2007年四川省初中数学联赛决赛(初二)一、选择题(每小题7分,共42分)1.某商品原价为a元,春节促销,降价20%.如果节后恢复到原价,则应将现售价提高().(A)15%(B)20%(C)25%(D)30%2.已知实数a、b、c满足a+b+c≠0,并且k.则直线y=kx-3一定通过().(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限3.满足的整数x的个数是().(A)4(B)5(C)6(D)7 4.a、b、c不全为0,满足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为“好数”.则不超过2 007的正整数中好数的个数为().(A)2(B)1 004(C)2 006(D)2 007 5.如图1,在△ABC中,CB>CA,∠BAC=80°,D为AB上一点,满足CB-CA=BD,I为△ABC三条角平分线的交点.则∠IDA=().(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°图1图26.如图2,在正五边形ABCDE中,对角线分别相交于点A 1、B 1、C1、D1、E1.将所有全等的三角形视为一类,称为一个“全等类”(如△ABC、△BCD与△CDE等都属于同一个全等类).则图2中不同全等类的个数为().(A)3(B)4(C)5(D)6二、填空题(每小题7分,共28分)1.如图3,O为△ABC内一点,延长AO交BC于点D,延长BO交AC于点E,△BOD、△AOE、△AOB的面积分别为7、14、21.则图3图4 2.如图4,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,∠ABC=120°,∠BCD=90°.则AD=.3.使m2+m+7为完全平方数的正整数m的个数为.4.如图5,正实数a1,a2,…,a8标在正方体相应的顶点处,满足每个顶点上的数都是相邻三顶点所标三数的平均值.记图5©1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net M=(a1+2 a2+3 a3+4 a4)·(5 a5+6 a6+7 a7+8 a8),N=a1(2)+a2(2)+…+a8(2).则三、(20分)对任何实数x、y,都有|x-2|+|x-4|≥m(-y2+2y)=3+2<1.8+1.5=3.3,=2(6+5)<2(2.5+2.3)=9.6.故满足条件的整数x为4,5,6,7,8,9.4.B.由a3+b3+c3-3 abc成立.求实数m的最大值.图6个奇不四、(25分)如图6,已知在凸四边形ABCD中,E为△ACD内一点,满足AC=AD=2AB=2AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.求证:(1)∠CED=90°;(2)BC2+CE2=4 BE2.五、(25分)已知关于x、y的方程组!x2-y2=p,3 xy+p(x-y)=p2有整数解(x,y).求满足条件的质数p.=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0,知0=a3+b3+c3=3 abc.从而,abc中至少有1个为0.由条件知,abc中只有一个为0,另外两超过2 007的正整数中好数共有1 004个.5.B.数(互)妨(相)b.,c反(c)之(于)也(是)成,立(当).n所为以正,如图7,在CB上取点A 1,使得CA 1=CA.联结IA 1、IA、A 1 D、CI、BI.则参考答案一、1.C.设应提价x%.根据题意,列方程为a(1-20%)(1+x%)=a.解得x=25.2.D.由比例的性质知则直线为y x-3.所以,该直线通过第一、三、四象限.3.C.BD=BA 1.图7易证△ACI△A 1 CI,△A 1 BI△DBI.故AI=A 1 I=DI.所以IAD DAC=40°.6.C.图2中没有三个顶点都是A 1、B 1、C1、D1、E1中的点的三角形.(1)顶点全取于A、B、C、D、E的全等类有2个:△ABC全等类和△ABD全等类;(2)两个顶点取于A、B、C、D、E,一个顶点取于A 1、B 1、C1、D1、E1的全等类有3个:△ABA 1全等类、△ABB 1全等类和△ACD1全等类;(3)一个顶点取于A、B、C、D、E,两个顶点取于A 1、B 1、C1、D1、E1的全等类有1个:△BA 1 B 1全等类;但△ABC与△ACD1是同一个全等类.所以,不同的全等类共有5个.7..二、1 8如图8,联结CO,设△OCD、△OCE的面积分别为x、y.由条件知所以图9图8 2.7.如图9,取BC的中点E,联结ED、EA.过B作BF⊥EA于F.由勾股定理知DE=2,故∠CED=60°.由BA=BE,知∠BEA=30°.所以,∠AED=90°.又EF则由勾股定理知AD 3.2.经验证知,当m=1时,m2+m+7=9是完全平方数;当m=2,3,4,5时,m2+m+7都不是完全平方数;当m=6时,m2+m+7=49是完全平方数.当m>6时,m2<m2+m+7<(m+1)2,于是,当m>6时,m2+m+7都不是完全平方数.所以,符合条件的正整数m仅有2个.65.4 2.不妨设图5所标数中a1最大,则a1≥a2,a1≥a4,a1≥a5.由a知a2+a4+a5≤a1 3.当且仅当a1=a2,a1=a4,a1=a5,即a1=a2=a4=a都为最大时,上式等号成5立.同理,a2=a1=a3=a6,a4=a1=a3=a8,a3=a4=a2=a7,即a1=a2=…=a8.故M=260 a1(2),N=8 a1(2).三、由绝对值的几何意义知,|x-2|+|x-4|在x∈[2,4]时有最小值2.而-y2+2 y=-(y-1)2+1在y=1时有最大值1.由条件知2≥m×1,则m≤2.所以,m的最大值为2.四、(1)如图6.因为BA=EA,∠BAC=∠EAD,CA=DA,所以,△BAC△EAD]∠AED=∠ABC,ED=BC.又∠AED+∠DEC+∠CEA=360°,,∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠EAB=360°故∠CED=∠BAE+∠BCE=90°.(2)由勾股定理知CD2=CE2+ED2=CE2+BC2.因为∠EAD=∠BAC,所以,∠CAD=∠BAE.又AB=AE,AC=AD,则数学奥林匹克问题高217设xi>1,i=1,2,…,n,n∈N,n≥3.求证:本期问题初217如图1,⊙O的半径等于R,△ABC的顶点B、C都规定xn+1=x1.(杨先义湖北省公安县第一中学,434300)高218如图2,三段圆弧两两外切于A、B、C E、F分别是BC、CA、图1在⊙O上,点A在⊙O外,AC、AB分别交⊙O于点E、F,BE交CF于点P,在射线OP上取一点Q,使得OP·OQ=R2.求证:A、B、C、Q四点共圆.AB的中点.求证:直线AD、BE、CF三线图2(黄全福安徽省怀宁县江镇中学,246142)、、—共点的充要条件是BC、CA、AB中至少有两段弧相等.(沈毅重庆市合川太和中学,401555)初218在一周长为16、夹角为60°的菱形花坛里种植10株花.求证:至少有两株间的距离不大于3.(王炎东安徽省岳西县天堂中心学校,246600)△BA EC△CAD.从而BE.故BC2+CE2=CD2=4 BE2.五、由p=x2-y2=(x-y)(x+y)及p为质数知或(1)当x+y=p,时x=p 2(+)1,i x-y=1,y=p 2-1.将其代入3 xy+p(x-y)=p2中,得即p2-4p+3=0.解得p=c3或p=1(舍).c(2)当或或!x+y=-p,!x+y=1,x-y=-1 x-y=p时,经计算可知没有符合条件的质数p.所以,符合条件的质数p=3.(许清华提供)。
