走42本后，甲书架中余下的书是乙书架中余下的书的4倍。则甲、乙两个书架中原来共摆放多少本书？4．母亲今年的年龄比儿子大28岁，4年前母亲年龄是儿子的4.5倍，那么几年前母亲年龄是儿子的8倍？5．甲、乙两人环绕400m的跑道跑步，如果两人从同一地点出发相背而行，那么经过2分钟相遇；如果二人从同一地点出发同向而行，那么经过2020两人相遇，已知甲的速度比乙快，甲、乙二人跑步的速度各是多少？6．有一堆南瓜和几只竹筐，如果每只筐里装5个南瓜，就会剩下4个南瓜装不下；如果每只筐里装6个南瓜，就还可以再多装2个南瓜。这堆南瓜有多少个？7．一个商店进了一些高档笔记本，想探探销路。如果笔记本定价每本8元，要亏损17.50元；如果每本14元，可盈利24.50元。由此推知该商店进了此种笔记本多少本？8．全班有50名学生参加冬季长跑锻练，共跑了100天，2240km。男生平均每天跑500m，女生平均每天跑400m。则男女生各有多少人？9．两种饮水器若干个，一种容量12升，一种容量15升。153升水恰好装满这些饮水器，其中15升容量的有多少个？10．一家三口人，爸爸比妈妈大3岁，现在他们一家人的年龄之和是80岁，如果10年前全家人的年龄之和是51岁，那么，今年爸爸、妈妈、女儿各多少岁？11．研究生甲对中学生乙说:“我现在比你大10岁。”乙对甲说:“4年前你的年龄比我的年龄大一倍。”现在他们俩的年龄各是多少岁？12．三个汽车司机走进路旁的小食品店，第一个司机买了4根火腿肠、1瓶汽水和10个面包，付款16.90元；第二个司机买了3根火腿肠、1瓶汽水7个面包，付款12.60元；第三个司机买了2根火腿肠、2瓶汽水、2个面包，需付多少元？第四讲解决问题(二)例1列车通过250m的隧道用25秒，通过210m的隧道用23秒。又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长32020速度为每秒17m。列车与货车从相遇到相离需要行多少秒？解:列车的速度是每秒(250－210)÷(25－23)＝2020)，列车车身长20205－250＝250(m)，所以列车与货车从相遇到相离需要行(250＋32020(20207)＝190(秒)。答:列车与货车从相遇到相离需要行190秒。例2老师提倡同学们在假期学习英语日常用语，并向他们推荐了一本英语图书。甲同学计划前10天每天学习2句，以后每天学习3句，在开学前正好学完。而乙同学计划前10天每天学习3句，以后每天学习4句，在开学前就能留出10天的复习时间。这本英语图书共有多少句日常用语，假期共有多少天？解:当乙同学正好学完时，比甲同学多学了3×10＝30(句)，其中有前10天多学习的(3－2)×10＝10(句)，其余30－10＝2020)是后来多学的，因为每天只多学4－3＝1(句)，所以又学习了2020＝2020)，因此，乙一共学习了10＋20200(天)，说明假期是30＋10＝40(天)。这本英语图书共有3×10＋4×202010(句)日常用语。答:这本英语图书共有110句日常用语，假期共有40天。例3一次测验，共两道测验题，45人参加测验。答对第一题的有18人，两题都没答对的有15人，答对第二题没答对第一题的人数是两题都答对的人数的1.5倍，答对第二题的有多少人？解:答对第一题的和答对第二题的(其中包括两题都答对的)共有45－15＝30(人)。答对第二题没答对第一题的有30－18＝12(人)。两题都答对的有12÷1.5＝8(人)，所以答对第二题的(其中包括两题都答对的)共有12＋8＝2020)。答:答对第二题的有2020例4小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面开来。如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点站每隔多少分钟发一辆电车？解:设起点站和终点站每隔x分钟发一辆电车，那么小宇12分钟所走的路电车只需12－x分钟，小宇4分钟所走的路电车只需x－4分钟。所以小宇的速度×12＝电车的速度×(12－x)，即，小宇的速度÷电车的速度＝(12－x)÷12小宇的速度×4＝电车的速度×(x－4)即，小宇的速度÷电车的速度＝(x－4)÷4因此，(12－x)÷12＝(x－4)÷4，x＝6。答:起点站和终点站每隔6分钟发一辆电车。练习四1．某列车通过500m长的隧道用40秒，通过2020长的桥梁用25秒，假设列车通过隧道和桥梁的平均速度相同，那么列车长多少米？2．某猎狗发现一只狐狸在它的前方16m，于是直扑上去追捕，而狐狸马上闻风而逃，当狐狸前逃1m时，猎狗赶上了9m，如果猎狗和狐狸前进路线相同，那么当猎狗抓到狐狸时，猎狗总共跑了多少米？3．2020年4月我国铁路大提速。假设从A地到B地的某次空调快车列车的平均速度比提速前了44km，提速前的列车时刻表如下:行驶区间。
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