高中奥林匹克物理竞赛解题方法六六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式.具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解.用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例1质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程.解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t末的速度为2t末的速度为3t末的速度为……则nt末的速度为（2）同理：可推得nt内通过的总路程例2小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）解析小球从h0高处落地时，速率第一次跳起时和又落地时的速率第二次跳起时和又落地时的速率…第m次跳起时和又落地时的速率…每次跳起的高度依次，通过的总路程经过的总时间为例3 A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.因为即此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有拉第一节车厢时：故有拉第二节车厢时：故同样可得：……推理可得由另由题意知因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+…+Wn例6如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片、2、…、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）.将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力.解析本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、…、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、…A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1.选碗边B点为轴，根据力矩平衡有所以①再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg.选B6点为轴，根据力矩平衡有由①、②联立，解得所以，A1B1薄片对A6B6的压力为例7用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值.解析为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为第2块相对第3块的最大伸出量为（如图6—4所示），则同理可得第3块的最大伸出量……最后归纳得出所以总跨度跨度与桥孔高的比值为例8如图6—5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为…）.每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为m=14kg，一侧的每个沙袋质量.一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.（n是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速沿正x轴方向运动，经过第1个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以的水平速度扔到车上，由动量守恒得当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上，同理有，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为，根据动量守恒有.同理有，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有即由此两式解得：为整数取3.当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：解得：设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求即即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例9如图6—6所示，一固定的斜面，倾角，斜面长L=2.00米.在斜面下端有一与斜面垂直的挡板.一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零.下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的动摩擦因数，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.解析因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系：即有由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为∴在发生第11次碰撞过程中的路程例10如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1.小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计.开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.解析当m1与m2发生弹性碰撞时，由于m2=2m1，所以m1碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞.而又由于m2=m3，所以m2与m3碰后，m3能静止在m1的位置，m1又以v速度被反弹，可见碰撞又重复一次.当m1回到初始位置，则系统为一个周期.以m1、m2为研究对象，当m1与m2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：①②由①、②式得：以m2、m3为研究对象，当m2与m3发生弹性碰撞后，得以m3、m1为研究对象，当m3与m1发生弹性碰撞后，得由此可见，当m1运动到m2处时与开始所处的状态相似.所以碰撞使m1、m2、m3交换位置，当m1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T，由此可得周期例11有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上.每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着.现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度.解析每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L后，把绳拉紧，再牵动下一个木块.在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能.因此，如果列出这样的关系式是错误的.设第个木块刚被拉动时的速度为，它即将拉动下一个木块时速度增至，第n个木块刚被拉动时速度为.对第个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：①对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有得：②把②式代入①式得：整理后得：③③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知当n=2时有：当n=3时有：当n=4时有：…一般地有将以上个等式相加，得：所以有在本题中，所以例12如图6—8所示，质量m=2kg的平板小车，后端放有质量M=3kg的铁块，它和车之间动摩擦因数开始时，车和铁块共同以的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.解析小车与墙撞后，应以原速率弹回.铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况.以后车与墙就这样一次次碰撞下去.车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为v1、v2、v3、…、vn、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1、s2、s3、…、sn、….以铁块运动方向为正方向，在车与墙第次碰后到发生第n次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有所以由这一关系可得：一般地，有由运动学公式可求出车与墙发生第n次碰撞后向左运动的最远距离为类似地，由这一关系可递推到：所以车运动的总路程因此所以例13 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图6—9所示，每个木块的质量长度，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为原来木块处于静止状态.左方第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为现突然给铅块一向右的初速度，使其在大木块上滑行.试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）.重力加速度g取，设铅块的长度与木块相比可以忽略.解析当铅块向右运动时，铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力设M可以带动木块的数目为n，则n满足：即上式中的n只能取整数，所以n只能取2，也就是当M滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v，则得：由此可见木块还可以滑到第9个木块上.M在第9个木块上运动如图6—9甲所示，则对M而言有：得：第9及第10个木块的动力学方程为：，得：设M刚离开第9个木块上时速度为，而第10个木块运动的速度为，并设木块运动的距离为s，则M运动的距离为，有：消去s及t求出：，显然后一解不合理应舍去.因，故M将运动到第10个木块上.再设M运动到第10个木块的边缘时速度为，这时木块的速度为，则：解得：，故M不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上.例14如图6—10所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上.箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦.开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v0从箱子的A壁处向B处运动，后与B壁碰撞.假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？解析由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒.根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值.（1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为v，箱子对地速度为u.由于题中每次碰撞的e是一样的，故有：或即碰撞n次后①碰撞第n次的动量守恒式是②①、②联立得第n次碰撞后，系统损失的动能下面分别讨论：当因为要求的动能损失不超过40%，故n=4.（2）设A、B两侧壁的距离为L，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间.在下一次发生碰撞的时间，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为、，所以总时间在这段时间中，箱子运动的距离是：所以平均速度为：例15一容积为1/4升的抽气机，每分钟可完成8次抽气动作.一容积为1升的容器与此抽气筒相连通.求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg降为1.9mmHg.（在抽气过程中容器内的温度保持不变）解析根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽n次的压强表达式.设气体原压强为p0，抽气机的容积为V0，容器的容积为V.每抽一次压强分别为p1、p2、…，则由玻一马定律得：第一次抽气后：①第二次抽气后：②依次递推有：③…由以上式得：代入已知得：（次）工作时间为：分钟例16使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q.今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q.求小球可能获得的最大电量.解析两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q1、Q2，由于两个导体球对地电压相等，故有，所以为常量，此式表明：带电（或不带电）的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k等于第一次带电量q与总电量Q的比值，即根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量.设第1、2、…、n次接触后小球所带的电量分别为q1、q2、…，有：由于，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为例17在如图6—11所示的电路中，S是一单刀双掷开关，A1和A2为两个平行板电容器，S掷向a时，A1获电荷电量为Q，当S再掷向b时，A2获电荷电量为q.问经过很多次S掷向a，再掷向b后，A2将获得多少电量？解析S掷向a时，电源给A1充电，S再掷向b，A1给A2充电，在经过很多次重复的过程中，A2的带电量越来越多，两板间电压越来越大.当A2的电压等于电源电压时，A2的带电量将不再增加.由此可知A2最终将获得电量q2=C2E.因为所以当S由a第一次掷向b时，有：所以解得A2最终获得的电量例18电路如图6—12所示，求当为何值时，RAB的阻值与“网络”的“格”数无关？此时RAB的阻值等于什么？解析要使RAB的阻值与“网络”的“格”数无关，则图中CD间的阻值必须等于才行.所以有解得此时AB间总电阻例19如图6—13所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O沿着y轴方向射出.射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L.求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总路程s.（重力不计）解析粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性.它第3次到达x轴时距O点的距离L等于圆半径的4倍（如图6—13甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为所以粒子射出时的速度粒子做圆周运动的半周长为粒子以速度v进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y，因为所以粒子在电场中进入一次通过的路程为粒子第1次到达x轴时通过的路程为粒子第2次到达x轴时，已通过的路程为粒子第3次到达x轴时，已通过的路程为粒子第4次到达x轴时，已通过的路程为粒子第次到达x轴时，已通过的路程为粒子第2n次到达x轴时，已通过的路程为上面n都取正整数.针对训练1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟.在此1分钟内（）A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东2．一小球从距地面为H的高度处由静止开始落下.已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的k倍，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到停止运动，（1）总共通过的路程；（2）所经历的时间.3．如图6—14所示，小球从长L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共通过的路程.4．如图6—15所示，有一固定的斜面，倾角为45°，斜面长为2米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为1米/秒.质点沿斜面下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的滑动摩擦因数为0.20.（1）试求此质点从开始运动到与挡板发生第10次碰撞的过程中通过的总路程；（2）求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程.5．有5个质量相同、其大小可不计的小木块1、2、3、4、5等距离地依次放在倾角的斜面上（如图6—16所示）.斜面在木块2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是，开始时用手扶着木块1，其余各木块都静止在斜面上.现在放手，使木块1自然下滑，并与木块2发生碰撞，接着陆续发生其他碰撞.假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的.求取何值时木块4能被撞而木块5不能被撞.6．在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相同的质量为m的长方形木块，依次编号为木块1，木块2，…，如图6—17所示.在木块1之前放一质量为M=4m的大木块，大木块与木块1之间的距离与相邻各木块间的距离相同，均为L.现在，在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向的恒力F一直作用在大木块上，使其先与木块1发生碰撞，设碰后与木块1结为一体再与木块2发生碰撞，碰后又结为一体，再与木块3发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去.今问大木块（以及与之结为一体的各小木块）与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度？此速度等于多少？7．有电量为Q1的电荷均匀分布在一个半球面上，另有无数个电量均为Q2的点电荷位于通过球心的轴线上，且在半球面的下部.第k个电荷与球心的距离为，且k=1，2，3，4，…，设球心处的电势为零，周围空间均为自由空间.若Q1已知，求Q2.8．一个半径为1米的金属球，充电后的电势为U，把10个半径为1/9米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走，然后把这10个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为10米的圆周上，并拿走大金属球.求圆心处的电势.（设整个过程中系统的总电量无泄漏）9．真空中，有五个电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P点（如图6—18）.球心分别为O1，O2，O3，O4，O5，求O1与O5间的电势差.10．在图6—19所示的电路中，三个电容器CⅠ、CⅡ、CⅢ的电容值均等于C，电源的电动势为，RⅠ、RⅡ为电阻，S为双掷开关.开始时，三个电容器都不带电.先接通Oa，再接通Ob，再接通Oa，再接通Ob……如此反复换向，设每次接通前都已达到静电平衡，试求：（1）当S第n次接通Ob并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？（2）当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少？11．一系列相同的电阻R，如图6—20所示连接，求AB间的等效电阻RAB.12．如图6—21所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω，=10V求：（1）RAB=？（2）电阻R2消耗的电功率应等于多少？（3）消耗的电功率；（4）电路上的总功率.13．试求如图6—22所示，框架中A、B两点间的电阻RAB，此框架是用同种细金属丝制作的，单位长的电阻为r，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半.14．图6—23中，AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角（为了能看清楚，图中的是夸大了的）.现将一质点在BOA面内从C处以速度射出，其方向与AO间的夹角，OC=10m.设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：（1）经过几次碰撞质点又回到C处与OA相碰？（计算次数时包括在C处的碰撞）（2）共用多少时间？（3）在这过程中，质点离O点的最短距离是多少？六、递推法答案1．D 2．3．4．9.79m 50m 5．6．21块7．8．0.065U 9．24.46K 10．（1）I：ⅡⅢ：（3）11．12．（1）10Ω（2）2.5W（3），（4）10W 13．40Ω14．15．（1）60次（2）2s（3）。
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