第38届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答.docx

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第38届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、一个不透明薄片上的小圆孔如图1a中黑色之间的部分所示，半径OM为1.00 mm。用波长λ=632.8 nm的氦氖激光作为光源从小孔左侧平行正入射。在垂直于小孔的对称轴上右侧有某个点P；相对于P点，小孔处的波面可视为半波带的组合：以P点为球心，P点到小孔中心O的距离为r0（r0>>λ),分别以r0+λ、2图1a为半径做球面，将小孔所在λ平面的波面划分成N个环带（N为自然数），P点到小孔边缘M的距离为r0+N，半径最2的光程差为）。显然，环带的数目N决定了P点的位置。在需要将原有半波带重新划分或小的环带则是一个圆面，这样划分出的环带称为半波带（因为相邻环带的相应边缘到P点λ2合并时，只考虑将已有的每个半波带重新划分为若干个新的半波带，或者将已有的若干个半波带重新合并为一个新的半波带。（1）若N=2n+1，试分别求相应于n=0和n=1时P点的位置P0（P0为轴上最右侧的亮点，称为主焦点）和P1（P1也为亮点，称为次焦点）。（2）若N=4（4级波带片），且在第1、3半波带放置透明材料（图1b中灰色部分），使通过该透明λ材料的光增加光程。求2（i）此4级波带片的主焦点P09的位置；（ii）紧邻主焦点P09左侧暗点P_91的位置；图1b（iii）紧邻主焦点P09右侧暗点P+91的位置。图1c（3）波带片不仅可以实现平行光的聚焦，还可以成像。以上的4级波带片平行光的聚焦过程，相当于物距无穷远、像距等于焦距的情形。将一个点光源（物）置于轴上O点左侧3 m处的S点，其像点为S9，如图1c所示。（i）4级波带片主焦点对应的像距OS9是多少？并验证成像公式是否满足。（ii）如果该波带片所成的像不是唯一的，轴上还有其他像点，那么距离第（3）（i）问所得到的像点最近的另一个像点在哪里？与此成像过程对应的次焦点的焦距是多少？（不能应用成像公式）（iii）如果将物放置于此波带片左侧，与O点距离为OP09/2，求分别将4级波带片的主焦点和（3）（ii）所述的次焦点作为焦点而成的像的类型（虚像或实像）与位置。（不能应用成像公式）参考解答：（1）（8分）对于焦点P，固定点PO和PM的距离差为1/2波长。设P到小孔中心的距离为r0（P点位置坐标为x），由半波带法有式中R是小圆孔半径。利用题给数据得1.002+x0(2)=(x0+0.3164 x 10_3)2，式中r0=x0 mm。由此得r0=1580 mm②设3波带焦点P1到小孔中心的距离为r1（P1位置坐标为x1），由半波带法有利用题给数据得1.002+x1(2)=(x1+3 x 0.3164 x 10_3)2，式中r1=x1 mm。由此得r1=527 mm④（2）（i）（8分）由于灰色部分增加了1/2波长，导致所有波带到达固定点P0,时，其光程差同中心波带的光程差变为0，λ,λ,因此四个波带在固定点P0,处并非两两相消，而是共同增强，形成焦点。在计算几何长度时，最外侧波带外缘的几何长度与中心轴线的几何长度相比，增加2λ,故⑤利用题给数据得1.002+x,2=(x,+4 x 0.3164 x 10_3)2，式中r0,=x,mm。由此得r0,=395 mm⑥（ii）（8分）紧邻焦点P0,左侧的暗点P_,1出现于进一步划分波带片为8个波带结构，利用题给数据得1.002+x_,12=(x_,1+8 x 0.3164 x 10_3)2，式中r_,1=x_,1 mm。由此得到暗点P_,1坐标为r_,1=198 mm⑧（iii）（8分）紧邻焦点P0,右侧的暗点P+,1出现于四个波带两两归并，整体视为两个波带时出现：⑨利用题给数据得1.002+x+,12=(x+,1+2 x 0.3164)2，式中r+,1=x+,1 mm。得到暗点P+,1坐标为r+,1=790 mm⑩（3）（i）（10分）光线从波带片最外侧经转折到达像点时，其几何路径长度和轴线相比，增加了2λ。方程为式中s物=OS，s像=OS,。利用题给数据得式中s像=x2 mm。由此解出s像=455 mm⑩成像公式为®代入题给数据得f=395 mm④和4级波带片焦距r0,即⑥式一致，成像公式成立。（ii）（8分）下一个像点，需要将4级波带片拆解为12级波带片。因此上一问中所表述的路径差即为6λ,方程为利用题给数据得式中s像,=x3 mm。由此解出s像,=137 mm⑩对应的次焦点是将4级波带片拆解为12级波带片时对应的焦点。每个波带片按照奇数次拆分时可获得对应的新的次级焦点，因此4级波带片中的每个波带需拆分为3个波带才能获得此次焦点。其中f,为次焦点的焦距。利用题给数据得由此解出：f,=132 mm⑩即次焦距为132mm。（iii）（14分）考虑将4级波带片的主焦点作为焦点而成的像。由于物点在左侧主焦点和波带片之间，仍然在左侧。由⑥式或⑩式知f=r0,=395 mm，据题意知物距为设像距为s，则利用题给数据得式中s=x4 mm。由此解出s=_396 mm，①即该像点为虚像，在左侧焦点位置。②考虑将在第（3）（ii）小问中所述的次焦点作为焦点所成的像。设像距为s，则利用题给数据得式中s=x5 mm。由此解出s=393 mm，⑩即该像点为实像，在波带片右侧393mm处的位置。二、2021年6月神州12载人火箭与天宫太空站成功对接，这里涉及到追击者（神州12火箭）与目标（太空站）在绕地轨道相遇的问题。本题采用霍尔曼变轨方案来探究追击者如何改变速度（速率和方向）与固定轨道上的目标实现对接（相遇）。如图2a，目标A和追击者c都在以半径为r0的圆轨道上以速率v0逆时针运动。在0时刻两者的位置分别为θA,i=θ0,θc,i=0,rA,i==rc,i r0图2a.在此时刻，追击者c瞬间点火，速度瞬间改变Δv(如图2b所示)；c的轨道也从半径为r0的圆轨道瞬间变为图2c所示的椭圆轨道，椭圆轨道的长轴与极轴方向（中心到点火时c的位置的连线）之间的夹角为φ(φ是沿顺时针方向测量的）。c的运动方向与极轴方向之间的夹角记为θc(θc正方向为逆时针方向),c与中心相距rc(θc)。（1）若飞行物的质量m、能量E（实际为飞行物和地球组成系统的总机械能）和角动量L均为已知量,试用E、L、图2b m和题给的已知参量r0、v0等来表示轨道参量R、ε。已知：正椭圆轨道（长轴沿极轴方向）在极坐标下的形式（原点取为右焦点）为其中，R是轨道尺寸参量，ε是轨道偏心率，统称为轨道参量。（2）写出点火（见图2c）后追击者c的轨道rc(θc)的表达式，用r0、偏心率ε和φ表示。（3）写出点火后追击者c的轨道周期Tc与目标A的周期TA之比Tc/TA，用ε和φ表示。图2c（4）定义两个点火参数（见图2b）：无量纲的速度改变率Δv与v0之间的夹角“（重合时“=0，顺时针方向取为正方向）。试用点火参数δ和“来表示追击者c的轨道的偏心率ε和εcosφ。（5）考虑追击者c和目标A在第一类轨道汇合点（见图2c）相遇的情形。设自0时刻起目标A经过第一类轨道汇合点的次数为nA，追击者c经过第一类轨道汇合点的次数（起始时不计在内）为nc。在0时刻，θA,i=θ0,θc,i=0。求nA，用nc、θ0、ε和φ表示。（6）将nA用δ、“表出，固定δ,试求函数nA(“)相对于“变化的两个简单、明显的极值点“0（以便即使喷火时角度“相对于“0有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功对接）。（7）如果取上述两个“0值之一，（i）δ值有一个上限δmax（即若δ>δmax，追击者c和目标A不会相遇），求δmax；（ii）令θA的初始值为θ0，试写出δ与θ0、nA、nc的关系式；并求当nA=2、nc=1时δ的值。参考解答：（1）由轨道方程可知总能量E、轨道角动量L为守恒量：L=mv近r近=mv远r远=mvr或系统总能量为近近远远其中这里，利用了由①②③式和C的表达式得①②③④⑤（2）追击者c的椭圆轨道点火后变为偏转的椭圆。按题中角度定义，这偏转的椭圆轨道为初始条件为rc=r0，当θc=0代入⑥式得R=r0(1+εcosφ)⑦。