2015年全国初中数学联赛初一解析浙江卷.docx

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2015年全国初中数学联合竞赛初一试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若实数a,b满足a+2b+a2+4=4a，则(a+b)2015=()A.-1 B.0 C.1 D.2015【答】C.由条件，a+2b+(a-2)2=0，所以，b=0→所以，(a+b)2015=1 2.如图所示，LA=70,LB=30,LC=50,LD=110,则LCEB=()A.70 B.80 C.90 D.110【答】B.因为，LA+LD=180。所以，AB//CD如图，过E作AB的平行线l所以，l//AB,l//CD所以，LBEC=L1+L2=LABE+LECD=30。+50。=80。3.若实数a满足a2_3a_1=0，则a3_10a=()A._12 B._3 C.0 D.3【答】D.因为，a2_3a_1=0；所以，a2=3a+1，所以，a3=3a2+a所以，a3_10a=3a2_9a=3(a2_3a)=3。4.如图所示，LAOC=50,LBOD=80,LCOD=2LAOB，则LBOC=()A．15 B．20 C．25 D．30【答】B。设LAOB=α,LBOC=β所以，LCOD=2α,所以，5.在一年的某月里，周五、周六出现的天数比周日多，周一、周二、周三、周四出现的天数不超过周日，则该月份一定不是()A.三月B.四月C.六月D.十一月【答】A。每个月的后28天，周一至周日出现的天数相同，因此在这28天之外只能出现周五和周六，故这个月有30天6．设M，则100M最接近哪个整数()A．10 B.11 C.12 D.13【答】B.因为所以，M因为，所以，100M最接近整数11.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．若两个不等实数a,b满足a2=b+2,b2=a+2，则a+b=．【答】_1由条件，a2_b2=(b+2)_(a+2)所以，a2_b2+a_b=0，所以，(a_b).(a+b+1)=0又a≠b所以，a+b+1=0→a+b=_1 8.有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成.甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙3天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的倍.7【答】3。设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程。所以，作差得，所以，7所以，甲的工作效率是乙的3倍。9.若x为实数，则代数式x_1+2x_1+x_2+x_3最小值为.【答】4.设数轴上数x对应点P∴原式=2|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=(|PA|+|PD|)+(|PA|+|PC|)+|PB|≥|AD|+|AC|=4∴当P在B点即x=1时，原式有最小值4.10．若正整数n有6个正约数（包括1和本身），称其为“好数”，则不超过50的好数有个．【答】8.∵n有6个正约数故n的标准质因数分解式为n=P5或n=pq2（p、q为素数，(p,q)=1）若n=p5，由n≤50知25若n=p.q2，则n=2.32,2.52 3.22,5.22,5.32,7.22,11.22∴“好数”共有8个。第二试一、（本题满分20分）定义运算*:x*y=ax+y+bxy，且2*3=13,3*4=22.若非负整数m,n满足m*n=17，求m和n的值.解由条件··············5分解得··············10分∴x*y=2x+y+xy∴2m+n+mn=17∴(m+1).(n+2)=19···············15分结合m、n为非负整数知∴m=0,n=17··············20分b d.二、（本题满分25分）正整数a,b,c,d满足1≤a≤b≤c≤d≤9，求a+c的最小值解∵a≥1，∵d 1 b≥+10分··············b 9而··············20分当a=1,d=9,b=c=3时原式取最小值。··············25分三、（本题满分25分）设实数x1,x2,...,xn(n≥4)的绝对值均为1，且x1 x2 x3 x4+x2 x3 x4 x5+...+xnx1 x2 x3=1，求证：4 n一1.证明∵x1,x2,,xn绝对值均为1∴x1x2x3x4,x2x3x4x5,,xnx1x2x3这n个数均为1或一1，设a个为1，b个为一1，∴a+b=n由条件，a_b=1（*）10分又(x1x2x3x4).(x2x3x4x5)(xnx1x2x3)=x1(4)x2(4)x=1∴1a.(_1)b=1∴b为偶数。20分设b=2k，由(*)知a=2k+1∴a+b=4k+1，故4|n_1·············25分。