2015年全国初中数学联合竞赛初二组真题答案.docx

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2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若x2+y2+2z2_xy__2yz_2x+2=0，则x+y+z=()A.3.B.4.C.5.D.6.【答】C.∵x2+y2+2z2_xy__2yz_2x+2=0，∴2x2+2y2+4z2_2xy__4yz_4x+4=0，∴(x2_2xy+y2)+(x2_4x+4)+(y2_4yz+4z2)=0，∴(x__y)2+(x__2)2+(y__2z)2=0，∴x=y=2，z=1，∴x+y+z=5.2.设实数a,b,c满足：a+b+c=3，a2+b2+c2=4，则）A.9.B.6.C.3.D.0.【答】A.∵a+b+c=3，a2+b2+c2=4，=6+(a+b+c)=9.3．锐角△ABC中，BC边的中垂线和LABC的角平分线相交于点P．若LA=72o，LACP=24o，则LABP=()【答】B.∵直线BP为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线PM为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP.在△ABC中，三内角之和为180°,∴3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°,即3∠ABP+72°+24°=180°,解得∠ABP＝28°.4.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为()A.11.B.12.C.17.D.18.【答】B.A.24°.B.28°.C.30°.D.36°.A P M B C设三角形的三边长为a,b,c（a≥b≥c），则3a≥a+b+c=24，2a<a+(b+c)=24，所以8≤a<12，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a,b,c）可以为：第1页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6），共12组，所以，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.5.设A，则不超过A的最大整数为()A.2017.B.2016.C.2015.D.2014.【答】D.对于正整数n，有所以故因此，不超过A的最大整数为2014.6.满足a，b的整数对(a,b)的组数为()A.4.B.3.C.2.D.1.【答】C.易知ab≠0，由题设条件可得，设比值为k，则5_a=kb，5_a=kb，4_b=ka，所以(5_a)b=kb2，(4_b)a=ka2，所以k(a2+b2)=(4_b)a+(5_a)b=4a+5b__2ab.又因为k，所以k(a2+b2)=10，所以4a+5b__2ab=10，即2ab_4a_5b+10=0，分解因式得(2a_5)(b__2)=0，所以b=2或a=5（舍去）.2把b=2代入a+=5得(a2+4)(5_a)=20，则a2+4和5_a都是20的正约数，验证可知：a=1和a=4符合.F E D C二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.在直角△ABC中，LACB=90o，AC=BC=2，AD为LCAB的平分线，BE丄AD交AD的延长线于点E，则AE=A B【答】.延长AC、BE交于点F，易证△BCF≌△ACD，∴CF=CD，BF=AD.第2页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）易证△ABE≌△AFE，∴AF=AB，BE=EF BF.∴CD=CF=AF_AC=AB__AC=2_2，2 2.已知a,b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则a的最大值为.【答】2.令x=0，得|b|≤1；令x=1，得|a+b|≤1.于是可得|a|=|(a+b)_b|≤|a+b|+|b|≤1+1=2，所以a≤2.又易知：a=2，b=_1时，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|2x__1|≤1成立.所以，a的最大值为2.3.设n是小于100的正整数且使2n2_3n__2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是.【答】1634.∵2n2_3n__2是6的倍数，∴2|(2n2_3n__2)，∴2|3n，∴2|n，设n=2m（m是正整数），则2n2_3n__2=8m2_6m__2=6m2_6m+2(m2_1).∵2n2_3n__2是6的倍数，∴m2_1是3的倍数，∴m=3k+1或m=3k+2，其中k是非负整数.∴n=2(3k+1)=6k+2或n=2(3k+2)=6k+4，其中k是非负整数.∴符合条件的所有正整数n的和是（2＋8＋14+…+86＋92＋98）＋（4＋10＋16+…+82＋88＋94）=1634.4.将数字1，2，3，……,34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为【答】63.设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A,B,C,D,E,F.因为A所在行前面需要填两个比A小的数字，所以A不小于3；因为B所在行前面需要填两个比B小的数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，所以B不小于6.同理可知：C不小于9,D不小于12,E不小于15,F不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A＋B＋C＋D＋E+F≥3+6+9+12+15+18=63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.123192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336第3页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A）卷第1题相同.2.题目和解答与（A）卷第2题相同.3．题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.5.|x__1|+|x__2|+|x__3|+|x__4|的最小值为()A.4.B.5.C.6.D.10.【答】A.|x__1|+|x__4|≥|(x__1)_(x__4)|=3，当1≤x≤4时取得等号；|x__2|+|x__3|≥|(x__2)_(x__3)|=1，当2≤x≤3时取得等号；因此，|x__1|+|x__2|+|x__3|+|x__4|≥3+1=4，当2≤x≤3时取得等号.所以，|x__1|+|x__2|+|x__3|+|x__4|的最小值为4.6.题目和解答与（A）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.设[x]表示不超过x的最大整数，则[1×2]+[2×3]+[3×4]++[100×101]的值为【答】5050.对于正整数n，显然有n n+1，所以n，所以[1×2]+[2×3]+[3×4]++[100×101]＝1＋2＋3+…+100＝5050.2.题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）求所有的两位数A，使得A2的末两位数字构成的数恰好为A.解设A=10a+b，其中a,b均为整数且1≤a≤9，0≤b≤9，则A2_A=(10a+b)2_(10a+b)=100a2+10a(2b__1)+b2_b.……………………5分由题意可知，A2_A的末两位数字均为0，所以b2_b=b(b__1)必为10的倍数，验证可知：只可能b＝5或6或0.……………………10分当b＝5时，A2_A=100a2+90a+20=100a2+100a+10(2_a)，只可能a=2，此时A＝25；当b＝6时，A2_A=100a2+110a+30=100a2+100a+10(3+a)，只可能a=7，此时A＝76；第4页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）当b＝0时，A2_A=100a2_10a，只可能a=0，不符合，舍去；综上所述，符合要求的两位数为25和76.……………………20分A E D C B二、（本题满分25分）在四边形ABCD中，AC=4，CD=3，LADB=LABD=LACD=45O，求BC.解在CD的延长线上取一点E，使LDAE=LCA，则LCAE=90O,又LACD=45O，∴LAED=45O，∴AE=AC.∵LADB=LABD=45O，∴AD=AB.……………………10分∵AE=AC，LDAE=LCAB，AD=AB，∴△EAD≌△CAB，∴BC D.在Rt△EAC中，AC=4，LAEC=45O，∴CE=42，∴ED=CE_CD BC.……………………25分三．（本题满分25分）已知实数a,b,c满足条件.求代数式的值.解……………………10分显然a,b,c互不相等，所以=(a__b)(c__a)+(a__b)(b__c)+(b__c)(c__a)=ac__a2_bc+ab+ab__ac__b2+bc+bc__ab__c2+ac结合①式得……………………25分第5页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）第二试（B）一、（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二、（本题满分25分）如图，过△ABC内一点P作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB=5，BC=7，AC=6，BE__AD=1，求AD+BE+CF.F P D A E B解设AD=x,BE=y,CF=z，则BD=5_x,CE=7_y,AF=6_z.C连接PA，PB和PC，在Rt△PBD和Rt△PBE中，由勾股定理可得BD2+PD2=PB2=BE2+PE2，即(5_x)2+PD2=y2+PE2，同理可得(7_y)2+PE2=z2+PF2，(6_z)2+PF2=x2+PD2.……………………15分将以上三式相加，得(5_x)2+(7_y)2+(6_z)2=x2+y2+z2，所以5x+7y+6z=55.又由已知条件得y__x=BE_AD=1，于是可得AD+BE+CF=x+y+z=1[(5x+7y+6z)_(y_x)]=1[55_1]=6.……………………25分6 6三、（本题满分25分）已知非零实数a,b,c满足a+b+c=2，求ab+bc+ca的值.解由3得a(1_a)2+b(1_b)2+c(1_c)2=3abc，整理即得(a+b+c)_2(a2+b2+c2)+a3+b3+c3_3abc=0①……………………10分设t=ab+bc+ca，则a2+b2+c2=(a+b+c)2_2(ab+bc+ca)=4_2t，a3+b3+c3_3abc=(a+b+c)[(a2+b2+c2)_(ab+bc+ca)]=2[(4_2t)_t]=2(4_3t)，①式即2_2(4_2t)+2(4_3t)=0，解得t=1，即ab+bc+ca＝1.……………………25分第6页（共6页）2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）。