小学奥数教程-计数之递推法教师版全国通用含答案.docx

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小学奥数教程-计数之递推法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法.【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来.如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子?【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加.依次类推可以列出下表：经过月数：---1--------4---5---6---7----------10---1---12兔子对数：---1---1---------5-----13--21--34--55--89—144,所以十二月份的时候总共有144对兔子.【答案】144【例2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝.一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这棵树上有多少条树枝?【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..…所以十年后树上有89条树枝.【答案】89【例3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法?【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】登1级2级3级4级.....1 0级1种方法2种3种5种.....?我们观察每级的种数,发现这么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面两个数的和;依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用:假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0,那么登了1级的位置是在A1,2级在A2\dotsA10级就在A10.到A3的前一步有两个位置;分别是A2和A1.在这里要强调一点,那么A2到A3既然是一步到了,那么A2、A3之间就是一种选择了;同理A1到A3也是一种选择了.同时我们假设到n级的选择数就是An.那么从A0到A3就可以分成两类了:第一类:A0----A1------A3,那么就可以分成两步。有A1×1种,也就是A1种;(A1------A3是一种选择)第二类:A0----A2------A3,同样道理有A2.类类相加原理:A3=A1+A2,依次类推An=An-1+An-2.【答案】89【巩固】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】登1级2级3级4级5级......1 0级1种方法1种2种3种4种......?我们观察每级的种数,发现这么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面相隔的两个数的和;依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】28【例4】1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网,共有多少种不同的盖法.【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】如果用1×2的长方形盖2×n的长方形,设种数为an,则a1=1 a2=2,对于n≥3,左边可能竖放1个1×2的,也可能横放2个1×2的,前者有an−1种,后者有an−2种,所以an=an−1+an−2所以根据递推,覆盖2×10的长方形一共有89种.【答案】89【例5】用1×3的小长方形覆盖3×8的方格网,共有多少种不同的盖法?【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】如果用1×3的长方形盖3×n的长方形,设种数为an,则a1=1 a2=1 a3=2,对于n≥4,左边可能竖放1个1×3的,也可能横放3个1×3的,前者有an−1种,后者有an−3种,所以an=an−1+an−3,依照这条递推公式列表:3×1。