第28届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考解答.doc

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第28届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考解答一．（15分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B两点，导轨直径，AB与竖直方向间的夹角为，在导轨上套一质量为的光滑小圆环．一劲度系数为的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系于A、B两点，如图所示．当圆环位于A点正下方C点时，弹性绳刚好为原长．现将圆环从点无初速度释放，圆环在时刻t运动到点，与半径的夹角为．重力加速度为g．试分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：1．；2．．参考解答：1．设弹性绳在时刻t的伸长量为,弹性绳的张力为,小圆环下降的高度为．当时，小圆环受到导轨的正压力N、竖直向下重力mg和弹性绳的沿和两个方向的张力，见图1．根据几何关系有图1这说明绳是张紧的．（2）根据牛顿运动定律，这时有(3)式中，是小圆环此刻运动速度的大小．小圆环在下降过程中机械能守恒（4）根据胡克定律有（5）由以上各式得（6）2．当时，弹性绳的伸长量为（7）弹性绳处于松弛状态,，小圆环受力如图2所示．根据牛顿运动定律有图2（8）整个过程机械能守恒，有(9)由几何关系得（10）由（8）、（9）、（10）式得(11)评分标准：本题15分．第一问8分，（1）（2）式各1分,（3）式2分，（4）（5）式各1分，（6）式2分；第二问7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）（10）式各1分，（11）式2分．二．（15分）如图，在水平地面上有一质量为、长度为的小车．车内两端靠近底部处分别固定两个轻弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为和，劲度系数分别为和；两弹簧的另一端前分别放着一质量为、的小球，弹簧与小球都不相连．开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长．现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短．已知所有接触都是光滑的；从释放小球1至弹簧2达到最大压缩量时，小车移动了距离．试求开始时弹簧1的长度和后来弹簧2所达到的最大压缩量．参考解答：以地面为参考系，取水平向左为轴正方向．由题意．在小球1从释放至运动到与小球2刚好接触的过程中，小球1、2与小车作为一个整体，总能量与总动量守恒，故（1）（2）式中，和分别表示在小球1、2刚好接触时小球1和小车的运动速率．考虑从小球1和2相碰至两小球合为一体时的碰撞过程．由于碰撞时间极短，弹簧2还没有来得及被压缩，可忽略弹簧2的弹力．此过程中，小球1和2作为一个整体动量守恒，故（3）式中，表示在碰后的瞬间小球1和2的共同速率．当弹簧2达到最大压缩时，小球1、2与小车三者相对静止，由动量守恒与系统总动量为零可知，这时小车相对于地面的速度为零．在从小球1和2刚合为一体时至弹簧2达到最大压缩的过程中，系统能量守恒，故（4）联立（1）至（4）式得（5）考虑从小球1释放至弹簧2达到最大压缩的全过程．小球、弹簧及小车作为一个整体，所受到的合外力为零，系统质心的位置在整个过程中应当保持不变，即（6）联立（5）和（6）式得（7）（8）评分标准：本题15分．（1）（2）（3）（4）式各2分，（6）式3分，（7）（8）式各2分．地球转移轨道三．（20分）某空间站A绕地球作圆周运动，轨道半径为．一人造地球卫星B在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为，A和B均沿逆时针方向运行．现从空间站上发射一飞船(对空间站无反冲)前去回收该卫星．为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行．往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且其近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的圆轨道上，如图所示．已知地球半径，地球表面重力加速度．试求：1．飞船离开空间站A进入椭圆转移轨道所必需的速率增量，若飞船在远地点恰与卫星B相遇，为了实现无相对运动的捕获,飞船所需的速率增量．2．按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A至少需绕地球转过的角度．忽略飞船在变轨过程中所用的短暂时间及在此相应时间内绕地球转过的角度．参考解答：1．设空间站A和卫星B的速度大小分别为和，则由牛顿引力定律得（1）（2）式中，m和M分别是飞船和地球的质量，和分别是地球表面上的某一物体的质量和重力加速度．由（1）和（2）式得（3）同理有（4）飞船进入椭圆转移轨道后，其机械能为（5）式中，2a是椭圆轨道的长轴．由几何关系有（6）设飞船在近地点和远地点处的速度大小分别为和，则（7）由（1）和（7）式得（8）同理，有（9）由(3)、（8）式和题给条件得=735m/s（10）由(4)、（9）式和题给条件得=664m/s（11）2．设空间站A、卫星B和飞船的运动周期分别为TA、TB和T，根据开普勒第三定律有O图1（12）式中（13）飞船从A到B过程所用的时间为（14）经时间和无相对运动的捕获后,飞船和卫星B同时到达远地点N并开始以相同速率和半径作圆周运动，此时空间站A绕地球转过角度，位置如图1所示,且（15）可见，飞船经历了椭圆轨道半个周期后,空间站A相对于飞船超前了（16）O图2如果想选择一个合适的时刻，开始使捕获了卫星的飞船经短暂减速后，沿同样形状的椭圆轨道在近地点M和空间站A相遇,如图2所示；则A与飞船必须处于这样的相对位置，即空间站A须超前飞船（17）设从飞船捕获了卫星时刻算起，经时间后运动到上述相对位置,则应满足（18）由(3)、（12）、（13）、（15）、（17）和（18）式得（19）由(3)、（12）、（13）、（14）和（19）式得，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间为（20）空间站A绕地球转过的相应的角度为（21）评分标准：本题20分．第一问10分，（1）（2）（5）（6）式各1分，（7）（10）（11）式各2分；第二问10分，（12）（13）（14）式各1分，（18）式3分，（20）（21）式各2分．四．（15分）摩尔质量为的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管，导管内横截面的面积为S．1摩尔绝对温度为的该气体的内能为，式中为普适气体常量．1．将一加热装置固定放置在管的中部，以恒定功率给气体加热，如图1所示．假设该装置对气流的阻力可忽略．当气流稳定后，管中气体虽然在加热装置附近的状态不均匀,但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋于均匀．在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为，温度为,向右流动的速度为．已知加热装置右边均匀稳流区域中气体的压强为，试求该区域气体的温度．加热装置图1 2．现将管中的加热装置换成一多孔塞，如图2所示．在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别是和，向右流动的速度为；多孔塞右边气体的压强为（）．假设气体在经过多孔塞的过程中与多孔塞没有任何形式的能量交换，求多孔塞右边气体的流速．多孔塞图2参考解答：1．考虑管的横截面和之间的气体,其中横截面和都位于气体的均匀稳流区域内；经过时间，该气体的左右边界分别运动到管的横截面和处,如图1所示．适当选取时间间隔的长短，可使得横截面位于气体的均匀稳流区域内．因而，和区域内各点均在气体的均匀稳流区域内．设加热装置右方均匀稳流区域内气体的流速为．根据功能原理有（1）加热装置图1式中,表示气体在区域内和在区域内两种情形下能量之差．考虑到在稳定状态下，气体在两区域和的公共区域中的能量相同；应当等于处于区域和中的气体的能量之差（2）式中,为范围内气体的质量．由于气体在从区域运动到区域的过程中，质量不变，在范围内气体的质量也等于．由理想气体状态方程有（3）（4）联立（1）、（2）、（3）和（4）式得（5）其解为（6）负根不合题意，已舍去．2．考虑管的横截面和之间的气体,经过时间，该气体的左右边界分别运动到管的横截面和处,如图2所示．多孔塞图2根据功能原理有（7）式中,为范围内气体的质量．由于气体在从区域运动到区域的过程中，质量不变，在范围内气体的质量也等于．由理想气体状态方程有（8）（9）由（7）、（8）和（9）式得（10）其解为（11）负根不合题意，已舍去．评分标准：本题15分．第一问8分，（1）（2）式各2分，（3）（4）（5）（6）式各1分；第二问7分，（7）式3分，（8）（9）（10）（11）式各1分．A B Cα五．（15分）如图，一个三棱镜ABC的顶角小于90o．假设光线在纸面内以任意入射角入射到AB面上的D点，经一次折射后，又入射到AC面上，且都能在AC面上发生全反射．已知光线在AC面上发生全反射的临界角为（），AC边足够长．试在下列两种情形下分别求三棱镜顶角的取值范围：1．如果光线仅从AB面上法线的下方入射；2．如果光线仅从AB面上法线的上方入射．参考解答（一）：1．考虑光线仅从AB面上法线下方入射,如图1所示，在AB面上发生折射，根据折射定律有（1）A B C i0 r i1 D Eα图1式中，和分别是光线在AB面上的入射角和折射角，n是棱镜的折射率．在AC面上发生全反射应满足（2）式中，是光线在AC面上的入射角．在中有由此可得（3）将（3）式代入（2）式有（4）因为、都为锐角，结合（1）式，利用三角函数关系得（5）对（5）式两边平方得（6）上式取等号时的解为或（7）式中，已利用了由于，（6）式的解应满足(8)从（8）式可看出，当光线仅从AB面上法线的下方入射时，为了使入射角取任意值时，光线在AC面上都发生全反射，三棱镜顶角的取值范围为（9）2．考虑光线仅从AB面上法线的上方入射，如图2所示．根据几何关系得A B C i0 i1αr图2（10）在AC面上发生全反射应满足（11）采用1中相同的方法可得（12）上式取等号时的解为或（13）由于，（12）式的解应满足（14）从（14）式可看出（15）A B C图3当光线仅从AB面上法线的上方入射时，我们还必须保证光线以任意入射角入射到AB面上，经一次折射后，能入射到AC面上的条件．为此，让光线沿AB面掠入射到D点（）发生折射，如图3所示．容易看出，当且仅当（16）时，折射光线才能射到AC面上．联立条件（15）和（16）式得这与题设条件一致．由（15）和（16）式知，当光线仅从AB面上法线的上方入射时，为了使入射角取任意值时，光线在AC面上都发生全反射，三棱镜顶角的取值范围为（17）评分标准：本题15分．第一问7分，（1）（2）（3）（6）（8）式各1分，（9）式2分；第二问8分，（10）（11）（12）（14）式各1分，（15）（16）式各2分．参考解答（二）：1．考虑光线仅从AB面上法线的下方入射．先考虑沿AB面掠入射的光线，此时的折射角即为全反射临界角图1 A B C E（1）如图1所示．如果此光线在AC面上能发生全反射，则此光线在AC面上的入射角应当满足（2）在中有由此可得（3）由（1）、（2）和（3）式得（4）图2 A B C E再考虑垂直于AB面入射的光线，如图2所示．如果此光线在AC面上能发生全反射，则此光线在AC面上的入射角应当满足（5）在中有由此可得（6）由（5）和（6）式得（7）由（4）和（7）式可看出，当光线仅从AB面上法线的下方入射时，为了使入射角取任意值时，光线在AC面上都发生全反射，三棱镜顶角的取值范围为（8）2．考虑光线仅从AB面上法线的上方入射．考虑沿AB面掠入射的光线，此时的折射角即为全反射临界角（9）图3 A B C E如图3所示．如果此光线能与AC面相交，则（10）由图3从几何关系可知（11）可见此光线能在AC面上发生全反射．由（7）和（10）式得，当光线仅从AB面上法线的上方入射时，为了使入射角取任意值时，光线在AC面上都发生全反射，三棱镜顶角的取值范围为（12）评分标准：本题15分．第一问9分，（1）（2）（3）式各1分，（4）式2分，（5）（6）式各1分，（7）式2分；第二问6分，（9）式1分，（10）式2分，(11)式2分，得出（12）式中下限的再给1分．六．（20分）一电荷量为的点电荷产生的电场在距离它为处的电场强度的大小为，式中为常量；一条长直导线中通有电流时，它所产生的磁场在与导线相距为r(远小于长直导线的长度)处的磁感应强度的大小为，式中也为常量．上述两常量比值的平方根可用如图所示的实验装置，通过低频（约几百Hz）的电场和磁场来测定．图中A、B表示水平放置的、电容为的平行板电容器的极板，极板为正方形，边长为(极板间距远小于)．极板B固定，极板A悬挂在天平臂一端的挂钩上．M、N为两根水平放置的平行长直金属细杆，长度均为，两杆间的距离为()．杆N固定，杆M悬挂于天平臂的另一端挂钩上．为一个已知电容器的电容，K是电键．交流电源的电压u与时间t的关系为，其中f表示交流电的频率．各部分通过导线如图连接．己知在电键K打开时，天平已调节至平衡．接通电源后，天平将失去平衡．通过调节交流电源的频率，可使天平重新达到平衡（注意：由于天平具有惯性，实际上是交流电的平均效果使天平平衡）．试求的表达式．图中的双线可视为刚性绝缘杆，单实线为导线，曲线表示柔软无质量的导线．不考虑电场、磁场的边缘效应．不考虑导线磁场对M和N的影响．参考解答：根据题意可知，通电后天平失去平衡，是由于电容器的极板B对极板A的静电力与长直金属杆N对M的磁力不相等的结果．先考察极板A受到的静电力．当电源的电压为时，极板上的电量为(1)不考虑边缘效应，平板电容器的电容为(2)式中，是平板电容器的极板间距．电容器中电场强度的大小为(3)由(1)、(2)和(3)式得(4)由对称性和场强叠加原理可知，极板B上的电荷单独产生的电场强度的大小(5)极板A受到的静电力的大小为(6)方向向下。由(4)、(5)和(6)式得(7)利用(1)式，(7)式可表示为即(8)再考察金属杆M受到的磁力．金属杆M、N与电容串联后接在交流电源两端，通过杆的电流就是通过的电流．若用表示电容两端电压的峰值，则通过电容的电流的峰值(9)所谓交流电通过电容，实际上是电容不断充电和放电的过程，当极板上的电量或两极板间的电压最大时，充电结束，此时刻电流为0；接着放电,极板上的电量或电压由大变小,电流反向，当电量或电压变为0时，电流最大．所以电流和电压的变化不是同步调的，两者相差四分之一周期．当极板两端电压为时，通过电容的电流应为(10)不考虑边缘效应,杆N在杆M处产生的磁感应强度的大小为（11）杆M受到的磁场力为(12)方向向下。由(10)、(11)和(12)式有（13）调节交流电频率，使得天平两边电力和磁力对时间的平均值相等，即（14）从而可得(15)评分标准：本题20分．（1）（2）（3）（5）（6）式各2分；（9）式2分，（10）（11）式各1分，（12）（14）（15）式各2分．七．（20分）两个劲度系数均为的相同的轻质金属弹簧，上端固定在水平绝缘横杆上，竖直下垂，下端与一质量为的匀质刚性金属杆连接，金属杆的长度为,杆长与两弹簧的间距相等．将金属杆置于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向内．杆、弹簧和交流电源u构成一闭合电路，金属杆和弹簧的电阻可忽略；且回路电流的磁场远弱于外磁场，如图1所示．在图2中，一自感和一电容并联后接到同样的交流电源u上．若在图1和图2所示的两回路中，在任何时刻，通过电源的电流都一样．试将图2中电容和自感用图1中的装置的已知参量表示．图1 u图2 C L参考解答：考虑图1所示装置。未接电源时，金属杆静止在平衡位置．取此平衡位置为坐标原点，竖直向上为z轴正方向．当回路电流为（取从右流向左通过电源的电流为正）时，金属杆受到弹簧的弹性力和重力的合力以及磁场的安培力的作用，而在竖直方向运动，设杆在时刻t沿方向的位移为，速度为，依据牛顿定律，它的动量在经过一个小的时间间隔后的变化率为(1)金属杆因竖直运动而切割磁力线，所产生的感应电动势为(2)式中，(3)按照全电路欧姆定律有(4)再考虑图2所示电路．由题意，回路通过电源的电流仍为，它等于流过自感和电容的电流和之和(5)自感上的电动势的大小为(6)而电容满足(7)按照全电路欧姆定律有(8)由(2)、(3)、(4)、(6)和(8)式得(9)由于我们选取金属杆在其中电流为零时的平衡位置为Z坐标原点，故，当(10)由(9)和(10)两式可解得(11)由(2)、(4)、(7)和(8)式得(12)将(5)、(11)和(12)式代入(1)式得(13)此式对任意的和都成立，故(14)由此得(15)(16)评分标准：本题20分．（1）（2）式各2分，（3）（4）（5）式各1分，（6）（7）式各2分，（8）（9）（10）（11）（12）式各1分，（13）式2分，（15）（16）式各1分．八．（20分）朱棣文等三位科学家因成功实现中性原子的磁光俘获而获得了1997年Nobel物理学奖．对以下问题的研究有助于理解磁光俘获的机理（注意：本问题所涉及的原子的物理特性参数，实际上都是在对大量原子或同一原子的多次同类过程进行平均的意义上加以理解的）．1．已知处于基态的某静止原子对频率为的光子发生共振吸收，并跃迁到它的第一激发态（见图1）．然而，由于热运动，原子都处于运动中．假设某原子以速率运动，现用一束激光迎头射向该原子，问恰能使该原子发生共振吸收的激光频率为多少？经过共振吸收，该原子的速率改变了多少？（，m是原子质量，）2．原子的共振吸收是瞬时的，但跃迁到激发态的原子一般不会立即回到基态，而会在激发态滞留一段时间，这段时间被称为该能级的平均寿命．已知所考察原子的第一激发态的平均寿命为．若该原子能对迎头射来的激光接连发生共振吸收，且原子一旦回到基态，便立即发生共振吸收，如此不断重复，试求该原子在接连两次刚要发生共振吸收时刻之间的平均加速度．注意：原子从激发态回到基态向各个方向发出光子的机会均等，由于碰撞频率极高，因而由此而引起原子动量改变的平均效果为零．3．设所考察的原子以初速度沿Z轴正向运动，一激光束沿Z轴负向迎头射向该原子，使它发生共振吸收．在激光频率保持不变的条件下，为了使该原子能通过一次接着一次的共振吸收而减速至零，必须相应地改变原子能级，为此可让该原子通过一非均匀磁场，实现原子的磁光俘获，如图3所示．由于处于磁场中的原子与该磁场会发生相互作用，从而改变原子的激发态能量（见图2）．当磁感应强度为时，原来能量为的能级将变为，其中，是已知常量．试求磁感应强度随z变化的关系式．4．设质量为的锂原子初速度，静止时的共振吸收频率为，第一激发态的平均寿命．为使所考察的原子按3中所描述的过程速度减至零，原子通过的磁场区域应有多长？基态第一激发态图1激光L z v0线圈图3图2参考答案：1．设所考察原子的质量为，激光束的频率为；吸收光子后，原子的速度由变为，从基态激发至第一激发态．由题意，该原子第一激发态与基态的能量差为．由原子和光子组成的系统在吸收光子前后能量和动量均守恒，故（1）（2）从（1）和（2）式消去得（3）注意到，因而恰能使该原子发生共振吸收的激光频率为（4）由（2）和（4）式可得该原子的速率变化，即（5）2．由于原子吸收光子后处在激发态上会滞留一段时间才回到基态，当原子回到基态后又立即再次发生共振吸收．因此，原子从共振吸收回到基态这段时间内的平均加速度为（6）式中，原子在共振吸收前、后的速率分别为、．利用（5）式，（6）式成为（7）加速度是负的，表示原子在不断发生共振吸收的过程中作减速运动．由于原子速度是热运动的速度，它远小于光速，故可认为原子在不断发生共振吸收的过程中加速度大小恒定，原子作匀减速运动．3．由于原子在共振吸收后减速，由（4）式可知共振吸收频率要增大，故必须改变磁感应强度的大小，否则共振吸收会终止．若让该原子进入磁感应强度的大小B随z变化的非均匀磁场，则应让第一激发态相对于基态的能量差从（8）变为（9）于是，磁场中静止原子的共振吸收频率应增加为（10）当此原子在磁场中以速度运动时，根据共振吸收条件（4），能使此原子发生共振吸收的激光的频率为（11）（11）式说明：能使该原子发生共振吸收的激光的频率不仅与原子的运动速度有关，还与原子所在处的磁场有关．原子因共振吸收而作匀减速运动．当原子以初速进入磁场后沿z轴运动距离z时，其速度为（12）若z处的磁感应强度的大小能恰好使得（13）则该原子将对于迎头射来的频率为的激光持续地发生共振吸收，从而不断减速．利用（4）和（11）式，（13）式成为（14）将（12）式代入上式得（15）4．由（12）式得，当时有（16）由（7）和（16）式得（17）代入题给数据得（18）评分标准：本题20分．第一问6分，（1）（2）（3）（4）式各1分，（5）式2分；第二问3分，（6）式1分，（7）式2分；第三问9分，（8）（9）（10）（11）（12）式各1分，（13）（15）式各2分；第四问2分，（16）（18）式各1分．。