小学数学奥数易懂版教程二份数法.docx

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第十一讲份数法把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。（一）以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树80×3=240（棵）…………………杨树答略。例2甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。所以乙场存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（吨）甲场存煤：490-100=390（吨）答略。例3妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。每瓶香槟酒的价钱是：（10.80-0.60×4）÷（4+3）=8.4÷7=1.2（元）每瓶啤酒的价钱是：1.2+0.60=1.80（元）答略。（二）以份数法解差倍应用题已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。例1三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度）解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+35×2=300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。今年旱田的亩数是：（230+35×2）÷2=300÷2=150（亩）原来旱田的亩数是：150+35=185（亩）综合算式：（230+35×2）÷2+35=300÷2+35=150+35=185（亩）答略。*例2和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。10.5÷1.5÷（2.4-1）=7÷1.4=5（千米/小时）…………………………步行的速度5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度答略。（三）以份数法解变倍应用题已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“1”份（倍）数是多少。*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克。把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（1300×3-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。1300×3-1400=3900-1400=2500（千克）出发时，小卡车的载货量是：2500-1300=1200（千克）出发时，大卡车的载货量是：1200×3=3600（千克）答略。*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：5×2=10（份）因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：10-1=9（份）每1份的人数是：45÷9=5（人）因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是：5×5=25（人）原有女生的人数是：25+15=40（人）综合算式：45÷（5×2-1）×5+15=45÷9×5+15=25+15=40（人）答略。（四）以份数法解按比例分配的应用题把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于六年级程度）解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用乘法便可求出各组应挖的任务。2331÷（24+21+18）=37（米）37×24=888（米）…………………甲组任务37×21=777（米）…………………乙组任务37×18=666（米）…………………丙组任务答略。例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度）解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例。把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是：生产零件的总数539个就是：甲生产的个数：乙生产的个数：答略。（五）以份数法解正比例应用题成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。这里是指以份数法解正比例应用题。例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？（适于六年级程度）解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。4×（256÷32）=4×8=32（天）答略。例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度）解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份数，则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多少个80克。24000÷400=60（个）24000粒大豆的重量是：80×60=4800（克）综合算式：80×（24000÷400）=4800（克）答略。（六）以份数法解反比例应用题成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。这里是指以份数法解反比例应用题。例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？（适于六年级程度）解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：现在需要装的箱数是：答略。天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是：答略。（七）以份数法解分数应用题分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度）解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的：如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。所以，女职工人数比男职工人数多：（3-2）÷2=50％答略。那么黄旗占：如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍。答略。棉花谷多少包？（适于六年级程度）解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出：130÷2=65（包）如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。（2600-65×5）÷（8+5）×8=2275÷13×8=1400（包）……………………………甲仓库原有的包数2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数答略。（八）以份数法解工程问题工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后，快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时。把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：答略。*例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就答略。（九）以份数法解几何题*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小长方形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为：3×2+1×2=8（份）因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：16÷8=2（厘米）长方形的长，也就是正方形的边长是：2×3=6（厘米）正方形的周长是：6×4=24（厘米）答略。*例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差：7-3=4（份）由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形长、宽之差为：12+16=28（厘米）看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：28÷4=7（厘米）原来长方形的长是：7×7=49（厘米）原来长方形的宽是：7×3=21（厘米）原来长方形的面积是：49×21=1029（平方厘米）答略。第十二讲消元法在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。（一）以同类数量相减的方法消元例买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度）解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。表12-1从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量：5-2=3（把）3把椅子的钱数是：540-336=204（元）买1把椅子用钱：204÷3=68（元）把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：336-68×2=336-136=200（元）答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。1.以两个数的和代换某数*例甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）解：题中的数量关系可用下面等式表示：甲+乙=584①甲+88=乙②把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：甲+甲+88=584甲×2+88=584 2甲=584-88=496甲=496÷2=248（本）乙=248+88=336（本）答略。2.以两个数的积代换某数*例3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。这样可以认为242元可以买布鞋：15+7=22（双）每双布鞋的钱数是：242÷22=11（元）每双皮鞋的钱数是：11×5=55（元）答略。3.以两个数的商代换某数*例5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。现在可以认为，用48元可以买钢笔：5+3=8（支）每支钢笔值钱：48÷8=6（元）每支圆珠笔值钱：6÷4=1.5（元）答略。4.以两个数的差代换某数*例甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度）解：题中三个人的钱数有下面关系：甲+乙+丙=235①甲-乙=80②甲-丙=90③由②、③得：乙=甲-80④丙=甲-90⑤用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：甲+（甲-80）+（甲-90）=235甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲=405÷3=135（元）乙=135-80=55（元）丙=135-90=45（元）答略。（三）以较小数代换较大数的方法消元在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。*例18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。这样他们共采集松树籽：78+18=96（千克）因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：14+18=32（名）每一名女学生采集松树籽：96÷32=3（千克）每一名男学生采集松树籽：3-1=2（千克）答略。（四）以较大数代换较小数的方法消元在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。*例胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：8×5=40（元）这时可认为一共买来篮球：9+5=14（个）买14个篮球共用钱：432-40=392（元）篮球的单价是：392÷14=28（元）足球的单价是：28+8=36（元）答略。（五）通过把某一组数乘以一个数消元当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。*例2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。表12-2把第①组中的数量乘以3得表12-3。表12-3第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。一匹马吃草：20÷2=10（千克）一只羊吃草：（38-10×2）÷3=18÷3=6（千克）答略。（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。*例1买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。表12-4要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。表12-5③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：0.72÷3=0.24（元）一块橡皮的价格是：（1.68-0.24×6）÷3=（1.68-1.44）÷3=0.24÷3=0.08（元）答略。*例2有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件排列成表12-6。表12-6把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。表12-7③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，一个大杯里面可以放入砂糖：960÷16=60（克）一个小杯里面可以放入砂糖：（420-60×5）÷3=（420-300）÷3=40（克）答略。第十三讲比较法通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。（一）在同一道题内比较在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。1.直接比较例1五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种：7-5=2（棵）第二次比第一次多种：75+15=90（棵）90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：90÷2=45（人）这批树苗的棵数是：5×45+75=300（棵）或7×45-15=300（棵）答略。*例2四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度）解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多：28-15=13（箱）第二批红茶比第一批红茶多：3640-2925=715（千克）因此，可得每一箱红茶重量：715÷13=55（千克）每一箱绿茶重量：（2925-55×15）÷35=（2925-825）÷35=2100÷35=60（千克）答略。2.画图比较有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。可看出，这段公路一共分为（7+2）份。答略。3.列表比较有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。例赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度）解：摘录已知条件排列成表13-1。表13-1比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱：6.8-0.4×2=6（元）每千克梨的价钱是：6÷（2+3）=1.2（元）每千克苹果的价钱是：1.2+0.4=1.6（元）答略。（二）和容易解的题比较当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。1.与常见题比较例4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度）小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来：3匹马………………………3篮苹果每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多解答“苹果”这道题的方法是：8×3÷4通过这样的比较，自然会想出解题的方法。解：8×3÷4=6（千米）答：每人骑马行的路程是6千米。2.与基本题比较例甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小时走3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。把上题与下面的题作比较，就会发现问题。甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。解：本题的总路程是：10.5×2总时间是：10.5÷5+10.5÷3所以他往返的平均速度是：10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小时）答略。3.把逆向题与顺向题比较例王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多题，不易找出解题方法。把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。答略。（三）创造条件比较对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。*例1学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2。表13-2从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。因为大米袋数2和5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5），把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘以2），得表13-3。此时题中条件便可以比较了。表13-3看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多买：15-8=7（袋）因此，第一次买的粮食比第二次多：1375-1200=175（千克）每袋面粉重：175÷7=25（千克）每袋大米重：（275-25×3）÷2=（275-75）÷2=100（千克）答略。*例2 1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？（适于五年级程度）解：摘录题中条件排列成表13-4。表13-4从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此时题中条件便可以比较了。表13-5⑥-⑤，得：2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即，1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦⑥-④，得：3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧⑧-⑦，得：2支铅笔价钱=0.30（元）1支铅笔价钱=0.15（元）把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是：0.75-0.15=0.60（元）根据①可求出一块橡皮的价钱数：（2.35-0.15-0.6×3）÷2=0.4÷2=0.2（元）答略。*例3甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度）解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较。此时就要创造条件比较了。已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件：140×（1-80％）=28（个）这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：32-28=4（个）这4个所对应的分率是：80％-75％=5％所以，乙需做的零件是：4÷5％=80（个）甲需做的零件是：140-80=60（个）答略。第十四讲演示法对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。例1一根绳子正好围成一个边长为5分米的正方形。如果用它围成长是8分米的长方形，问其宽应当是多少分米？（适于三年级程度）解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答：5×4÷2-8=2（分米）然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法，我们可以做下面的试验：（1）用一根细铁丝围成一个边长是5分米的正方形（图14-1）。（2）把正方形的细铁丝从C点断开。这时ABC部分、CDA部分都是正方形边长的2倍。（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米长的一段与另一段成90°的角（图14-2）。此时会看到8分米长的这一段是长方形的长，与8分米长的边成直角的那一段是长方形的宽。到此，很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法：5×2-8=2（分米）答略。*例2有一列火车，长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道。求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度）解：求火车过隧道的时间，必须知道过隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。为弄清这个问题，我们做下面的演示。用文具盒当隧道，用铅笔当火车。用图14-3表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图14-4表示火车车尾正好离开隧道时的情景。从图14-4可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧道，所行的路程等于隧道长与车身长之和。到此，便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。分步列式计算：（1）火车每秒行：1000×18÷3600=5（米）（2）火车通过隧道共行的米数：150+120=270（米）（3）火车通过隧道需时间是：270÷5=54（秒）综合算式：（150+120）÷（1000×18÷3600）=270÷5=54（秒）答略。*例3兄弟二人早晨五点钟各推一车菜，同时从家里出发去集市。哥哥每分钟走100米，弟弟每分钟走60米。哥哥到达集市后5分钟卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，这时是5点55分。问集市离他们家有多远？（适于五年级程度）解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端，用两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如（图14-5）。图14-5实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的2倍。因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。[60×55+100×（55-5）]÷2=[3300+5000]÷2=4150（米）答略。*例4一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米，求圆柱体的体积。（适于六年级程度）解：要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看，题中没有告诉圆柱底面圆的半径是多少，这可怎么办呢？做了下面的演示，问题就得到解决了。用一张长方形的纸卷成一个圆柱形，再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方形。长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长。知道了圆柱底面圆的周长，就能算出圆柱体底面圆的半径。（1）圆柱体底面圆的周长是：62.8÷5=12.56（分米）（2）圆柱体底面圆的半径是：12.56÷3.14÷2=2（分米）（3）圆柱体的体积是：3.14×2×2×5=62.8（立方分米）答略。*例5从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？什么时刻成一直线？（适于高年级程度）解：此题很抽象，可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。看图14-6，因为钟的指针是顺时针方向转动的，所以在3点钟时，时针在分针前面。要使两针重合，分针就要追上时针。我们把分针转动一圈，即分针走60小格，时针才走5个小格，因此，在分针要与时针成一条直线，分针不仅要追上时针15格的距离，还要超过30格的距离，总计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长时间呢？时针成一条直线。答略。*例6一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒钟行12米。两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？（适于五年级程度）解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程。为弄清这个问题，我们做下面的演示：用一支铅笔作慢车，用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图14-7），再让它们从相对运行到正好离开（图14-8）。看图14-8会想到：两车共行的路程是两个车身长的和。到此，可算出：（151+254）÷（15+12）=405÷27=15（秒）答：两车从相遇到离开需要15秒钟。第十五讲列表法把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。（一）通过列表突出题目的解法特点有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。例1桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿碗里放着24个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度）解：摘录题中条件，排列成表15-1。表15-1求每只碗里应放多少个球，要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球。由于表15-1中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一竖行，所以只要看着表15-1中竖着排列的碗的只数和球的个数，便可算出碗的总数和玻璃球的总数，从而使问题得以解决。（51+75+24）÷（3+5+2）=150÷10=15（只）答：平均每只碗里应放15个玻璃球。例2荒地村砂场用3辆汽车往火车站运送砂子，5天运了180吨。照这样计算，用4辆同样的汽车15天可以运送多少吨砂子？（适于四年级程度）解：摘录题中条件，排列成表15-2。表15-2解此题的要点是先求出单位数量。表15-2中，由于汽车的辆数、运送的天数和吨数这三个直接相关联的数量排在同一横行，因此便于想到，180÷5得到3辆车1天运多少吨，180÷5÷3就得到一辆车一天运多少吨；接着便可想到求出4辆车1天运多少吨，15天运多少吨。求4辆车15天运送多少吨砂子的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720（吨）答略。例3甲校买8个排球，5个篮球，共用415元，乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元。求买一个排球需要多少钱？（适于四年级程度）解：摘录题中条件，排列成表15-3。表15-3从表15-3可以看出，甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱：415-295=120（元）甲校比乙校多买排球数是：8-4=4（个）所以，每个排球的卖价是：120÷4=30（元）答略。例4要把卖5角钱500克的红辣椒和卖3角5分钱500克的青辣椒混合起来，卖4角1分钱500克，应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏？（适于六年级程度）解：摘录题中条件，排列成表15-4（为便于计算，表中钱数都以“分”为单位）。表15-4要使卖主与买主都不吃亏，就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒多收入的钱数一样多。由表15-4可看出，当红辣椒损失18分，青辣椒多收入18分时，恰好达到要求。因为每500克红辣椒与青辣椒混合时，红辣椒要少卖9分钱，当损失18分时，则有500×2克红辣椒；同理，青辣椒与红辣椒混合时，每500克青辣椒要多卖6分钱，要多卖18分时，就要有3个500克才行，即500×3克青辣椒。所以，红辣椒与青辣椒混合的比应是：500×2∶500×3=2∶3答略。*例5甲种酒每500克卖1元4角4分，乙种酒每500克卖1元2角，丙种酒每500克卖9角6分。现在要把三种酒混合成每500克卖1元1角4分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是3∶2。求混合酒中三种酒的重量比。（适于六年级程度）解：设混合酒中甲种酒占的份数是x，为便于计算题中钱数都以“分”为单位。摘录题中条件，排列成表15-5。表15-5从表15-5可以看出，当三种酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的价钱是114分时，混合酒中每500克甲种酒要损失（少卖）30分钱，每500克乙种酒要损失6分钱，而每500克丙种酒要收益（多卖）18分钱。当乙、丙两种酒的混合比是3∶2时，假设乙、丙两种酒分别是1.5千克、1千克，则这两种酒的混合液可以多卖钱：18×2-6×3=18（分）当三种酒按x∶3∶2的比例混合时，收益的18分钱应与甲种酒的损失抵消。因为三种酒混合时，每500克甲种酒损失30分，所以18分是30分的几分之几，甲种酒在三种酒的混合液中就占500克的几分之几：答：混合酒中三种酒的重量比是3∶15∶10。（二）通过列表暴露题目的中间问题解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的难度。*例1张老师买了2千克苹果，3千克梨，共用5元钱。王老师买的苹果是张老师的2倍，买的梨是张老师的3倍，比张老师多用6.8元。问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少元？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，排列成表15-6。表15-6中，由于张老师买的苹果是2千克、梨是3千克，共用5元钱，都已写在表中，因此很容易在表中写出王老师买的苹果是2×2千克，王老师买的苹果恰好是张老师的2倍，也很容易写出王老师买的梨是3×3千克，王老师买的梨比张老师的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克。表15-6王老师共用钱（5+6.8）元，王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的2倍多：（5+6.8）-5×2=1.8（元）这1.8元就是买3千克梨用的钱，所以1千克梨的价钱是：1.8÷3=0.6（元）1千克苹果的价钱是：（5-0.6×3）÷2=（5-1.8）÷2=1.6（元）答略。*例2有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。这时3桶油正好都是16千克。问原来每桶中各有油多少千克？（适于高年级程度）解：此题的中间量比较多，需要从题中最后的结果逐步往前推理，把推出的结果写在表中，就能求出原来每桶各有多少千克油。看表15-7。表15-7（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中，3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，横向写上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前，丙桶中有油：16×2=32（千克）丙桶油的一半是16千克，把这16千克平均倒在甲乙两桶中时，倒入每一桶的油是：16÷2=8（千克）所以，在丙桶未向甲、乙两桶倒油时，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中”后，甲、乙两桶中分别有油8千克。在表15-7中，乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油8千克、8千克、32千克。（2）根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后，乙桶中还剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原来乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：16÷2=8（千克）8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”后，甲桶中有油：8-4=4（千克）丙桶中有油：32-4=28（千克）在表15-7中，甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：4千克、16千克、28千克。（3）由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下4千克油，可以推出甲桶原来有油：4×2=8（千克）8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙两桶倒完油后，乙、丙两桶分别有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙两桶原来分别有油：16-2=14（千克）28-2=26（千克）答略。第十六讲倍比法解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。（一）用倍比法解归一问题可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上，倍比法是归一法的特殊形式。为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。例1一台拖拉机3天耕地175亩。照这样计算，这台拖拉机15天可以耕地多少亩？（适于三年级程度）解：这道题实质上是归一问题。要求15天耕地多少亩，只要先求出每天耕地多少亩就行了。但175不能被3整除，所以在整数范围内此题不便用归一法来解。因题目中的同一类数量（两个天数）之间成倍数关系（15天是3天的5倍），并且拖拉机的工作效率又相同，所以另一类量（两个耕地亩数）之间也必然有相同的倍数关系（15天耕地亩数也应是3天耕地亩数的5倍）。先求15天是3天的几倍：15÷3=5（倍）再求175亩的5倍是多少亩：175×5=875（亩）综合算式：175×（15÷3）＝175×5＝875（亩）答：15天可以耕地875亩。例2 3台拖拉机一天耕地40亩。要把160亩地在一天内耕完，需要多少台同样的拖拉机？（适于三年级程度）解：先求出160亩是40亩的几倍：160÷40=4（倍）再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机：3×4=12（台）综合算式：3×（160÷40）=3×4=12（台）例3工厂运来52吨煤，先用其中的13吨炼出9750千克焦炭。照这样计算，剩下的煤可以炼出多少千克焦炭？（适于四年级程度）用归一法解：先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭：9750÷13×（52-13）=750×39=29250（千克）用倍比法解：先求出52吨里有几个13吨，然后去掉已炼的一个13吨，得：9750×（52÷13-1）=29250（千克）答略。例4某粮食加工厂，3台磨粉机6小时磨小麦1620千克。照这样计算，5台磨粉机8小时可以磨小麦多少千克？（适于五年级程度）用归一法解：1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8=3600（千克）用倍比法解：把一台磨粉机工作1小时看作一个新的量--1台小时，3台磨粉机工作6小时，就是3×6台小时，5台磨粉机工作8小时，就是5×8台小时。只要求出5×8台小时是3×6台小时的几倍，那么5台磨粉机8小时磨的小麦就是1620千克小麦的几倍。答略。例5甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇，相遇后甲车再经过2小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城？（适于五年级程度）解：用图16-1表示题中的数量关系。看图16-1中两车相遇点右侧的路程，甲、乙所走的路程一样长。但走这段路，甲用了2小时，乙却用了4小时。就是说，走同样的路程时，乙用的时间是甲的4÷2=2倍。再看相遇点左侧的路程，甲走这段路程用了4小时，因为走同样长的路程时乙用的时间是甲的2倍，所以，乙由相遇点到达东城的时间是4小时的2倍。4×（4÷2）=8（小时）答：乙车再过8小时可以到达东城。（二）用倍比法解工程问题用倍比法解工程问题，不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法解比较简捷。例1一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成；由乙工程队修建，需要30天完成。两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度）解：因为甲工程队修建20天的工作量相当于乙工程队修建30天的工作在把乙队30天的工作量看作总工作量时，乙队一天修的工作量是1，则=12（天）答略。例2一件工作单独由一个人完成，甲要用8小时，乙要用12小时。若甲先单独做5小时，剩下的由乙单独做完，则乙需要做多少小时？（适于六年级程度）解：因为甲8小时的工作量相当于乙12小时的工作量，所以，甲1小时作量，剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间：在把甲8小时的工作量看作工作总量时，甲1小时的工作量是1，则乙答略。例3某工程由甲、乙两队合做12天完成，现在两队合做4天后，余下的再由甲队单独做10天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天？（适于六年级程度）解：甲、乙两队合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天数是12-4=8（天）。这8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。这8天的工作量，甲单独做10天完成，就是说，甲、乙合做1天的工作（天），再加上后来甲单独工作的10天，便可得到甲队单独完成这项工程需要的天数：答略。例4一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。现在先由乙队做若干天后，甲再参加，4天就做完了。那么乙先单独做了多少天？（适于六年级程度）解：因为这项工程，甲单独做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6（天），这6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的去掉乙后来与甲合做的4天，便得到乙先头单独做的天数：答略。*例5甲、乙两人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，若由甲单独做这项工作需要12天完成。现在甲、乙两人合做4天后，剩下的工作由乙单独做需要几天完成？（适于六年级程度）把甲单独做12天完成的工作量看作工作总量，从工作总量中减去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙单独做的工作量。再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙单独做需要几天完成。答略。答略。第十七讲逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。*例2粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米：1500+610=2110（千克）在没运进720千克之前，粮库里有大米：2110-720=1390（千克）在没运走450千克之前，粮库里有大米：1390+450=1840（千克）答：粮库里原来有大米1840千克。*例3某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。问这个数原来是多少？（适于四年级程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：9×9=81在减去9之前的数是：81+9=90在乘以9之前的数是：90÷9=10在加上9之前，原来的数是：10-9=1答：这个数原来是1。*例4解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求还要行几天？（适于五年级程度）解：从最后一个条件“以后每天多行12千米”可求出，以后每天行的路程是：30+12=42（千米）从头4天每天行30千米，可求出已行的路程是：30×4=120（千米）行完4天后剩下的路程是：498-120=378（千米）还要行的天数是：378÷42=9（天）综合算式：（498-30×4）÷（30+12）=378÷42=9（天）答略。*例5仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多30吨，第二次取出余下的一半少100吨，第三次取出150吨，最后剩下70吨。这批化肥原来是多少吨？（适于五年级程度）解：从“第三次取出150吨，最后剩下70吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化肥：70+150=220（吨）假定第二次取出余下的一半，而不是少100吨，则第二次取出后，仓库剩下化肥：220-100=120（吨）第二次取出之前，仓库中有化肥：120×2=240（吨）假定第一次正好取出一半，而不是多30吨，则第一次取出一半后，仓库里剩下化肥：240+30=270（吨）仓库中原有化肥的吨数是：270×2=540（吨）综合算式：[（150+70-100）×2+30]×2=[120×2+30]×2=270×2=540（吨）答略。共有多少本图书？有科普读物多少本？（适于六年级程度）解：最后一个条件是“少儿读物是630本”，由于科普读物和文艺读物所以，这个书架上共有书：有科普读物：答略。（二）借助线段图逆推*例1有一堆煤，第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨，还剩下25吨。问这堆煤原来是多少吨（适于五年级程度）解：作图17-1（见下页）。从图17-1可看出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44（吨）全堆煤的一半是：44+10=54（吨）原来这堆煤是：54×2=108（吨）答略。*例2服装厂第一车间的人数占全厂人数的25％，第二车间的人数比第个服装厂共有多少人？（适于六年级程度）解：作图17-2（见下页），用三条线段表示三个车间的人数。第二车间人数是：第一车间人数是：全厂人数是：150÷25％=600（人）综合算式：（三）借助思路图逆推例1某工程队原计划12天修公路2880米，由于改进了工作方法，8天就完成了任务。问实际比原计划每天多修多少米？（适于四年级程度）解：作思路图（图17-3）。求实际比原计划每天多修多少米，必须知道实际每天修多少米和原计划每天修多少米。求实际每天修多少米，就要知道公路的长和实际修完的天数。实际每天修的米数是：2880÷8=360（米）求原计划每天修多少米，就要知道公路的长和原计划要修的天数。原计划每天修的米数是：2880÷12=240（米）实际比原计划每天多修的米数是：360-240=120（米）答略。*例2某机床厂去年每月生产机床5台，每月用去钢材4000千克；今年每月生产的机床台数是去年的4倍，平均每台机床比去年少用钢材200千克。今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？（适于五年级程度）解：作思路图（图17-4）。从图17-4的下边开始看，逐步往上推理。（1）去年每台用钢材多少？4000÷5=800（千克）（2）今年每台用多少钢材？800-200=600（千克）（3）今年每月生产多少台？5×4=20（台）（4）今年每月用多少钢材？600×20=12000（千克）（5）今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？12000÷4000=3（倍）综合算式：（4000÷5-200）×（5×4）÷4000=600×20÷4000=3（倍）答略。（四）借助公式逆推例1一个三角形的面积是780平方厘米，底是52厘米。问高是多少？（适于五年级程度）解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得：高=面积×2÷底所以，这个三角形的高是：780×2÷52=30（厘米）答略。例2求图17-5平行四边形中CD边的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：因为平行四边形的面积是：BC×AE=6×3=18平行四边形的面积也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18 CD=18÷5=3.6（厘米）答略。例3一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。求它的高是多少。（适于六年级程度）解：底面圆的直径是6厘米，则半径就是3厘米。由V=1/3πR2h逆推得：h=V×3÷π÷R2因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷32=254.34÷3.14÷32=9（厘米）答略。（五）借助假设法逆推解：假设取出存款后没有买书橱，则150元是取出的钱的：取出的钱是：150×3=450（元）老张原有的存款是：450×4=1800（元）答略。例2供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少2吨，乙乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的8吨分给丙乡。问原来共有化肥多少吨？（适于六年级程度）解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是：乙乡分走前的化肥是：假设甲乡分得总数的一半，而不是少2吨，则甲乡分走化肥：17-2=15（吨）这15吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥：15×2=30（吨）综合算式：答略。（六）借助对应法逆推所以，食堂原来有大米：综合算式：答略。所以，第一天耕地后余下的亩数是：25+3=28（亩）28亩所对应的分率是：综合算式：答略。第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。例1妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。例2一桶煤油，倒出40％，还剩18升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）答略。例3把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度）解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略。（二）线段图线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。例1王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度）解：作图18-4（见下页）。从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。李平比王明多的份数是：3-1=2（份）李平的糖比王明的糖多：15×2=30（块）综合算式：15×（3-1）=15×2=30（块）答略。例2托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。解：作图18-6。综合算式：答略。（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。例题参见前面的分析法和综合法。（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。例1农民张成良，把自己承包的土地的一半种了玉承包了多少公顷土地？（适于四年级程度）解：根据题意作图18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16（公顷）答略。例2有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度）解：求大、小正方形的面积，应知道大、小正方形的边长，但题中没有说，也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。根据题意作图18-8。图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。从96平方厘米减去正方形c的面积，再除以2就可求出长方形a的面积。（96-4×4）÷2=40（平方厘米）因为长方形a的宽是4厘米，所以长方形a的长是：40÷4=10（厘米）因为10厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是：10×10=100（平方厘米）大正方形的边长是：4+10=14（厘米）大正方形的面积是：14×14=196（平方厘米）答略。（五）长方形图借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。*例1甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做10个。现在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500个零件。问甲、乙两人每天各做多少个零件？（适于五年级程度）解：根据题意作图18-9（见下页）。图18-9中，以左边长方形的长表示甲工作15天，以左边长方形的宽表示甲每天做多少个；以右边长方形的长表示乙工作12天，以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做10个，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120（个）图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件1500个。从图18-9可以看出，整个大长方形面积所表示的零件的个数是：1500+120=1620（个）这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数：15+12=27（天）因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数，所以甲每天做零件的个数是：1620÷27=60（个）乙每天做零件的个数是：60-10=50（个）答略。*例2某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。苹果每筐卖90元，鸭梨每筐卖72元，桔子每筐卖60元，共卖得1854元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐？（适于六年级程度）解：根据题意作图18-10。图18-10中阴影部分表示，如果25筐都是苹果，则所造成的差价是：90×25-1854=396（元）每卖出1筐桔子、2筐鸭梨、3筐苹果的差价是：（90-72）×2+（90-60）=36+30=66（元）因此，桔子的筐数是：396÷66=6（筐）鸭梨的筐数是：6×2=12（筐）苹果的筐数是：25-6-12=7（筐）答略。（六）条形图条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。吨后，两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）解：作图18-11。从图中可看出，从875吨中减去75吨后，甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的3倍，两个煤场所存煤共分为4份。其中一份是：（875-75）÷（3+1）＝800÷4=200（吨）乙煤场原来的存煤吨数是：200+75=275（吨）甲煤场原来存煤的吨数是：200×3=600（吨）答略。解：作图18-12。但是，实际上是运出125吨。这140吨比实际运出的多：140-125=15（吨）所以15吨所对应的分率是：甲库原来的存粮吨数是：420-180=240（吨）答略。*例3一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一半到小块草地上割。到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。这组割草的一共有多少人？（适于六年级程度）全体组员割一个上午后，一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完，这就是说，要是用一半的组员单独割大块草地的草，就要用3个半天，而在这剩下的一小块是大块草地的：这就是说，6个人一天可以把大块草地割完，一个人一天割大块地的答略。（七）圆形图借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。例1甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑7米，经过20秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。（适于五年级程度）解：作图18-14。从图中可看出，甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和×相遇时间=相遇路程”，可求出环形跑道的周长：（7+8）×20=300（米）答略。问这块土地有多少公倾？（适于六年级程度）解：作图18-15。从图中可看出，第二天耕完这块土地的：例3有三堆棋子，这三堆棋子所含棋子的个数一样多，且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多，第棋子的几分之几？（适于六年级程度）解：作图18-16。从图中可看出，把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换，则第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因为第一堆与第二堆的棋子数相同，所以第一堆的白子数与第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。甲每分钟走70米，乙每分钟走46米。环形路的长是300米。他们出发后，在1小时20分里相会几次？到1小时20分时两人的最近距离是多少米？（适于五年级程度）解：作图18-17。甲、乙二人1分钟的速度差是：70-46=24（米）由二人出发到第一次相会所需的时间是：300÷24=12.5（分）1小时20分钟即为80分钟。80分钟内包含几个12.5分钟，二人即相会几次。80分钟内包括6个12.5分钟，还多5分钟，即二人相会6次。由于第六次相会后还走5分钟，所以甲乙之间相隔：24×5=120（米）此时，甲、乙之间还有一个距离是：300-120=180（米）180＞120米答：在1小时20分钟里两人相会6次；到1小时20分钟时，两人的最近距离是120米。（八）染色图在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。*例1图18-18是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸边A点到B点至少要趟几次水？B点是在水中还是在岸上？（适于高年级程度）解：这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件，将湖面染上色，湖岸部分就显示出来了，答案也就一目了然了（图18-19）。答：他至少要趟3次水才能达到B处，B点在湖岸上。*例2如图18-20，某展览馆有36个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。问你能否从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？（适于高年级程度）解：作图18-21。把图中36个方格相间地染上黑色。因入口处是白格，参观时若依顺序将展室编号，那么进入第奇数号展室时，应是白格位置；进第偶数号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。参观者最后离开的是第36号展室，它是偶数，按上面的分析它应是黑格，但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。答略。*例3将图18-22矩形ABCD的一边AD分成6小段，其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。连结对角线BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？（适于高年级程度）解：此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果，但较麻烦。用染色的方法解此题比较简捷。先将图中BD线左下面的空白处染上黑色，用S红、S蓝、S黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色图形的面积（图18-23）。从图18-23很容易看到：另外，S蓝+S黑等于3个小矩形面积的和，而它恰好等于矩形ABCD面积的一半，即：这就是说：S红+S黑=S蓝+S黑从上面算式的两边同时减去S黑，得：S红=S蓝答：图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。*例4图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。它们的面积都是14。若把它们剪成1×2的小矩形，最多能剪几个？为什么？（适于高年级程度）解：图18-24的三个图形除了（1）可以剪出7个1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6个来。原因是：分别用黑白两色对图形（1）、（2）、（3）相间地涂色（图18-25）。从它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上涂有不同的颜色，如图18-25中（4）。既然每个1×2的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成（因为三个图形的面积都是14个方格，把它们剪成1×2的小矩形，照面积来算，似乎都应剪出7个来），要想剪出7个小矩形，当然得有7个白格和7个黑格，但在图18-25中，只有图形（1）是这样的，图形（2）、（3）都有8个白格和6个黑格。故它们只能剪出6个小矩形。答略。=3.2（公顷）答略。第十九讲对应法解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。（一）解平均数应用题在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式例1同学们参加麦收劳动。第一天收麦16亩，第二天上午收麦8亩，下午收麦12亩。平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度）解：本题的总份数是2天（注意：总份数不是3天），2天所对应的总数量是（16+8+12）亩。所以，平均每天收麦亩数是：（16+8+12）÷2=36÷2=18（亩）答略。例2服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）解：本题的总份数是3个月（注意：不是2个月），与3相对应的总数是（13356+12030）套。所以，平均每个月生产服装的套数是：（13356+12030）÷3=25386÷3=8462（套）答略。例3河南乡有两块稻谷实验田。第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度）解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量（550×8+2880）千克。所以，这两块试验田平均亩产稻谷的数量是：（550×8+2880）÷（8+6）=7280÷14=520（千克）答略。例4甲、乙两地相距10.5千米。某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地返回甲地每小时走3千米。求他往返的平均速度。（适于五年级程度）解：有的同学以（5+3）÷2=4（千米/小时）这种方法解答此题。这个算式里没有某人走的总路程和与总路程所对应的时间，所以这种算法是错误的。此题的总路程是10.5×2千米，与总路程相对应的总时间是（10.5÷5+10.5+3）小时。所以他往返的平均速度是：10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=21÷5.6=3.75（千米/小时）答略。（二）解倍数应用题已知两个数的倍数关系以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；已知两个数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。总起来讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数量大小的这类应用题，就叫做倍数应用题。在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。然后，利用下面的公式求出1倍数，使问题得到解决。例1甲、乙两筐中有重量相同的苹果。由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍。乙筐现在有苹果多少千克？（适于四年级程度）解：根据“由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍”，可看出：由甲筐卖出的少，由乙筐卖出的多，甲筐剩下的多，乙筐剩下的少；乙筐剩下的苹果是1倍数，甲筐剩下的苹果是3倍数。甲筐剩下的苹果比乙筐剩下的苹果多：3-1=2（倍）这2倍数所对应的数量是：97-75=22（千克）因为乙筐剩下的苹果是1倍数，所以乙筐现在有苹果：22÷2=11（千克）答略。例2甲、乙两个粮库共存粮食107吨。甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮是甲库的3倍。甲粮库原来存粮多少吨？（适于五年级程度）解：由题意“甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮食是甲库的3倍”可看出，甲库运出23吨粮食后，甲、乙两库共剩粮食：107-23=84（吨）甲库存粮是1倍数，乙库存粮是3倍数，84吨所对应的倍数是（1+3）倍。所以，甲库现在存粮食：84÷（1+3）=21（吨）甲库原来存粮食：21+23=44（吨）答略。例3春光农场两组工人收桔子。第一组收的桔子是第二组所收桔子的3倍少50千克，比第二组多收3150千克。两组各收桔子多少千克？（适于五年级程度）解：因为第一组收的桔子比第二组多3150千克，是第二组的3倍少50千克，所以，第二组收的是1倍数。如果在3150千克之上增加50千克，则第一组收的就是第二组的3倍。3150+50=3200（千克）这3200千克所对应的倍数是：3-1=2（倍）第二组所收的桔子是：3200÷2=1600（千克）第一组所收的桔子是：1600×3-50=4800-50=4750（千克）答略。（三）解行程应用题在距离、速度、时间三个量中，已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做行程应用题。它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题（追及应用题）三类。在解行程应用题时，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度×时间=距离”、“速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差×追及所需时间=追及距离”来计算。=30（千米）答略。*例2一段路，客车行完要用12小时，货车行完要用15小时。现在两车同时从两地相向而行，相遇时客车行了150千米。求货车行了多少千米。（适于六年级程度）解：作图19-1。货车行的路程是：270-150=120（千米）答略。（四）解分数应用题用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题。解：已知整袋的白糖重量是25千克，要求最后剩下的白糖的重量，就要求出最后剩下的白糖所对应的分率。所以最后剩下的白糖是：答略。所以，两天一共修的米数是：=135（米）答略。（五）解工程应用题工程应用题，是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题，是把全工程作为“1”。用工作的时间去除全工程“1”，可求单位时间的工作量；用单位时间的工作量去除全工程“1”，可求出完成工程所用的时间。在解工程问题时，要找准工作效率、工作时间和工作量的对应关系，然后再按照公式“工作效率×工作时间=工作量”及其变形公式计算。例1甲、乙两人合做一批机器零件。甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。两人合做5小时后，这批零件还剩30只。这批零件一共是多少只？（适于六年级程度）解：把这批零件的只数看作单位“1”。甲单独做需要10小时完成，甲剩余的工作量是：答略。例2一项工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做了8天后，剩余的工程由乙队做了5天完成。问乙队单独做每天可以完成这项工程的几分之几？（适于六年级程度）剩余的工作量是：答略。第二十讲集合法我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。例1五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度）解：由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。所以，如果我们用A圆圈表示做完语文作业的人数，用B圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-1）。从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A圆圈的人数加上B圆圈的人数减去全班的总人数。37+42-48=31（人）答：语文、数学作业都做完的有31人。例2有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度）解：可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A圆圈表示参加书法比赛的人数，B圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。只参加书法比赛的人数：72-24=48（人）参加绘画比赛的人数：110-48=62（人）答略。（适于六年级程度）解：参加径赛的有：根据题意作图20-3从图中可以看出，只参加田赛的人数是：276-230=46（人）两种活动都参加的人数是：184-46=138（人）答略。*例4某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度）解：作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是：45-17=28（人）只语文在90分以上的人数是：28-25=3（人）只数学在90分以上的人数是：28-14=14（人）语文、数学都在90分以上的人数是：28-（14+3）=11（人）答略。*例5学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）解：作图20-5。用A圆圈表示负责观测的人数，用B圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。（1）只负责记录，不负责观测的人数：15-7=8（人）（2）只负责观测，不负责记录的人数为：19-7=12（人）（3）负责其他工作的人数为：50-19-15+7=23（人）答略。*例6某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）解：用A圆圈表示喜爱足球的人数，B圆圈表示喜爱篮球的人数，C圆圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。45-26×3+（13+14+15）=45-78+42=45+42-78=87-78=9（人）答：三项运动都喜爱的有9人。*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？（2）只参加合唱队的有多少人？（3）只参加美术组的有多少人？（4）只参加运动队的有多少人？（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）解：作图20-7。因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：18+25-36=7（人）（2）只参加合唱队的人数是：18-7=11（人）现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是：25-7=18（人）因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：55-5-11=39（人）所以：（5）既参加运动队又参加美术组的人数是：42-39=3（人）（4）只参加运动队的人数是：17-3=14（人）（3）只参加美术组的人数是：18-3=15（人）答略。

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