高中物理强基计划特训-第13部分-相对论.docx

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高中物理强基计划-第13部分-相对论绝对的、真实的和数学的时间，尤其特性决定，自身均匀地流逝，与一切外在事物无关。绝对空间，其自身特性与一切外在事物无关，处处均匀，永不移动。——《自然哲学之数学原理》牛顿空间本身和时间本身将消失在完全的阴影中，只有它们之间的某种结合才将得以生存。——闵可夫斯基19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，即麦克斯韦电磁场方程组。麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数c=3.0×10°m/s,并很快为实验所证实。从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。如果光波也和声波一样，是靠一种媒质(以太)传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太学说的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。为了调和理论与实验的矛盾，爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚提出了“狭义相对论”。1、狭义相对论的基本原理1.狭义相对论的两条基本原理(1)相对性原理：所有惯性系都是平权的。在不同惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。即不能通过任何物理实验判断出所处惯性参考系的“绝对运动”。(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的(c=3×10°m/s),与光源、观察者的运动无关。2.异地同时性破坏这两条原理的贯彻，特别是"光速不变原理",对于我们看待时间、空间的看法有着革命性的影响。我们先来看一个例子：例如在某个站台的两端A、B设置管信号的发射器，我们希望它们同时闪光，可以预先用尺量出站台的中点C,并在C点设置接收器。如果C点的接收器同时接收到A、B发来的光信号(同一位置的同时性是很容易确定的),由于C到A、B的距离相同，光速又相同，我们就可以断言A、B同时发出了光信号如果恰好有一列火车它的车头和车尾分别记为A’和B’。列车沿着B→A方向驶来。为了确定A’A点重合与B’B点重合是否同时发生，我们可以在列车上设置机关，使A’与A、B’与B相遇时分别发出闪光。只要闪光同时到达C,就可以确认两个相遇事件同时发生。这种检验异地同时性的方法对所有惯性系都是成立的。在列车上的观察者也会主张只有上述的光信号同时到达列车的中点C’,两次相遇才是同时的。可是由于列车的中点C’向着A行驶，所以它将先接收到来自A’A的闪光。在地面上观察这是很正常的，因为光从A遇到C’所运行的距离小于光从B追上C’所运行的距离，光速又相同，所以C’自然先收到来自A’A的闪光。然而车上的观察者认为两边闪光运行的距离相同，光速也相同，C’先收到来自A’A的闪光的唯一解释只能是A’A的相遇事件发生在前。这就是说在列车上观察两次相遇不是同时发生的，A’与A先相遇然后B’与B相遇!上面这个例子说明在不同的参照系中人们对时间的描述也是不同的。在一个参照系里看来同时发生的事件在别的参照系里看来就变成不同时发生的了。时刻、时间的概念不再是脱离参照系独立存在的了。我们常说的：①“A与B相遇的瞬间(时刻)",②“A与B相遇到A与C相遇的过程中(时间)”都变得不再有意义。因为它们没有提及所依照的参考系是什么。2.事件为了精确地描述问题，我们把质点的运动拆解成一连串的“事件”。一个事件指某一时刻在空间某一位置发生了一件事。在某参考系中，一个事件对应着一个位置坐标和一个时刻坐标。在另外的参照系看来同一事件可能发生在不同的位置或时刻。所以定量表示事件必须说明相对哪个参考系。(1)过程一段过程由它的起始事件和结束事件来定义，例如“A与B相遇到A与C相遇”的过程，被划分为一连串事件。第一个事件是“A与B相遇”,最后一个事件是“A与C相遇”。(2)时间在某个参考系中观察，末事件的时刻减去初事件的时刻，就是此参考系中这两个事件间的时间。(3)距离两事件间的距离：在某个参考系中观察，两个事件位置差的绝对值，就是此参考系中这两个事件间的距离。两质点间的距离：两个质点a、b对应着两个系列的事件。在某个参照系中观察，同一时刻质点a对应事件的位置与质点b对应事件的位置差的绝对值，就是在此时刻该参考系中a、b两质点间的距离。例题精讲【例1】(1)火车上的乘客看到站台上警察开枪，子弹击中了一名嫌疑犯。这个过程应该划分为哪些事件?子弹飞行时间如何表示?警察到嫌疑犯的距离如何表示?(2)站台上的行人看到火车上有甲乙二人同时开枪，子弹都击中了对方。这个过程应该划分为哪些事件?两发子弹的飞行时间如何表示?甲乙二人的距离如何表示?【答案】略a、时钟减缓与空间收缩1.固有系按照相对论，各个惯性参考系都是平等的，在其中物理规律的形式都相同，仅仅是各物理量的测量值不同而已。为研究问题方便起见，我们按下述方法定义“固有系”:单一质点：相对某惯性参照系匀速运动的质点，自身也是惯性参照系。我们就称这个质点是它自身的“固有系”。在固有系中观察这个质点是静止的。两个事件：一般来说两个事件之间没有什么关联。假如可以找到一个惯性系，在其中观察这两个事件在同一地点发生(位置坐标相同),那么这个惯性系就称为这两个事件的“固有系”。注意：两个事件的固有系不一定存在。两个质点：一般来说两个质点之间没有什么关联。假如可以找到一个惯性系，在其中观察这两个质点都是静止的，那么这个惯性系就称为这两个质点的“固有系”。注意：两个质点的固有系不一定存在。有了固有系的概念我们就可以进而定义固有时间、长度与固有长度了：(1)固有时间在两个事件的固有系中测得的这两个事件的时刻差叫做这两个事件之间的“固有时间”。例如，一个钟表的示数差表示的就是这个钟表经历的固有时间。(2)长度与固有长度在某惯性系中测得的两个质点运动速度相同，则同一时刻它们之间位置差的绝对值叫做此时刻此参考系中的这两个质点之间的“长度”。在两个质点的固有系中测得的这两个质点的位置差的绝对值叫做这两个质点之间的“固有长度”。例如，一把尺子的刻度差表示的就是尺子上两点间的固有长度。2.钟慢效应在某惯性系K中测得两个事件的时间间隔为△t。假设这两个事件的固有系K’存在，且K’相对K具有速度v,测得这两个事件之间的固有时间为△t’。此二者的关系为：这种效应叫做“爱因斯坦延缓”,"时间膨胀",或“钟慢效应”。3.尺缩效应假设存在惯性系K,相对K两质点在运动方向的长度存在，记为L。这两质点的固有系K’相对K具有速度v,测得这两个质点在运动方向的固有长度为L。此二者的关系为：L=L√1-v²1c²这个结果说明运动物体(在K系中观察)在其运动方向上的长度比固有长度短。这种效应叫做“洛伦兹收缩",或“尺缩效应”。说明：尺缩效应只发生在物体运动的方向上。在与运动垂直的方向上，物体的长度看起来没有变化。****************************************************************************************证明钟慢效应假定列车(K’系)以匀速v相对于路基行驶，车厢里一边装有光源，紧挨着它有一标准钟。正对面放置一面反射镜M,可使横向发射的光脉冲原路返回。设车厢的宽度为b,则在光脉冲来回往返过程中，车上的钟走过的时间为△t’=2b/c。从路基(K系)的观点看，由于列车在行进，光线走的是锯齿形路径，光线“来回”一次的时间为：,解得注意，在两参考系中车厢的宽度b是一样的。由两式消去b,得△t和△t’之间的关系：证明尺缩效应为了在相对静止的参考系K’(固有系)内测量一直杆的长度，可在直杆的一端加一脉冲激光器和一接收器，另一端设一反射镜，如图所示。精密测得光束往返的时间间隔△t’后，即可得知直杆的长度L’=L₀=c△t/2。根据公式,从K系观测上述测量过程的时间间隔△t与在K’系观测的时间间隔△t’是可比的，式中v为直杆在K系中的速度。下面我们就来看，此测量过程在K系里是怎样表现的，并从中找到△t和L的关系。联立可得：因此，平面镜在K系中观测，光束往返的路径长度d₁和d₂是不等的，所需的时间△和△₂也不相等。设直杆以速度v沿自身长度的方向运动，它在时间间隔△t内走过距离v△,故d₁=L+v△,且△=d₁/c;同理有：d₂=L-v△t₂,且△t₂=d₂/c,。由于联立可得：,带入△t、△t’可得：L=L√1-v²1c²********************:a测量固有长度c返回的光程*****************************************************************【例2】如果要实现“天上一日，地下一年”,按照相对论钟慢效应计算，天上的神仙相对地面运动的速度是多少?【解析】天上的时间是“固有时”,记为△t’=ld。这个过程在地下看用时△t=365d。二者的关系为,其中v就是天上神仙相对地面的运动速度v=c√1-(△r/△),解得v=0.999996c【答案】0.999996c【例3】运动员沿直跑道匀速奔跑，速度大小为0.8c。跑道的起点和终点各有一位计时员，他们的表已经对准过了。运动员起跑的一瞬和起点的计时员一起看表，二人的表都显示0。等他冲过终点的瞬间又与终点的计时员一起看表。假如终点计时员的表显示为1秒，此刻运动员的表示数多少?【解析】以地面为参照系，起点和终点的计时员的表是对准的，可知从地面系观察运动员跑全程用时△t=1s。运动员参照系是这个问题的固有系，按照钟慢效应公式运动员的表显示这一过程用时△r(Ar’为固有时),则△r’=△√1-v²/c²=0.6s。过起点时运动员的表示数为0,所以到终点时运动员的表示数为0.6s。【答案】0.6s【例4】现有一个π介子，假设寿命(从产生到发生衰变的时间)为t。它在距地面H处产生，从一产生起就以0.8c向地面飞来。已知H>0.8cr。从地面上观察：请问这个π介子能否抵达地面?如果可能的话，抵达地面的条件是什么?【解析】“π介子的寿命为t”是以π介子自身为参照系观察到的，是固有时。当π介子对地以0.8c运动时，在地面上观察π介子的寿命为。所以在地面上观察π介子最远能运动的距离为0.8c×1.67t=1.33tc。所以只要H≤1.33cr,π介子就能到达地面。【答案】H≤1.33ct【例5】三体星系人从距离地球4.2光年的半人马星α出发，准备来毁灭人类。他们的速度达到了0.01c,那么：(1)在人类看来，他们多久到达地球?(2)他们自己觉得经过了多少时间?(3)人类是否有希望在这个时间里面开发出比他们先进的科技?【解析】(1)距离4.2光年是在地面系中测得的，三体星人的速度0.01c也是相对地面的。所以在人类看来(2)三体星人看来时间△r’是固有时，△r’=At√1-v²/c²=419.979年。【答案】(1)420年；(2)419.979年；(3)略。【例6】一枚竖直向上发射的火箭假设它本身的高度为10m,当火箭以相对地面0.8c向上运动的时候，它的长度在地面上看起来是多少?【解析】火箭本身的高度是固有长度。在地面上看其长度为10√1-v²/c²=6m。【答案】6m【例7】两个人，手里各拿一把尺子，静止长度都是L,尺子都水平方向放置。A静止在地面上，B匀速向右以速度0.8c水平运动。(1)那么B觉得A的运动状态是什么?(2)那么B看到A手中的尺子的长度是多少?(3)那么A看到B手中的尺子的长度是多少?(4)如果二人把尺子竖直放置，那么他们看到的对方手中的尺子的长度各是多少?【解析】(1)B觉得A向左以速度0.8c水平运动。(2)按照尺缩效应公式，B看到A手中的尺子的长度为L√1-v²/c²=0.6L。(3)按照尺缩效应公式，A看到B手中的尺子的长度为L√1-v²/c²=0.6L。(4)尺子与运动方向垂直时长度不随参照系变化，还是L。【答案】(1)0.8c向左；(2)0.6L;(3)0.6L;(4)都是L。【例8】一个圆柱体，横截面积为S,长度为L,均匀分布电荷，电荷密度为p。那么一个人沿着圆柱的对称轴匀速v运动，他看到的电荷密度是多少?【解析】总电荷量是不随参照系选择而改变的，Q=pLS。在人看来柱体沿轴线以速度v后退。柱体的横截面与其速度垂直，面积还是S。柱体的长度则变为L√1-v²/c²。在人看来电荷密度变【答案】【例9】现有一个π介子，假设寿命(从产生到发生衰变的时间)为t。它在距地面H处产生，从一产生起就以0.8c向地面飞来。已知H>0.8cr。在π介子自己看来：请问它能否抵达地面?如果可能的话，抵达地面的条件是什么?【解析】以π介子自身为参考系，其寿命为t。地面以0.8c向π介子飞来，地面到π介子的初始距离H’=H√1-v²/c²=0.6H。所以π介子到达地面的条件为：,即H≤1.33cr。【答案】H≤1.33ct 3、洛伦兹变换为了更进一步的研究“光速不变原理”的影响，我们仔细考察同一事件在不同参考系中测得的位置与时刻的数值关系。假设这样一个情景：有惯性系K和K’,在其上分别建立对应轴平行的直角坐标系。K’相对K沿着xx’方向以速度v匀速运动。并规定两个坐标系原点重合的时刻t=t’=0,如图所示。1.伽利略变换在旧的物理学观念里时间与观察者无关，这种观点下K系和K’系测得时刻、位置关系称为“伽利略变换":位置、时刻关系为：速度关系为：与与那么符合狭义相对论的位置时刻关系应到如何呢?2.洛伦兹变换伦兹变换：反变换：上式中引入了简略记号：,,r²(1-β²)=1,说明：我们可以清楚地看到在相对论中参照系K’中某事件发生的时刻值不仅与另一参考系K中观察到的时刻有关，还与该事件在K系中的位置有关。时间、空间完全纠缠在了一起，在相对论中我们认为事件是在“时空”这一整体中发生的。****************************************************************************洛伦兹变换的推导考虑某个事件A:在K系中观察它的坐标x=OA=OO+OA。其中OO’=vt;而OA为在K系中观察到的O’与A的距离，这个距离在K’系中为x’(对OA而言K’系是固有系),由于“尺缩效应”在K系中应有OA=x√1-v²/c²。所以x=vt+x’√1-v²/c²,解得.。如果A不在x、x’轴上，由于和相对运动垂直的方向上不发生“尺缩效应”,显然有y’=y,z’=z。由于“相对性原理”,上述分析也适用于从K’系到K系的反变换式。我们将变换式中带撇的量和不带撇的量对应互换(即在K’系中观察),并将参照系相对速度v换成-v(K系相对于K’系的速度,解得时刻的变换式为：为-v),就得到了位置的反变换式：联立变换式与反变换式有同样交换撇号并将v换成-v,又得到时刻的反变换式：****************************************************************************************【例10】一列火车以速度0.6c匀速通过站台。车上的乘客看到：站台上有一名警察，在和自己擦肩而过的时候向车行方向开枪射击，子弹出膛后相对火车不动，1s后击中站台上的疑犯。我们在火车和站台上分别建立直角坐标系。以车行方向为x与x’的正方向，以观察者和警察为原点，并以二人擦肩的时刻为两个参照系的计时起点。(1)以列车为参照系，写出开枪事件与击中事件发生的位置和时刻。(2)以站台为参照系，利用洛伦兹变换计算出开枪事件与击中事件发生的位置和时刻。(3)子弹飞行的时间在两个参照系里分别是多少?那个值是固有值?两个值得关系如何?(4)开枪时刻，警察和嫌疑犯之间的距离在两个参照系里分别是多少?哪个值是固有值?两个值的关系如何?【解析】(1)注意到子弹的速度和火车相同，以火车为参照系子弹是不动的，即两个事件发生的位置不变。依题意有：开枪事件：xr=0,#=0;击中事件：x+=0,φ=1.(2)以站台为新参照系，新系相对旧系沿xx’的方向以-0.6c运动(运动方向与轴正向相反)。代入洛伦兹变换有：v=-0.6c,β=-0.6,y=1.25。开枪事件：xm’=r(x-βct)=0,击中事件：xp’=γ(xφ-βet+)=0.75c,(3)子弹飞行的时间应该由某个考系中“开枪”、“击中”两个事件的时刻差来计算。在火车系中观察：t#=0,=1。子弹飞行时间为△t=1。在站台系中观察：t#’=0,t₄=1.25。子弹飞行时间为△=1.25。3火车系中子弹不动，可知火车系中的测量值为固有值。两者的关系为：符合钟慢效应。(4)警察与嫌疑犯的距离应该由某参照系中相同时刻两者的位置差来计算。在火车系中观察：“开枪”的瞬间警察位置为0,此刻的嫌犯还需1s才能到达观察者处，所以“开枪”的瞬间嫌疑犯的位置为0.6c。所以二人间距L=0.6c。在站台系中观察：警察与嫌疑犯均静止。“开枪”的瞬间警察的位置为0。嫌疑犯在“击中”的瞬间位置为0.75c,又因为他不动，可知“开枪”的瞬间嫌疑犯也在0.75c处。所以二人间距L=0.75c。站台系中警察与嫌疑犯不动，可知站台系中的测量值为固有值。两者的关系为：L=L√1-v²1C²,符合尺缩效应。【答案】见解析【例11】固定在地面上的两激光器A和B相距为lo,有大木板平行贴近地面以速度v=0.6c相对地面沿AB连线方向高速运动。地面参考系某时刻，两激光器同时发射激光在运动木板上形成点状灼痕A’和B’。此后，让大木板缓慢减速至静止后，测量两灼痕的间距为l=6。随原木板高速运动的惯性参考系的观察者认为，两束激光不是同时发出的，应存在发射时间差【解析】以地面为参考系，灼痕间距为lo。由于尺缩效应，木板上的灼痕间距(相对木板静止时观察为l)看起来缩短了，关系为：,解得l=1.251。假设木板沿A→B运动，在木板参考系的观察者在A’点观察，激光在A’点灼上痕迹的时刻为t’=0,则根据洛伦兹变,因此换可得，该观察者观察B’灼上痕迹的时刻为：【答案】1.25,****************************************************************************************补充：下面补充两道题，都是利用洛伦兹变换解释钟慢效应里到底是哪个钟慢了，以及尺缩效应中到底是哪个尺缩了的问题。解题过程比较复杂。【补充1】一列火车以速度0.6c匀速通过站台不停车。站台两端分别放置了校准的钟A B。火车车头也有一只钟，车头进站的瞬间车头的钟与A钟都显示0。等车头出站时与站台另一端的B钟比较，由于钟慢效应车上的钟走得较慢。(1)求两钟的示数比是多少?(2)在车上的人看来第二次比较的结果也是车上的钟示数小。而在他看来应该是站台在运动，由于钟慢效应，应该是站台上的钟走得慢。这一矛盾如何解释?提示：考虑A、B是如何校准的?这个过程在车上人看来如何?【解析】(1)对火车运动这个问题，火车本身是固有系，其上的钟表显示的是固有时△t’,它与站台上的B钟显示时间为△t。二者的比例为(2)在火车参照系中看来，AB两个钟并没有对准，即车上的观察者认为车头与A钟相遇时B钟并不是都指示0。按照光信号对钟的方法，车上的观察者认为B钟超前，即车头与A钟相遇时B钟已显示一个正时刻t。所以虽然车头与B钟相遇时B钟的示数大，但是在车上的观察者看来B钟走过的时间却比车头的钟短。可以算出比例仍符合钟慢效应。以车头和站台A点为各自坐标原点，以车行方向为正，并以车头经过A点为各自计时起点。以火车为参考系：车头与A点相遇时，B所处的事件表示为,ta’=0;按照洛伦兹变换公式推出在地面系中B处钟表的示数i。其余各数按尺缩、钟慢公式填好即可，地面系K。