第37届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答.docx

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第37届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、（1）依题意，空气弹簧主气室对簧上负载竖直向上的作用力为F=(p1_p0)Ae①式中，p1是主气室内空气的压强。当空气弹簧承受的负载发生变化时，主气室内气体的压强p1和体积V1均会发生变化。为了统一处理题给的两种情形，考虑气体压强和体积变化的过程方程为p1V1n=常量②式中，n是常数。①式左右两边对空气弹簧承载面的竖直位移y微商，可知空气弹簧的劲度系数K满足③②式左右两边对y微商得④由题意知，空气弹簧主气室内体积V1和有效承载面积Ae相对于平衡位置的竖直位移的变化率为⑤联立①③④⑤式得，空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为⑥在高铁上下乘客的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足等温过程n=1⑦由⑥⑦式得⑧在列车运行中遇到强烈颠簸的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程n=V⑨式中，V是空气的定压摩尔热容Cp与定容摩尔热容CV之比⑩由⑥⑨式得⑩（2）主气室连通附加气室后，如果车辆振动频率较低，例如情形i），空气弹簧变形较慢，可认为在任意瞬间，空气弹簧主气室的压强与附加气室的压强相同，两气室间的压强差可视为零。两气室的空气作为一个整体，经历等温过程。空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系对于情形ii），车辆系统的振动频率较高，空气弹簧主气室内部的压力和体积变化较快，主气室与附加气室之间来不及进行气体流动，此时空气弹簧的容积相当于主气室容积单独作用，经历绝热过程。空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为⑬二、（1）对击球过程应用刚体质心运动的动量定理，有P=mu0_0①式中，u0是击打结束后的瞬间母球质心的速度（与冲量P同向）。母球受到的相对于其质心的冲量矩为②对击球过程应用刚体转动的角动量定理有J=I⑴0_0③式中，⑴0是在击打结束后的瞬间母球的转动角速度。母球的转动惯量为④在击球结束后的瞬间，母球上与桌面相接触的点A的速度为vA=u0_R⑴0⑤由①②③④⑤式可知，在击球结束的瞬间，母球上A点的速度为⑥A点沿着x轴（取x轴正向与P同向）负方向滑动。小球受到沿x轴正方向的摩擦力Ff为Ff=μmg⑦在击球结束后的时刻t，应用刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有mu=Ff⑧I⑴=_μmgR⑨式中，取⑴与⑴0同向为正。由①①②③④⑧⑨式可知，t时刻母球质心的速度和绕质心转动的角速度分别为u(t)=u0+ut=u0+μgt⑩⑪在t时刻，A点的速度为⑩由⑩式可知，接触点A的速度随时间的增加逐渐由负值变为vA(t0)=0时，母球开始做纯滚动。由上式和⑩式得，母球被击打后经过时间开始做纯滚动，此时母球球心C的速度为（2）由纯滚动条件知，在任意时刻t,>0，水平滚动距离等于B点（此点就是在击球结束后的瞬间母球上与桌面相接触的点A）从时刻t,=0到时刻t,经过的弧长，该弧长对应的圆心角为⑩B点在时刻t,的位置为⑩yB=R=RO这里，以B点在t,=0的位置为坐标原点，x轴与P同向，y轴正向竖直向上。⑩O式两边对时间求导得，B点速度分量为vBx=uc=uc B点速度的大小为设B点速度的方向与水平方向的夹角为“，则故将B点速度分量对时间求导得，B点的加速度分量为加速度大小为aB⑩方向指向母球球心C。三、（1）左侧回路电势之和为零，有①题给的i(t)的一般形式是i(t)=α1eβ1t+α2eβ2t②由初始条件有③由③式知α1≠0,α2≠0.④将②式代入①式得得两边对t微商得不失普遍性，可设β1≠β2（因为β1=β2可视为β1≠β2但β1→β2的极限情形）。上式对任意的时刻t都等于零；因而，各指数项的系数均应为零，即⑤解得⑥另一种选择β1=β_、β2=β+导致同样的结果。由③⑥式得⑦由②⑥⑦式得（2）要在左侧回路中产生谐振（即电流i(t)持续等幅振荡），须使电路的能量不随时间耗损，同时电流随时间期性变化。因而有注意，⑨式第一式直接导致⑨式第二式。所以，⑨式第一式是此电路发生谐振的条件。由⑧式和⑨式第一式得iH sin⑩谐振频率为（3）要在左侧回路中产生RLC阻尼振荡（即电流i(t)振幅随时间t衰减），须使电路的能量不断随时间耗损，同时电流随时间周期性变化。因而有R_R0>0⑩®由⑩®式得这是电路发生阻尼振荡的条件。由⑧④式得⑩振荡频率为（4）若要使得隧道二极管上交流部分的平均功率最大，同时又要确保隧道二极管始终工作在负电阻区域，则须使隧道二极管上的直流偏置电压处在工作电压范围的中间位置O此时的交流部分电压可达到最大振幅考虑到右侧回路中电压源为理想恒压电源，且理想的高频扼流圈RFC的直流电阻为零，由回路电势之和为零可知此时，隧道二极管交流部分的最大平均功率为四、（1）设带电粒子运动的速度为v，均匀磁场的磁感应强度为B，由相对论粒子运动方程有式中pp是质子的动量，e为质子的电量。不计辐射能量损失，质子仅受到磁场作用，有将②式代入①式，有mp dv=evB 1_dt将③式代入④式得[解法（二）不计辐射的能量损失，带电粒子的粒子动量的大小不随时间变化，有⑴xpp=e(⑴x R)xB=e⑴BR=e⑴x(RxB)式中⑴是粒子转动的角速度，满足v=⑴x R由①②式得⑴xpp=⑴x(RxB)由题意，pp和RxB都与⑴垂直，故有pp=eR xB两边取数值即有]⑩①②③④⑤②③④⑤Tevatron加速器中粒子运行轨道的半径R满足L R≥max⑥2π由⑤⑥式得⑦由狭义相对论中粒子的能量-动量关系有Ep(2)=pp(2)c2+mp(2)c4⑧于是，将质子p加速到Ep(max(evat)ron)=1.00×106 MeV所需要的最小磁感强度Bmin为（2）考虑多粒子系统洛仑兹不变质量M的平方。对于反应前（相应的量不带撇）实验室参考系中的粒子体系M2三mp+2m⑩式中，E1和p1分别表示实验室参考系中反应前入射质子的能量和动量；对于反应后（相应的量带撇）质心参考系中的粒子体系M2三Et,(cm)_0≥(4mp)2⑪式中Et,(cm)是反应后质心参考系中的粒子体系的总能量，已利用质心参考系中总动量等于零的事实。[解法（二）在实验室系中，反应前（相应的量不带撇）后（相应的量带撇）能量守恒⑩式中，pt,表示反应末态粒子的总动量；反应前后动量守恒,p1=pt⑪]由相对论能量-动量关系，有E1(2)=p1(2)c2+(mpc2)2⑩由⑩⑪⑩式得⑬入射质子的动能为E1k≥7mpc2_mpc2=6mpc2≈5629.8 MeV⑭能产生反质子时入射质子的最小动能E1k,min=5629.8 MeV，相应于入射质子的最小能量E1,min=6568.1 MeV。Tevatron能加速质子的最大能量⑮Ep(max(evat)ron)=1.00×106 MeV>E1,min≈6568.1 MeV即Tevatron可以通过加速质子轰击静止的靶质子而产生反质子。五、（1）光信号从飞行器甲发出到返回甲，从惯性系Σ中的观测者来看，所需时间为①(Δt光信号)Σ=(Δt光信号)甲=35(Δt光信号)甲=35 T 1-v甲(2)5 5根据狭义相对论速度合成法则，飞行器甲相对于飞行器乙的速度为c 2c c v甲Σ+vΣ乙1+v甲2(v)Σ乙-3 c 7 3 3 3 v甲Σ+(-v乙Σ)v甲Σ(-v乙Σ)v甲乙=====②1+|((-|1-2 9 c 1+2式中，最后的等号右边的负号表示飞行器甲相对于乙的速度沿y轴负方向，余类推。从飞行器乙上的观测者来看，光信号从飞行器甲发出到返回甲所需时间为(Δt光信号)甲1-v甲(2)2乙7 10(Δt光信号)乙7 10=T 20==20(Δt光信号)甲c从飞行器甲上的观测者来看，飞行器甲收到返回的光信号时，飞行器甲和乙间的距离为l=(c(Δt光信号)甲-v乙甲(Δt光信号)甲)=c(Δt光信号)甲=cT从甲收到返回的光信号到甲追上乙所需的时间为③④⑤（2）考虑小货物在惯性系Σ中的速度。为了让小货物能被飞行器丙收到，小货物速度的y分量应该与飞行器丙相同，即据题意，小货物在惯性系Σ中的速度大小为v货Σ=3c/4。小货物速度的x分量为由题意，这里取正号。惯性系Σ相对于飞行器甲的速度为根据狭义相对论速度合成法则，从飞行器甲上的观察者来看，小货物速度的两个分量分别为c⑨c⑩已利用了⑥⑦⑧式。从飞行器甲上的观测者来看，小货物发射速度的大小为①发射方向与飞行器甲的运动方向之间的夹角θ为arctan arctan rad=169o⑩回到参考系Σ,货物从发送到接收所用的时间为⑩货物在y方向上的位移为④从飞行器乙上的观测者来看，设货物从发送到接收的时间为(Δt货)乙，由洛伦兹变换公式得⑩六、（1）设光在光纤端口以角度i入射到内层介质，折射角为i,，进而以入射角i,,入射到内外层分界面上，如解题图6a所示。由折射定律得n0 sini=n1 sini’①为了使光能在光纤内传输（全反射），应有i,,≥ic②式中，ic是内层介质（相对于外层介质）的全反射的临界角，它满足解题图6a③由几何关系有④由①②③④式得即（2）当圆环形陀螺仪沿逆时针方向以角速度Ω转动时，其环路切向线速率为ΩR，由狭义相对论速度变换公式知，沿逆时针和顺时针方向传播的光相对实验室参照系的线速率分别为式中，n1为光传播所通过的介质的折射率。设沿逆时针和顺时针方向传播的光绕行N周回到出发点所需要的时间为tCCW和tCW，它们分别由以下方程决定vCCWtCCW=N2πR+ΩRtCCW⑧vCWtCW=N2πR_ΩRtCW⑨由⑧⑨式得⑩①沿逆时针和顺时针方向传播的这两束光的相差为⑩从⑩式可看出，相差Δφ与介质的折射率n1无关。（3）在旋转的环形腔中，存在沿逆时针方向和顺时针方向传播的共振模式。沿顺时针和逆时针方向传播的共振光波的波长满足以下条件（用m表示谐振波的级次）这里，LCW、LCCW分别表示在环形腔旋转的情况下沿顺时针和逆时针方向传播的两共振光波的波前从分束器A发出又回到A所经过的路程，即LCW=vCWtCW⑩LCCW=vCCWtCCW⑩由⑥⑦⑧⑨⑩①式，并（由题意）取N=1及n1=n，可得O⑩由®④⑩⑩O⑩式得，沿顺时针和逆时针方向传播的同一级次（m相同）的两个共振模式之间的频率差为fCW_fCCW即⑩七、（1）描述转动体系辐射的三个物理量可选为系统的转动惯量I、转动角速度⑴和辐射引力波的传播速度c。引力波辐射功率的表达式可表示为P=αGIλ⑴ξcσ①式中α是无量纲的比例系数，λ、ξ、σ是待定幂次。比较①式两边物理量的量纲，有[P]=ML2T_3=Mλ_1L2λ+σ+3T_ξ_σ_2②由②式得③由方程组③解得λ=2，ξ=6，σ=_5④将④式代入①式得⑤（2）两黑洞绕系统质心做近似圆周运动，设质量为M和m的两黑洞相距L，到系统质心的距离分别为R和r，由牛顿引力定律有⑥⑦由⑥⑦式得⑧系统总能量为⑨由⑨式得，引力波辐射功率P满足⑩系统对其质心的转动惯量为①由⑤⑧①式得⑩比较⑩⑩式得对上式两边积分®可得④对积分，并利用④式得⑩式中θ0=θ(t=0)。两黑洞从t=0时刻开始绕质心旋转一圈θ=θ0+2π将上式代入⑩式，并利用⑧式消去⑴0，得⑩（3）由⑧④式得O当L L0时，由⑧O式得⑩由⑩⑩式得，相应的旋转度数为⑩八、（1）当一束线偏振光沿x3轴进入晶体，且沿x1方向偏振时，进入晶体后可以分解为沿x19和x29方向的两个垂直偏振分量。据题给的折射率与电场强度的关系，相应的相位变化量为①②这两束光穿过晶体后的相位差为③式中V=El。入射光强为Ii=k E 2=k(Ex19 2+Ex29 2)=2kE0(2)④式中k是与电场强度无关的常量。当光通过长度为l的晶体后，在输出面的x19与x29方向上的电场为⑤出射光强为If=k E(l)2=k(Ex19(l)2+Ex29(l)2)=2kE0(2)=Ii⑥可见，当光通过长度为l的晶体后，光强未变。由半波电压Vπ的定义有⑦由⑦式得⑧（2）不经过1/4波片，从P2射出的光场强度为x19与x29的x2分量之和⑨输出光强为⑩由③④⑧⑩式得，当πVm<<1，光强的透过率为2Vπ⑩T与V2=(Vm sin⑴mt)2成正比。加上1/4波片，x19与x29传输的光波分量之间有一个固定的π/2相位差，由①式有T与V=Vm sin⑴mt成线性关系。可见，未加1/4波片时，光强的透过率与调制电压信号V=Vm sin⑴mt呈非线性关系；添加1/4波片的作用是保证系统的工作电压处于线性工作区域，使得光强的透过率和调制电压信号V=Vm sin⑴mt呈现线性关系。（3）实际加载至电光晶体上的电压Vc为®由®式得，Vc的模为④当⑴m>>(RmC)_1时，Vc<<V电压基本上落在Rm上，电光晶体调制效率极低。（4）并联电感L和分流电阻RL（即将图8b中的开关都闭合）后，调制器系统的有效阻抗满足⑩由⑩式得⑩由⑩式可知，当⑴m=1/LC，调制器阻抗为最大值Zmax=RL O因此，可通过调节电感来使得调制器阻抗达到最大值。特别的，当RL>>Rm时有Vc≈V⑩调制电压绝大部分加在在晶体上，从而保证了调制效率。