利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为,求阴影部分的面积。解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB=S正方形ABCD=。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=,D是BC上任一点,试说明。证法一(非旋转法):过A点作AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以,,所以=+=,而在直角三角形ADE中,存在,所以,这是传统的证明方法。本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法):将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷,连DE,易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC,所以在Rt△EBD中有,在Rt△AED中有,所以。例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解:如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA,连EP易知∠PBE=且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中,,且∠EPB=,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即∠APE=,∠APB=∠APE+∠EPB=+=,即∠APB为。传统几何中,有许多旋转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如图(7),正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果△APQ的周长为2,求∠PCQ的度数。将△CDQ绕C点逆时针旋转90°像图(8)那样,立刻可得QA+AB+BE=2,由△APQ周长为2得PQ=PE,进一步可得△CPQ≌△CPE,∠PCQ=∠PCE,又∠QCE=90°,所以∠PCQ=45°。又如图(9),△ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且∠APB>∠APC,求证:PC>PB。将△APB绕A点逆时针旋转成右图那样,不难得到条件∠APB>∠APC变成了∠PQC>∠QPC,从而PC>CQ,由旋转关系,PC>PB。最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了:如图(10),四边形ABCD中,AB=AD,∠A=∠C=90°,其面积为16,求A到BC的距离。通过旋转变换,将图(10)变成图(11),答案可以脱口而出:距离为4!类似的例子可以举出许多,这里不再赘述。综上可见,正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率,不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,故这种方法一般常用于等腰三角形,正方形图形中。
