高中数学竞赛强基计划4 函数的基本性质及导数综合（40题难题）（10单选10多选10填空10大题）（解析版）.docx

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专题04函数的基本性质及导数综合（40题难题）（10单选10多选10填空10大题）一、单选题1．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.【详解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，显然可得.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析.【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一个周期.因为，故C正确；取符合题意的函数，则所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确；因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，所以，故A不正确；因为，故D不正确；故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求导判断的单调性，将转化为，分离参数，构造新函数求新函数的单调性以及最值，从而求出实数的取值范围.【详解】由题意知，所以，又，所以在上单调递增.因为，所以，故，所以对任意的恒成立.令，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】思路点睛：由函数的不等关系求解参数的范围，先判断函数的单调性，从而得到内层函数的不等关系，再结合不等关系分类讨论或参变分离求参数的范围.4．（2024·辽宁·二模）若，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.【详解】令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，综上所述，，故选：B.【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.5．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当，时等号成立，所以的取值范围为.故选：A【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.6．（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（）A．为奇函数B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD.【详解】令，，，所以；令，，则．令，得，故为偶函数．A错误，任取，，，则，则，故在上为减函数．由已知，可得，故，解得，且．B错误，若，则，C正确，若，则，，，所以，故D错误，故选：C．7．（2024·吉林延边·一模）已知，均为锐角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意可得，构建函数，结合单调性可得，进而可得结果.【详解】因为，则，且，可得，构建，可得因为在内单调递增，可知在内单调递增，则，且在内单调递增，在内单调递减，可得，，故C正确，D错误；由于无法确定的大小，故AB错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得，进而构建函数，结合函数单调性分析判断.8．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.【详解】因为，，为正实数，且满足，，，则，，，所以，，，则，，，令，，由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，满足的即为与的交点的横坐标，满足的即为与的交点的横坐标，满足的即为与的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示：由图可知.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键.9．（2024·云南红河·二模）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令，得到为奇函数，从而得到恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到时，恒成立，设，，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到，得到答案.【详解】设，则，，所以为奇函数.所以，即恒成立，由在上单调递减且，得在上单调递减，所以恒成立.由，知且，所以时，恒成立.设，，，当时，所以在内单调递减，而，所以，所以，即.故选：C.【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据题意，判断的图象关于点对称，利用导数判断函数在上的单调性，在同一坐标系中作出与的图象，得出交点个数，并结合对称性及可得解.【详解】根据题意，函数的周期为8，图象关于点对称，又，所以函数的图象也关于点对称，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，在同一个坐标系中，作出函数与的图象，如图，由图可得，函数与在上有两个交点，因为函数与图象均关于点对称，所以函数与在上有两个交点，又，所以函数在内的零点个数为5.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数与图象均关于点对称，利用导数判断函数在上的单调性，并根据单调性，极值作出与在上的图象，根据图象求得结果.二、多选题11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（）A．关于直线对称B．C．的周期为4 D．【答案】ACD【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.【详解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B错误；④⑤两式相加，得，得，所以，即函数的周期为4，故C正确；由，令，得，所以，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.12．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.【详解】令，则，故时，递增；时，递减，所以的极大值，且，，因为直线与曲线相交于､两点，所以与图像有2个交点，所以，故A正确；设，且，可得，在点处的切线程为，得，即，因为，所以，即，故B错误；因为，所以，因为为两切线的交点，所以，即，所以，所以，故C正确；因为，所以，所以，同理得，得，即，因为，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.13．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】构造函数利用奇偶性和单调性得出，结合选项逐项验证即可.【详解】由题意有两个不等的实数根，，，令，则，即为奇函数；当时，，为增函数；若，则，又，所以.对于A，，正确.对于B，若成立，则有，与矛盾，所以B不正确.对于C，由指数均值不等式可得，所以，C正确.对于D，令，，当时，，为增函数，所以，即，D不正确.故选：AC.【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：（1）对数型均值不等式：，其中，；（2）指数型均值不等式：，其中.14．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知定义域为R的函数，满足，且，，则（）A．B．图像关于对称C．D．【答案】ACD【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，再令令，可得，故不可能关于对称，对C：借助赋值法，令，再令，再，计算即可得；对D：由C选项中所得可推导出函数的周期性，计算出一个周期内所有的函数值即可得.【详解】对A：令，，则有，即，故A正确；对B：令，则有，即有，故或，又，故，令，则有，即，故不可能关于对称，故B错误；对C：令，则有，即，故关于对称，令，则有，即，即，即，由定义域为，故为偶函数，令，则有，即，即，又，，故，即，故C正确；对D：由，，则有，即，则，即，即有，故周期为，由，，故，，又，，故，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（）A．B．为奇函数C．为偶函数D．【答案】ACD【分析】利用是奇函数，，，逐项判断选项.【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确；由，，令，则，故不是奇函数，故B错误；由，令，则，故，所以，而，则，故，所以是偶函数，故C正确；因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以4)，所以，即，因为，所以由，得，得，由2，得，因为的周期为8，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查抽象函数及其性质，利用替换求解，考查运算求解能力，属于较难题.16．（2024·山东聊城·一模）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（）A．都是的周期B．曲线关于点对称C．曲线关于直线对称D．都是偶函数【答案】BC【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.【详解】由是奇函数，故有，即有，故，则，即，故关于对称，由，则，即，故关于中心对称，由，则，又，故，即有，则，故，即，故，故周期为.对A：当时，，故A错误；对B：由周期为，故，又，故，故，故曲线关于点对称，故B正确；对C：由周期为，故，又，故，故曲线关于直线对称，故C正确；对D：由B得，故，又周期为，故有，故，又，即都是奇函数，故D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.17．（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断.【详解】令代入及，得，所以，，A选项正确；令代入，得；令代入由，得，，，，，对于．恒有，，，B选项正确；，C选项错误；，则有，即，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有：(1)令等特殊值求抽象函数的函数值；(2)令或，且，判断抽象函数的单调性；(3)令，判断抽象函数的奇偶性；(4)换为，确定抽象函数的周期；(5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题.18．（2024·湖南·二模）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（）A．和均为奇函数B．C．D．【答案】BCD【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】对于B，由，得，又，，的图象关于直线对称，，，，则是周期函数，且周期为，所以，故B正确；对于A，的图象关于直线对称，是偶函数，若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；对于C，由，得，，因为，则，所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；对于D，由，得，又，由，得，故D正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.19．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（）A．B．为奇函数C．D．【答案】BCD【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.【详解】令，则，所以，令，则，，故A错误；要证为奇函数，只需证，即，令，则，，令，则，所以成立，故B正确；令，则，，所以为偶函数，由B可知，，所以，则有，故C正确；由C可知，又为偶函数，所以，则周期为2，，，所以，故D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：（1）若为奇函数，则满足，若为偶函数，则满足；（2）若为周期函数，且周期为，则满足；（3）若关于点对称，且关于直线对称，则为周期函数，周期为.20．（2024·安徽池州·二模）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（）A．图象关于点对称B．图象关于点对称C．D．【答案】ABC【分析】根据是奇函数判断A项正确；由代入可得，又由推导出图象关于直线对称，从而判断B项；利用题设条件得到，分类讨论的取值情况求出的值，从而判断C项；利用选项C的结论，求得，否定D项.【详解】对于A项，由是奇函数得，所以函数关于点对称，故A项正确；对于B项，由函数的定义域为且关于点对称，则，所以，因，故解得.由得点在函数图象上，又点在函数图象上，所以函数图象关于直线对称.又由关于点对称，可得关于对称，故B项正确；对于C项，由函数关于点对称得，由函数关于点对称得，故由可得.①当时，，所以，，因是增函数，又，故得；②当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减，所以，又，所以，这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，故C项正确；对于D项，由上分析，当时，，显然，由函数关于对称，可知，由关于点对称得，故D项错误.故选：ABC.【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应函数值.三、填空题21．（2024·全国·模拟预测）已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】求得，得出的单调性和，令，得到，设，且零点分别为，转化为方程和各有2个解，得到，进而求得的范围.【详解】由函数，可得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又由，令，可得，设，则，设的两个零点分别为，则或，可得或，要使得恰有4个零点，则方程有2个解，且方程也有两个解，则满足，即，即，可得，即，又因为，解得．故答案为：.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.22．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．【答案】1【分析】不等式恒成立转化为恒成立，构造函数证明恒成立范围即可.【详解】当时，，不等式恒成立，则，即恒成立，亦即恒成立，令，，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，因为，所以，所以恒成立，即，令，，则，令，，则恒成立，所以在单调递增，所以，即在恒成立，所以在单调递增，所以，即，，故，据此可判断满足不等式成立，所以实数的最小整数为.故答案为：【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.23．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.【答案】/【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的最小值是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.24．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为．【答案】【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.【详解】令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．25．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为.【答案】【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.【详解】由题意有，设，所以函数在点A处的切线方程为，所以原点O到点A处切线的距离为，因为，所以当且仅当时等号成立，因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，所以这两条平行线间的距离的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.26．（2024·湖南·二模）已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是.【答案】【分析】依题意可得对任意的当恒成立，令，即可得到在上单调递减，求出函数的导函数，即可得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】因为对任意，且当时恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立①，令，由①式可得，所以在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是将式子变形得到对任意的当恒成立，从而将问题转化为函数在区间上单调递减求参数问题.27．（2024·浙江金华·模拟预测）若对任意实数，则的最大值为．【答案】【分析】构造函数，对参数的取值进行分类讨论，在不同情况下，研究函数的单调性，结合题意，即可求得参数的最大值.【详解】令，，由题可知，恒成立；，；令，，；当，，故单调递增，则，故单调递增，，满足题意；当，显然单调递增；若，即时，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷；故存在，当，，单调递减；，，单调递增；又，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷；故存在，当，，单调递减；当，，单调递增；又，故当，，不满足题意；若，即，又单调递增，故，则单调递增，又，故，则单调递增，，满足题意；综上所述，当时，满足题意，故的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是以端点值1处的二阶导函数值的正负为讨论的标准，进而在不同情况下考虑函数单调性和最值解决问题.28．（2024·全国·模拟预测）已知，，则．【答案】【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出.【详解】令，，则，，由题可得，，所以，.因为函数在上单调递减，所以.由，得，得，故.故答案为：.29．（2024·湖北·二模）已知函数有零点，当取最小值时，的值为．【答案】【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最大值，再结合几何意义，即可求解.【详解】设的零点为，则，即，设为直线上任意一点，坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，下求的最小值，令，则在为减函数，在为增函数，即，此时，所以的斜率为，此时的最小值为，此时，（此时）．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点看成直线上的任一点，从而根据几何意义解决问题.30．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围．【详解】由函数，设，可得，单调递增，且，，所以存在唯一的，使，即，令，即，设，可得，则在上单增，又由且时，，所以当时，存在唯一的，使，即，若时，可得，则，可得，所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.四、解答题31．（2024·山东枣庄·一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导得，分两种情况当时，当时，求方程的解，分析的符号，进而可得的单调性．（2）方法一：化简不等式，证明，函数有唯一零点，由此证明，证明时，满足条件，时不满足条件即可；方法二：化简不等式，并分离变量可得，利用导数研究的单调性及最小值，由此可求的取值范围.【详解】（1）由题意知定义域为且．令，①当时，，所以在上单调递增．②当时，，记的两根为，则，且．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）方法一：，化简得．设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，又，所以，当且仅当取等号，令，因为在上单调递增，所以在上单调递增．又因为，所以存在唯一，使得①，所以，当且仅当时取等号．①当时，成立．②当时，由①知，．所以与恒成立矛盾，不符合题意．综上．方法二：不等式，可化为，所以．令则．令，则．所以在上单调递增．又，所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增．由得，即．设，则所以在上单调递增．由，得，所以，即有，且所以，所以．【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.32．（2024·全国·模拟预测）设函数.(1)当时，求的极值点；(2)当时，设，且，记的最大值为，试求的取值范围.【答案】(1)极大值点是，极小值点是1(2)【分析】（1）将代入,然后对求导，判断的正负，得到的单调性，进而求出极值点；（2）对求导，通过一元二次方程根的情况，判断的正负，得到的极值点，写出的表达式，利用导数判断的单调性，得到的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的极大值点是，极小值点是1.（2）由已知的定义域为，，对于方程，在上恒成立，则方程有两个不同的正根，设为，根据根与系数的关系，得，则，，当或时，，当时，，所以的极大值点为，极小值点为，因为，所以，因为，所以，所以0，令，于是，，，所以在上单调递减，又，当时，，所以，故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数确定与，再利用韦达定理转化双变量为单变量，从而得解.33．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，数列满足，①求证：；②求证：．【答案】(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，即可求解；（2）①令，可得，由（1）得到函数在的单调性，证得，得到，即，进而证得结论；②根据题意，求得，进而得到，结合对数的运算性质，求得，即可得证.【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，当时，，可得在上单调递增；当时，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：①当时，，令，可得由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，所以，即，又由函数在为单调递增函数，因为，则，所以，即，所以.②因为，且，可得当时，，，，，所以，所以，所以当时，，所以，则，所以，所以.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.34．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，是的极小值点.(1)求的值；(2)当时，，求的取值范围；(3)求证：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析.【分析】（1）对求导，利用，求得，然后验证为极小值点即可；（2）利用分离参数，对和进行分类讨论，转化为求函数的最值问题，即可求得；（3）利用分析法只需证明，结合（1）中在为增函数，即可证得，从而证得结论.【详解】（1）定义域，，因为是的极小值点，所以，则，当时，，则，令，，则在为增函数，则存在使得，所以有两根，所以增区间为和，减区间为，则是的极小值点，所以符合题意，故.（2）由（1）知，因为当时，，则，①当时，，则，②当时，，令，则，令，，令，则，即为减函数，所以，即为减函数.令，则，在为减函数，，所以，即，因为，所以，即趋近于0时，趋近于1.令，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；因为，则，即，且，所以，又，则，综上①②，，所以的取值范围为.（3）要证，需证，即证，令，易知在为减函数，，又，所以，因为，则，所以，则只需证，即证，由（1）知的增区间为和，减区间为，且，所以在为增函数，又，所以在恒有，即得证，所以成立.【点睛】关键点点睛：本题解答关键主要有两个：一是利用拆分函数，利用函数单调性及两个函数在同一点处取到最值得到和函数的最值；二是利用数列的知识，把数列和的大小比较转化为通项公式的大小比较，构造函数可证结论.35．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】（1）依题意，，故，而，故所求切线方程为，即．（2）令，故，令，，令，．①当时，，在上为减函数，即在上为减函数，又，在上有唯一的零点，设为，即．在上为增函数，在上为减函数．又，在上有且只有一个零点，在上无零点；②当时，单调递减，又，在内恰有一零点；③当时，为增函数，，单调递增，又，所以存在唯一，当时，递减；当时，递增，，在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.36．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；（2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可.【详解】（1）当时，，，令，，令，可得，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）有三个零点，即有三个根，由不是该方程的根，故有三个根，且，令，，故当时，，当时，，即在、上单调递增，在上单调递减，，当时，，时，，当时，，时，，故时，有三个根；（ii）由在上单调递增，，故，由（i）可得，且，即只需证，设，则，则有，即有，故，，则，即，即只需证，令，则恒成立，故在上单调递增，则，即得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.37．（2024·山东·一模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求a的取值范围．【答案】(1)增区间，减区间(2)【分析】（1）将代入求导，然后确定单调性即可；（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】（1）当时，，，则，当，，单调递增，当，，单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），所以，设，令，由于有两个极值点，所以，解得．由，，得，即，令，则，所以在上单调递减，且，所以，故a的取值范围是．38．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)对任意恒成立，求的取值范围；(2)有两个解，，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数单调性，求最小值大于0的条件；（2）图象上三个点，，，记线段，与直线的交点横坐标分别为，，在，两点处的切线为，，记两条切线与直线的交点横坐标分别为，，证明即可得证结论.【详解】（1）令，则有，．若，即，则存在，使得在上单调递减，有，与已知矛盾，所以，解得．因为，所以，记，则有．下证对任意恒成立．易得．记，则有，所以在上单调递增，所以，则有，所以在上单调递增，则有，原命题得证．综上，的取值范围．（2）证明：由题可得，令，则，易知，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又有，，且，，所以存在，使得，时，；时，，则在上单调递减，在上单调递增，且．记，，，连接，，记线段，与直线的交点横坐标分别为，，下证：函数的图象在线段的下方．令，则，，，令，则，故在上单调递增．，，由零点存在定理得存在唯一，使得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，结合，，可知，所以，所以函数的图象在线段的下方．同理可证，函数的图象在线段的下方，则有，其中直线的方程为，则有，解得．直线的方程为，则有，解得，则有，所以．分别记函数在，两点处的切线为，，则有，，两条切线分别为，．记两条切线与直线的交点横坐标分别为，，则有，将分别代入，有解得则有，所以，综上，．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.39．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若在其定义域内单调，求实数a的取值范围；(2)若，的极大值为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，由题意可得导函数或恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案；（2）先利用导数求出函数的极值点及极值，再构造函数证明即可.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，，设，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故，即，又，，函数在其定义域内单调，依题知在其定义域内恒成立，在其定义域内恒成立，，即实数a的取值范围为；（2）若，则，设，则，设，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，，，，存在，使得，又，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，又，，存在，使得，即，得，在上，，即，在上，，即，在上单调递增，在上单调递减，的极大值，因为函数在上都单调递增，所以函数在上单调递增，且，，．【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.40．（2024·湖南·一模）已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)时；（ⅰ）若，求的取作范围；（ⅱ）证明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【分析】（1）令时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.（2）（ⅰ）设由得，再证明此时满足.（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出在上单调递增，即【详解】（1）当时，所以切线方程为：即（2）（ⅰ）即，设又是的一个必要条件，即下证时，满足又，设在上单调递减，所以，又即在单调递增.时，；下面证明时不满足，，令，则，，∴在为增函数，令满足，则，又∴,使得，当时，，∴此时在为减函数，当时，，∴时，不满足恒成立.综上.（ⅱ）设由（ⅰ）知，在上单调递增，即【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．。