高中物理强基计划-第2部分-运动学高中课程的起始阶段我们就学习了运动学的内容，研究了描述运动的基本物理量、图象、以及匀变速直线运动规律。在这个模块中我们主要介绍相对运动和运动关联的内容。1、相对运动一个物体的运动需要在某个确定的参考系中进行描述，显然，在不同参考系中对同一运动的描述往往是不同的，这就是运动的相对性。例如，古人在有关天体运动的研究中存在地心说和日心说两种对立的学说，日心说认为太阳是宇宙的中心，地心说认为地球是宇宙的中心。从物理学的角度看，这两种学说不存在绝对的对错之分，只是选择了不同的参考系，因此观察到的天体运动规律不同而已。同一运动在不同参考系中的描述可以互相转换。以速度为例，这种转换有以下的两个基本关系：其中，Vg上面的箭头表示这是一个矢量，公式进行的是矢量加法运算。有时我们把质点相对地面参考系的运动称为绝对运动，相对运动参考系的运动称为相对运动，而运动参考系相对地面的运动称为牵连运动。因此上面的速度转化公式还可以写成：V他对=V相对+V氧连速度的变换公式对于位移和加速度也同样成立。即：XB=-X对A;XC=XB+XC;X绝对=X用对+X连aB=-a对A;aC=a₄B+aC;a对=a厢对+a本连****************************************************************************说明：下面补充两个简单套公式的题。【补充1】A船以va=30km/h向东航行，B船以v=30√3km/h向正北航行。求A船上的人观察到的B船的航速和航向。【答案】60km/h,北偏西30°【补充2】一辆列车以加速度a前进，车上有一物体自由下落，则车内观察者看到的物体的加速度大小【答案】********************************************************************************【例1】一条河宽d=60m,河水的流速为y₁=3m/s,船在静水中的速度v₂=5m/s。(1)船夫要在最短的时间内渡河，应该怎么划船?最短时间是多少?(2)如果船夫过河要求航程最短，应该怎么划船?用的时间是多少?(3)河宽保持不变，河水的流速变为v₁=6m/s,船在静水中的速度变为v₂=3m/s,同样是上面的要求，船夫应该怎样划船?【解析】(1)以最短的时间渡河，船夫应该把船头正对河岸，可保证渡河的时间最短，(2)想垂直到达河对岸，应该让船头与上游河岸保持一定的角度θ,船的运动如图所示。,即船头与上游的夹角;船的合速度v=√5²-3²=4m/s,(3)要使小船渡河时间最短，小船船头仍然应该垂直河岸渡河，渡河的最短时间由于现在水流速度大于船在静水中的速度，船夫想要垂直到达河对岸的想法只能成为泡影，我们只能保证船的航程最短，但无法保证船垂直到达对岸。当船在静水中的速度v₂小于水流速度v₁时，合速度v不可能与河岸垂直，只有当合速度v方向越接近垂直河岸的方向，航程越短。可由几何方法求得，以v的末端为圆心，以v₂的长度为半径作圆，从v₁的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。,θ=60°,最短航程【答案】见解析****************************************************************************************补充：下面再补充一道类似的小船过河问题，作为巩固练习。【补充3】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为A.B.C.D.【解析】设船在静水中速度为v,去程时船头垂直河岸，则去程时间;回程时行驶路线垂直河岸，则回程时间,由题意有,则,得,故选B。【答案】B***********************************************************************4****************【例2】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为4m/s的大河。初始时，船头与河岸成37°,船刚好能垂直河岸运动。某时刻船的发动机出现故障，船相对水的速度逐渐减小到零，船头方向不变。求此过程中，船相对地的速度的最小值。【答案】2.4m/s【例3】玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以4√3m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m/s,为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?【解析】本题与小船过河问题本质上相同，也是考察速度的变换公式。为了使玻璃切割成规定的尺寸，要求刀相对玻璃的速度方向与玻璃边缘垂直，由v切相对跋璃+V坡璃相对地=V刀相对地可以画出三者的矢量关系如图所示。根据题意，V相对地=4√3m/s,V相对地=8m/s,则,解得：θ=30°;V相对玻璃=4m/s,切割一次的时间【答案】见解析【例4】某汽车前方的挡风玻璃与水平方向成角度37°,当汽车以30m/s在水平地面上开行时，汽车司机看到雨滴垂直打在挡风玻璃上，实际虽然下雨但是没有风，计算雨滴下落的速度。【答案】40m/s【例5】一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下落。下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：A.雨点下落的速度B.单位体积中的雨点数C.车行进的速度D.木板的面积【答案】BD****************************************************************************:**补充：下面再补充一道类似的问题，作为巩固练习。丙甲【补充4】下雨时，雨点竖直下落到地面，其速度为10m/s,若在地面上放一横截面积为80cm²、高为10cm的圆柱形量筒，则经30min,筒内接得雨水水面的高度为1cm,现因风的影响，雨水下落时偏斜30°,问：若用同样的量筒接得与无风时相同的雨水量，需要多少时间【解析】设无风时，雨点对地匀速下落速度为v,,受风影响时，雨点速度的水平分量为v₂,如图所示，ab代表圆柱形量筒的直径。则能落入量筒的雨点是底面积为量筒截面积、倾角为α=30°的斜柱体内的所有雨点，而斜柱体高度就是雨点在一段时间内落下的高度h=v,t,因此能落入量筒内的雨点数与风的影响无关，本题所需时间仍为30min。【答案】30min*********************************************************************【例6】一个人以速度1m/s向北漫步，感受到风从东边吹来，后来他的速度提高到2m/s,感受到风从东北方向吹来，当他静止时，感受到风的方向和速度是A.东南风约1m/s B.东北风约1.4m/s C.东风约1m/s D.东南风约1.4m/s【解析】设两次人漫步的速度分别为v、V₂,根据Va对地=V对人+V人对地，可得两种情况下各速度的矢量关系如图甲、乙所示。将两次的情况画在一个图中如图丙所示，由几何关系易得：Vy人=v₂-Y₁=1m/s,V对地=√2(v₂-v₁)=√2m/s,且v地与v₁夹角为45°,因此D正确。V₂【答案】D【例7】当蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。过一会儿，船以24km/h的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向。在两次航行中风速不变，求风速及方向。【答案】风速为√306≈17.5km/h,方向指向北偏东【例8】某大型商场的自动扶梯正在匀速向上运送顾客，现甲、乙两人先后沿着扶梯向上奔跑，甲、乙在扶梯上向上奔跑的速度分别为1.5m/s和1.8m/s;甲、乙数得的台阶级数分别为42级和45级。则自动扶梯的运行速度为m/s;若每级阶梯上站一个人，则站在此扶梯上的顾客数为人。【解析】甲、乙奔跑的速度为相对于扶梯的速度v’,人与扶梯运动方向相同，则人对地的速度为v’+v。设每一节台阶的长度为L,人数得的台阶数为N’,两层楼之间的实际台阶数为N(亦即所能站的顾客数)。则甲在扶梯上走的时间,则甲相对扶梯的位移,代入数据得：,同理，对乙有：.8;联立解得：v=1m/s,N=70。【答案】1m/s;70【例9】一只木筏离开河岸，初速度为v,方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T,木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u,且木筏在水中划行方向不变，用作图法找到2T,3T,…时刻此木筏在航线上的确切位置。【解析】设木筏相对于水的速度为V,则离岸时V、、u的矢量关系如图所示。此后木筏运动过程中，木筏相对于水的速度方向不变、大小是变化的，木筏的对地速度v大小、方向都变化。如图所示，连接OA的有向线段是时间T内木筏的绝对位移(对地位移)乐。而5来=5对水+,其中，脉沿x轴正方向，S水平行于节方向。现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴上得到B点，有向线段OB即为。由于水速u恒定，则任意T时间内，脉恒定。因此，在x轴上取OB’=2sk,OB"=3sk,过B’、B"、…点做平行于V的直线交木筏曲线轨迹于A’、A"、…各点，即得2T,3T,...时刻此木筏在航线上的确切位置。【答案】见解析在处理实际问题时，一般选择地面为参考系，但并不是所有问题都只能选择地面为参考系。如果能灵活巧妙地选择参考系，有时可以简化求解过程。在处理运动学问题时，变换参考系时只需按照速度、位移、加速度变换公式进行相应变换即可。但是在处理动力学、能量问题时，可能涉及惯性力等复杂问题，要特别注意，这些内容我们会在后面模块中陆续介绍。例题精讲【例10】一队步兵以v₁=1.5m/s的速度匀速前进，队列长度为L=1200m。通讯员从队尾到队首传达命令后，立即返回队尾，共用时间为t=10min,如果通讯员的速度大小始终保持不变，且传达命令和改变方向所用时间忽略不计，求通讯员的速度大小。【解析】设通讯员的速度大小为v,从队尾走到队首所用时间为t、再从队首走到队尾所用时间为t₂方法一：选择地面参考系通讯员由队尾走到队首的过程中，由位移关系有：vt₁=vt+L通讯员由队首走回队尾的过程中，由位移关系有：vt₂+vt₂=L又因为t₁+t₂=t带入数据，联立可解得：v=4.5m/s。方法二：选择一队步兵为参考系，以v方向为正方向这时运动情景变为一队步兵静止不动，通讯员先以v-y₁的速度由队尾走到队首，再以-v-y的速度(即速度大小为v+v,方向与正方向相反)由队首走到队尾，所用的总时间为t=10min。列出方程为：带入数据可解得：v=4.5m/s其实不难发现，方法二的方程可以由方法一的方程组通过消元得到。在不同的参考系中都可以解决这个问题，但是方法二通过换参考系，使得思维难度下降，问题变简单了【答案】v=4.5m/s【例11】有人逆水行舟，水速vk=3m/s,途中从船上掉下一漂浮物，10分钟后发现，并立即调头追赶，如果人划船速度大小保持Vm=5m/s不变，则追上漂浮物需要多长时间。(注意：Vm=5m/s是指船相对水的速度)【解析】方法一：选择地面参考系本题以地面为参考系计算比较复杂，为了叙述方便，假设水流方向向右，则船逆水前进时，方向向左。以向右为正方向。从船上掉下漂浮物到发现该漂浮物的过程中，t=600s,船的位移x₁=Vm’=(V对水+Vk对地)t=(-5+3)×600m=-1200m(即位移大小为1200m,方向向左);漂浮物的位移x₂=vxt=1800m,(即位移大小为1800m,方向向右);则掉头时刻，船和漂浮物相距x=|x|+|x₂|=3000m。设掉头后，经时间t’可以追上漂浮物，在此过程中：船的位移x’=(Vm+Vk)r’……①(方向向右);漂浮物的位移x₂’=vx!’……②(方向向右),由位移关系可知，x’-x₂’=x……③,联立①②③,代入数据可解得：t’=600s。方法二：选择流动的河水为参考系在此参考系中，漂浮物落水后不再运动，船以5m/s向前行驶10分钟后调头仍以同样的速度运动到漂浮物落水处，因船的往返速度和位移大小均相同，故往返时间必相同，即返回时间也为10分钟。通过对比可以发现，方法二能明显减少计算量。【答案】10分钟【例12】如图所示，在一水平面上有A,B,C三点，AB=1,∠CBA=α,今有甲质点由A向B以速度v₁作匀速直线运动，同时，另一质点乙由B向C以速度v₂作匀速直线运动。求运动过程中两质点间的最小距离为多少【解析】本题可以建立平面直角坐标系，然后将甲、乙两个质点在任意时刻t的位置用坐标表示出来，再求解两点距离的极值，这种解析几何的方法基本不需要太多的物理知识就可以解决问题；但是求极值有一定的计算量。下面我们主要介绍换参考系的方法。选择甲为参考系，根据不同参考系间的速度变换公式可以做出三者的矢量关系如图，设乙相对甲的速度方向(BD方向)与AB方向夹角为β,则两质点间的最短距离dmm=ABsinβ。其中sinβ的值可由几何关系求得。V根据三角函数知识可知：【答案】*********************************;**********************************************补充：下面再补充一道类似的问题。【补充5】在宽为l的河的两岸停着两艘小船，它们的连线与河岸成α角，已知两艘小船在静水中最大的划行速度分别为u₁、u₂,河水流速为v。若它们同时出发，则各应向什么方向划行才能在最短时间内相遇，并求出此时间。【解析】本题如果在地面参考系中研究，运动情景较为复杂，计算量大，考虑相对运动则简单的多两小船初始时相距.,其方向与河岸成α角。设两船相对河岸的速度分别为页、五，则T=u₁+V,V2=u₂+V,两船相对速度为T-V=L₁-u₂。易知，当相对速度两船连线方向的投影最大时，则它们将用最短时间相遇。因此，要求μ、u₂平行于两船连线方向，且相互接近(u₁、u₂反向)。所需时间为【答案】见解析****************:*******************************;*******************【例13】如图所示，几辆相同的汽车以相等的速度v沿宽为c的平直公路行驶(不妨设向右行驶),每车宽为b,头尾间间距为a,则人能沿一条直线安全穿过马路时的最小速度是多少【解析】这个情景也与小船过河问题有类似之处(人的运动方向可以变化，存在恒定速度运动的车流),不过分析起来要更复杂一些。本题在地面参考系中研究比较困难(主要是在地面参考系中不容易看出人相对车是如何运动的),因此我们选择车为参考系。如图所示，人刚好能正常穿过马路时(不与车辆相碰),应该相对车沿虚线方向运动，设虚线方向与水平方向夹角为α,则由于v以对车=V以对地一V对地，如图中几何关系所示，可知1当然本题中人相对车也可以沿其他直线路径过马路，但是这时路径与水平方向的夹角都大于图中α,对应的v、都比图中的Vmm大，因此，图中情况所得的以mm即为人安全穿过马路时的最小速度。【答案】【例14】在空间某一点O,向三维空间的各个方向以相同的速度v。射出很多个小球，求ts之后这些小球中离得最远的两个小球之间的距离是多少(假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞)【答案】2v。t【例15】一架飞机在高空中由西向东沿水平方向做匀加速飞行，飞机每隔相同时间空投一个物体，共连续空投了6个物体(空投过程不计空气阻力)。下图是从地面某时刻观察到的6个空投物体的图像，其中正确的是A B C D【解析】这个情景在地面参考系中不太容易思考，我们选择飞机为参考系空投出的物体在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做初速度为零的加速度向西的匀加速直线运动(因为物体释放时相对飞机速度为零，飞机相对地面有向东的恒定加速度，因此a物体相对飞机=a体相对地而+a地面相对飞机=0-αx机相对地面=-a《机相对地面)。所以飞机的合运动应该是一个初速度为零的匀加速直线运动，方向沿着两个加速度合成后的合加速度方向，所以A选项正确。【答案】A【例16】一轿车从静止开始以a=1m/s²做匀加速直线运动的同时，离车头为x=30m的后方有一乘客以某一速度追赶这辆轿车。只有离车头反光镜的距离在xo=20m以内、且像在镜中保留时间至少为t₁=ls的乘客才能被司机看清，以便司机制动轿车使车停下来。该乘客要想乘坐上这辆车，匀速追赶的速度v至少多大?【解析】本题以地面为参考系，运动情景较复杂，不容易找出临界情况。选车为参考系，乘客相对于车做初速度为v、加速度大小为a的匀减速直线运动，速度为零后，又反向做匀加速直线运动。要使司机从车头的反光镜内能看清乘客，须让乘客处在离反光镜xo范围内的时间至少为4,根据对称性和图中的几何关系有,得,代入数据得Vmin=4.5m/s。【答案】4.5m/【例17】如图所示，从离地面同一高度h、相距1的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v,竖直上抛，另一个石块以速度v₂向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离。【解析】解法一：选取地面为参考系，两石块之间的距离为：配方得：当时，;本结果需要讨论，若,表示这时两个石头均未着地，结果即若,则当石块2着地时，它们之间的距离最短，最短距离为：解法二：选取石块2为参考系，则石块1相对石块2的运动为匀速直线运动。相对速度为下图中的v₂。初始时刻，两者相对位移为1。当对结果的讨论同上。【答案】见解析【例18】一只苍蝇在高H处，以速度v平行桌面飞行，在某一时刻发觉就在它的正下方有一滴蜂蜜，苍蝇借助翅膀可以向任何方向加速，但加速度大小不超过a,试问苍蝇能够飞到蜂蜜所在处的最短时间(设想问题发生在宇宙空间，重力不存在)。【答案】物体通过绳、杆、滑轮相连或叠放在一起时，它们之间的速度可能存在某种关联关系，下面我们主要来讨论这类问题。1.绳(或杆)的关联(1)张紧的绳(或杆)能产生两种运动效果，一种是沿绳(或杆)方向的伸缩运动，另一种是绕固定点的摆动。任意复杂运动都可以看做由这两种运动组合而成。如何处理绳子关联问题，运动学的基本思想方法已经给我们提供了思路：一切运动量可以转化成对应的坐标距离。具体而言，绳长可以描述为两点间的距离或坐标差，则速度为坐标的变化率；绳子长度改变的原因是绳子上各质点沿绳方向坐标变化率(分速度)不一致。绳长的变化△x=(vx-v₂₂)△t,其中vx、V₂.为绳子两端质点沿绳方向的分速度，若绳长不变，则要求vx=V₂x。(2)对于绳(或杆)不可伸长的情况，一段绳子(或杆)两端沿绳(或杆)方向的速度相同。对于绕过滑轮的绳子应分段处理，不能当成一段绳子。(3)如果绳(或杆)绕某一点转动，则绳(或杆)上任意一点相对该点的角速度相同。2.滑轮问题作为绳子关联的具体应用，我们来处理有关滑轮的问题。如图所示，定滑轮两边的重物都在竖直方向运动，滑轮也在竖直方向运动。设左侧重物的速度为v、右侧重物的速度为v₂,滑轮的速度为v(不妨均以向上为正，且v>v)。那么，v、v₂、v之间存在什么关联关系呢?根据上边的观点，△时间内，左侧绳子缩短的长度△x₁=(v₁-v)△t,右边绳子伸长的长度△r₂=(v-v₂)△t。由于整根绳子的总长度不变，因此，△x₁=△r₂,联立解得：v₁+v₂=2v。对于两物体和滑轮对应的位移和加速度也有类似的结果：x₁+x₂=2x;q₁+a₂=2a。注意：上述结果成立的前题是两物体和滑轮都在竖直方向运动，如果绳子存在摆动或运动方向不在同一直线上，则不能简单得出上述结论。但处理方法仍然类似。3.接触物系相关速度由两物体“接触”的条件可知，两物体垂直于接触面(或切面)方向的速度相等，否则物体将要分离。注意：上面给出的是绳(杆)不可伸长的情况下，一根绳(杆)两端沿绳(杆)方向速度相等，相互接触的物体垂直接触面(或切面)方向速度相等。并没有给出加速度一定相等的结论，千万不要乱用。****************************************************************说明：加速度的问题比较复杂。************************************例题精讲【例19】如图所示，人用轻绳通过定滑轮牵引小船靠岸，若收绳的速度为v,则在绳与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v有多大(阻力不计)【答案】*****************************************************************************说明：(1)本题除了常规解法，还可以用功率来求解：从能量的角度分析，绳既不会提供能量也不会消耗能量，即两绳端弹力的瞬时功率大小相等。设绳对人的拉力和绳对船的拉力大小均为T,绳对人的拉力的瞬时功率大小为P=Tv,绳对船的拉力的瞬时功率大小为P=Tvcosα,由P=P,可解得(2015年上海高考题中使用了这种方法)(2)加速度的问题比较复杂，讲义中不涉及，同学可以自己补充。假设人拉绳的加速度为a,船的连接点到滑轮间的绳长为l,求船的加速度。这时船的加速度,沿绳方向加速度相等不成立(a₁=0时，显然a≠0,因为随α的增大，船速也在变大，加速度不可能为零),因为绳子的作用效果之一是使船绕滑轮转动。正确答案为****************************************************************************************【例20】一根绳紧贴与地面成θ的斜墙，一端固定，另一端绕过滑轮下方吊一木块。当滑轮以速度v₀匀速沿墙运动时，求木块的速度v。【答案】【例21】如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B,D为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α,物体A运动的速度是多大【答案】【例22】如图所示，杆OA长为R,可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M,滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为w,求此时物块M的速率w。【答案】wHsina【例23】如图所示，细杆AB长为1,端点A、B分别被约束在x轴和y轴上运动，求：(1)杆上与A相距al(0<a<1)的P的运动轨迹如何(2)如果图中0角和v,为已知，那么P点的x和y方向分运动速度va和v。是多少【解析】设P点坐标为(xp,yp),(1)由几何关系可得：xp=alsinθ,yp=(1-al)cosθ,消去θ可得：为椭圆的一部分。(2)由于xp=axg,yp=(1-a)ya,因此有V₂=aY₈,Vy=(1-a)v。由A、B两点沿杆方向速度相等可得：v₄cosO=v₈sinθ,即V₈=v₄cotθ联立可得：【答案】(1);(2)【例24】合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3:2:1,如图所示，顶点A,以速度v沿水平方向向右移动，求当构件的所有角都为直角时，求顶点A,A₂,B₂的速度【答案】;;****************************************************************************************说明：下面补充一道涉及滑轮加速度关联的简单问题。【补充6】在如图所示的滑轮组中，物体1和2分别具有向下的加速度q₁和a₂,物体3具有向上的加速度a₃,求q₁,a₂,a₃【答案】a+a₂=2a之间的关系****************************************************************************************【例25】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v,做匀速直线运动，带动直杆沿竖直方向上升，如图所示。杆与柱体的接触点为P,当P点和柱心O点的连线与竖直方向的夹角为θ时，求直杆的速度。【答案】v。tan6****************************************************************************************说明：下面补充这个模型中涉及加速度的问题。【补充7】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ,求此时竖直杆运动的加速度【解析】在半圆柱体参照系中，P点的加速度由切向加速度a,和法向加速度a。构成，即a对柱=a,+an,其中因此，a对地=a,+a,+a地①将①式中各量沿a,方向投影得：a地cosO=a地sinθ-a,即：【答案】****************************************************************************************【例26】如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R当杆与水平线的交角为θ时，求杆上与半圆相切点C的速度【解析】考察切点C的情况，由于半圆静止，杆上C点速度的法向分量为零，故C点速度必沿杆。由A、C点沿杆方向速度相等，可得：Vc=vcosθ【答案】vcosθ【例27】如图所示，长为L的轻细直杆一端可绕水平地面上的O点在竖直平面内转动，另一端固定一小球M,杆一直靠在正方体箱子m的左上角边上，箱子的边长为L/4。不计一切摩擦，当杆与水平面夹角为θ时，求小球的速度v与箱子的速度v,的比值v/v,=【答案】4 sin²θ4.线状交叉物系交点速度问题这类问题比较复杂，我们还是通过下面的实例进行说明。如图所示，AB、CD两直杆交角为0,交点为P,若两杆各以垂直于自身的速度y、v₂沿着纸面运动，求交点P运动速度的大小。对于这个问题，很多同学认为v、v₂的合速度就是P点的速度，实际上这个结果是错误的。例如令v₂=0,即CD杆不动，很容易发现P点的移动速度并不等于v。因此P点的速度不是v₁、v₂的合速度。那么正确的解法如何呢?这里我们提供常用的两种思路，具体结果请大家作为例题自己练习。(1)微元法做出△t(△t→0)时间后两杆的位置，结合几何关系及速度的定义进行求解。(2)速度分解合成法假设AB杆不同，CD杆沿自身方向运动时，P点不动，CD杆沿AB杆方向以v₂’运动时，P点以同样的速度v₂’沿AB杆运动；同理，假设CD杆不同，AB杆沿自身方向运动时，P点不动，AB杆沿CD杆方向以v’运动时，P点以同样的速度v’沿CD杆运动；因此，把两运动物体在某时刻的速度沿交点处两切线方向进行分解，沿对方物体切线方向上的分速度的矢量和即为交点在该时刻的速度。线状交叉物系交点速度的处理方法：(1)微元法(2)把两运动物体的速度沿交点处两切线方向进行分解，沿对方物体切线方向上的分速度的矢量和即为交点在该时刻的速度。【例28】如图所示，AB、CD两直杆交角为θ,交点为P,若两杆各以垂直于自身的速度v、v₂沿着纸面运动，求交点P运动速度的大小。【答案】【例29】细杆OP长l,绕O点以角速度在如图所示平面内匀速转动，并推动光滑小环C在固定的水平钢丝AB上滑动，已知AO=d,试求小环通过细杆中点时的速度【解析】如图所示的速度关系中，有,小环的速度【答案】【例30】如图所示，直杆AB搁在半径为r的固定圆环上以速度v匀速运动，试求套在直杆和圆环交点处的小环M在图示位置时的速度【答案】****************************************************************************************说明：此时小环的加速度为。环M只能沿杆运动，它相对于杆的加速度的方向一定沿AB方向，杆相对于地的加速度为零，因此M对地的合加速度ay的方向也沿杆方向。ay又可理解为切向加速度和法向加速度a,的合成，有,解得******************************:*************************************************【例31】两个相同的正方形线圈如图所示放置，分别以速度v、2v沿对角线运动，则两线圈交点M的速度为A.B.C.D.【解析】如图所示，将两个线圈的移动速度2v和v分别沿自己线圈和对方线圈的切向进行分解，再把沿对方切线方向上的两分速度y₁和v₂进行合成，其中y₁=2vcos45°=√2v,,选项B正确。【答案】B【例32】在水平面放一个半径为R的圆环(圆心为O₂),另一个同样大小的环(圆心为O)以速度v从它旁边运动过去，如图所示。求两个环的交点A的速度v,与两圆心之间的距离d的关系式【解析】方法一：将动环O的速度v沿两环的切线分解成v和v₂,交点A的速度即是v沿对方切线(O₂环)方向的分速度v₂,由图中的几何关系可得：,所以方法二：微元法设经历了一段极短时间△t,动环移到了如图所示的虚线位置，交点从图中的A点移到了B点。作AC平行于OO₂交虚线于C点，由于△t很小，故图中的A、B、C三点相距很近，圆弧AB、BC分别可以看成弦AB、BC。在△t时间里，动环的位移可以用AC表示，交点的位移用弦AB表示，其大小分别为：AC=v△t,AB=v₄△t,所以,①设∠AO,O₂=α,将AB看做一小段弦，则有,在等腰三角形ABC中，有AC=2ABcos∠BAC=2ABsinα②将②式代入①得方法三：运动合成法两环交点A相对于地面的速度v,沿静止圆环O₂的切线向。这个速度可以理解为A随圆心O的水平速度vo和A绕圆心O逆时针转动的速度vo的合成，如图所示。由几何关系可得：Vao=Va,因此，,即【答案】3、图象法处理复杂运动用图象来描述两个物理量之间的关系是物理学中常用的方法。利用图象法分析解答问题，具有直观、形象、简明的特点，可达到化难为易，化繁为简的目的。在这个小模块中我们主要介绍两类问题：一是利用常见的x~t、v~t图处理复杂问题；二是利用不常见的特殊图象处理问题。【例33】如图所示，上表面粗糙的小车静止在光滑水平面上，一滑块从车的左端以水平速度v冲上小车，下列说法正确的是A.只要v足够大，滑块一定能从小车的右端冲出小车B.若滑块能冲出小车，则不论v多大，滑块脱离小车时小车的位移为定值C.若滑块能冲出小车，则v越大，小车在滑块脱离时的位移越小D.若滑块不能冲出小车，则滑块的初速度v越大，滑块相对小车滑动时间越短【解析】本题的四个选项中有三项相对独立，如果对三项内容列式分析，无异于解一道综合性的计算题，如果利用v~t图象则可以很快得出正确答案设滑块以速度v滑上小车后，经时间to恰好滑到小车右端不滑出(此时两者速度相等),如图所示。阴影的“面积”表示车长。当滑块初速度v大于v时，由图线a可知，滑出的时刻提前，小车的位移变小，A、C选项正确，B错误。当滑块初速度v₂小于v时，由图线b可知滑块还未滑到小车右端就与小车达到共同速度(如t₂时刻),且随着v₂的增大，滑块在小车上滑过的距离越远，所用时间越长，选项D错误。【答案】AC*******************************************************************;***********补充：下面再补充一道类似的问题。【补充8】一颗子弹以水平速度v。穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后，二者运动方向均不变。设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为v,则A.%越大，v越大B.vo越小，v越大C.子弹质量越大，v越大D.木块质量越小，v越大【答案】AC****************************************************************************************【例34】在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L、L₂和L,L₂与L相距80m,L与L相距120m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s,显示红色的时间间隔都是40s。L与L,同时显示绿色，L₂则在L显示红色经历了10s时开始显示绿色。规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s。若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L的时刻正好是L刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率为m/s。若一辆匀速向前行驶的自行车通过L的时刻是L显示绿色经历了10s的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是m/s。【解析】本题可以用x~t图象方便地求解，如图所示，L、L₂、L,亮绿灯的时间为图中波浪线所示，求汽车的最大速率就是在图中找出一条能同时过L、L₂、L₃的波浪线部分的直线的最大斜率。显然，图中OB即为满足此条件的直线，故最大速率为。同理，自行车能不停地通过三盏信号灯且总时间不超过150s的最小速率对应图线ED的斜率，【答案】见解析【例35】已知一质点做变加速直线运动，初速度为vo,其加速度随位移线性减小的关系满足条件a=ao-kx,式中a为加速度，x为位移，ao、k为常量，求当位移为x时质点的瞬时速度【解析】本题难度较大，因为质点做变加速直线运动，所以无法用匀变速直线运动公式直接求出位移为x时的瞬时速度，而且其加速度随位移变化又不多见。根据题中所给函数表达式画出a~x图象，如图所示，图象中不直接出现速度这个物理量，仔细分析联想到公式：,再结合图象面积的物理意义，采用“微元法”有：v²-v6=2a₀Ax,v₂-v²=2a,Ax,,…各式相加得：v²-v6=2△x(ao+q₁+.+a.)。等式右边为图线与两坐标轴所围成的梯形面积的2倍，联立可得：解得：v₁=√G+(2ao-hx)x。【答案】v₁=√G+(2a%-kx)x【例36】老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d,的甲处时速度为v,试求：(1)老鼠行进到离洞穴距离为d₂的乙处时速度多大(2)从甲处到乙处要用去多少时间【解析】(1)老鼠行进的速度与它到洞穴的距离成反比，即。依题意有k=v,d,(2)老鼠行进的速度,不是我们常见的运动。但是可以注意到它的v~x则图象是一条双曲线，转化为图象后，这种反比关系就变成了正比关系，即图象是一条过原点的直线，如图所示。将d₁到d₂的线段分割成n等份，n很大时，每一份可以近似看成匀速直线运动。第一小段的时间,其数值等于图象最左边第一个矩形面积，依此类推，n→o时，运动总时间等于图中梯形面积，即：【答案】见解析【例37】如图所示，在光滑水平面上立着一根半径为R的竖直圆柱子，借助长为L的细长线将小冰球与圆柱子相连。开始冰球位于水平面上并且线被拉紧，现在猛一推冰球，使其具有垂直于线的初速度vo,于是冰球开始绕柱子运动，将线缠在柱子上。不计一切摩擦。线系在柱子下部，位于冰球滑动的水平面内。问经过多长时间后线全部绕在柱子上【解析】冰球受到重力、水平面的支持力和线的拉力作用。由于线的拉力始终与冰球运动方向垂直，故线的拉力对冰球不做功，冰球的运动速度大小v不变，但方向时刻变化，同时冰球做圆周运动的半径在不断减小，相应的冰球运动角速度会不断变大。因此本题不是高中常见的运动，有一定难度，可以通过合理运用图像来求解。设经过一定时间后线与圆柱的切点绕圆柱的圆心转过了θ角，即有Rθ长的线绕在柱子上，此时冰球做圆周运动的半径变为L-Rθ,冰球运动的角速度,即做出图象如图所示，直线与纵、横轴的交点分别为。由于因此直线与纵、横轴所夹三角形的面积即为冰球绕在圆柱上的时间o冰球全部绕在柱子上的总时间【答案】见解析。
