高中数学竞赛强基计划6 解析几何之直线与圆及圆锥曲线（40题难题）（10单选10多选10填空10大题）（原卷版）.docx

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专题06解析几何之直线与圆及圆锥曲线（40题难题）（10单选10多选10填空10大题）一、单选题1．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，，则直线的斜率为（）A．B．C．D．3．（2024·山东枣庄·一模）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（）A．4 B．5 C．D．4．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（）A．B．C．D．5．（2024·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2 6．（2024·山东淄博·一模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）A．B．C．D．7．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（）A．B．C．D．8．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．（2024·山东济宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（2024·辽宁大连·一模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．二、多选题11．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（）A．a，b满足B．的最大值为C．存在点P，使得D．12．（2024·河南新乡·二模）如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．的渐近线方程为B．C．的面积为D．内接圆的半径为13．（2024·山东菏泽·一模）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）A．B．以为直径的圆与直线相切C．D．14．（2024·山东临沂·一模）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（）A．存在点，使为等边三角形B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与圆相切D．若以为直径的圆与圆相外切，则15．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点（点位于点上方），且，延长，分别交椭圆于点，，连接交轴于点，若的面积是的面积的3倍，则下列说法正确的有（）A．椭圆的离心率为B．的周长为C．D．直线的斜率是直线的斜率的5倍16．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的准线交轴于点，焦点为，，为抛物线上不同的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．B．的最大值为C．若，则D．若，则的面积为17．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（）A．若为的中线，则B．C．存在直线使得D．对于任意直线，都有18．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点，则下列选项正确的是（）A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B．当时，C．为钝角三角形D．的最小值为19．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（）A．弦有最小值为B．有最小值为C．面积的最大值为D．的最大值为9 20．（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（）A．B．C．D．面积的最小值为16三、填空题21．（2024·重庆·模拟预测）已知点，是双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，连接作且与轴交于点，若则的渐近线方程为．22．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为.23．（2024·吉林白山·二模）已知点是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于，的一点，且以为直径的圆过点，点在轴上，且三点共线，为坐标原点，若成等比数列，则椭圆的离心率为.24．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为记以为直径的圆与C的渐近线在第一象限交于点P，点Q为线段与C的交点，O为坐标原点，且，则C的离心率为.25．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为.26．（2024·广东湛江·一模）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为．27．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是.28．（2024·山西朔州·一模）已知点是双曲线的右焦点，过的直线与交于两点，点与点关于原点对称，．若为线段上靠近点的四等分点，则的离心率为．29．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则．30．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，是正三角形，点到直线的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是．四、解答题31．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值.32．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．33．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3．(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线分别交直线于点，证明：.34．（2024·湖南·一模）已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．(1)求的标准方程．(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（ⅰ）的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．35．（2024·浙江·二模）已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P.(1)求椭圆L的标准方程；(2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.36．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，是椭圆的左顶点，，的周长为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点和点，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．37．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知两点，点M满足，记点M的轨迹为G．(1)求曲线G的方程：(2)若P，C，D为曲线G上的三个动点，的平分线交x轴于点，点Q到直线PC的距离为1．（ⅰ）若点Q为重心，求点P的坐标；（ⅱ）若，求a的取值范围．38．（2024·湖北·一模）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．39．（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．40．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．(1)求的方程；(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．。