2015届高考数学理一轮复习学案3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式.doc

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第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.[对应学生用书P48]【梳理自测】一、同角三角函数基本关系式1．已知cosα＝，α∈(0，π)，则tanα的值等于()A.B.C．±D．±2．(教材改编)若sinθ＝－，tanθ＞0，则cosθ＝___________________________.答案：1.B2.－◆以上题目主要考查了以下内容：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝．二、诱导公式1．(教材改编)已知sin(π＋α)＝，则cosα的值为()A．±B.C.D．±2．点A(sin 2 014°，cos 2 014°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．tan 690°的值为()A．－B.C.D．－4．(教材改编)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．答案：1.D2.C3.A4.◆以上题目主要考查了以下内容：组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sinαsinαcos__αcosα余弦cosα－cosαcos__α－cosαsinα－sin__α正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【指点迷津】1．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2．两种关系①平方关系(变形)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.②商数关系(变形)sinα＝cosαtanα，cosα＝.3．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ·(1＋tan2θ)＝tan＝….4．三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[对应学生用书P49]考向一同角三角函数关系及应用(Ⅰ)已知tanα＝，则cos 2α＋sin2α的值为________．(Ⅱ)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值．【审题视点】(Ⅰ)把cos 2α＋sin2α用切函数表示．(Ⅱ)联立方程组求sinα，cosα.【典例精讲】(Ⅰ)cos 2α＋sin2α＝1－2sin2α＋sin2α＝cos2α＝＝＝.(Ⅱ)(1)方法一：联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＞0，∴，∴tanα＝－.方法二：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝，由，得，∴tanα＝－.(2)＝＝＝，∵tanα＝－，∴＝＝＝－.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(1)－(2)－【类题通法】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα(α≠kπ＋，k∈Z)可以实现角α的弦切互化．(2)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(3)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．1．已知sin(3π＋α)＝2sin，则＝________．解析：方法一：由sin(3π＋α)＝2sin得tanα＝2.原式＝＝＝－.方法二：由已知得sinα＝2cosα.原式＝＝－.答案：－考向二利用诱导公式化简求值已知f(x)＝，化简f(x)的表达式并求f的值．【审题视点】先根据诱导公式和同角关系式化简再求值．【典例精讲】∵f(x)＝＝－cos x·tan x＝－sin x，∴f＝－sin＝sin＝sin＝sin＝.【类题通法】利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：选C.由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝.考向三同角关系式、诱导公式在三角形中的应用在△ABC中，若sin(3π－A)＝sin(π－B)，cos(－A)＝cos(π－B)．试判断三角形的形状．【审题视点】寻找A，B的函数值关系，求角A和B.【典例精讲】由题设条件得sin A＝sin B，－sin A＝－cos B∴sin B＝cos B，∴tan B＝1，∵sin B∈(0，π)，∴B＝.∴sin A＝×＝1，A∈(0，π)∴A＝，∴C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．【类题通法】1.在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，sin＝sin＝cos，cos＝cos＝sin.2．求角时，一般先求出该角的某一个三角函数值，如正弦值，余弦值或正切值，再确定该角的范围，最后求角．3．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解析：由已知得①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝或cos A＝－.(1)当cos A＝时，cos B＝，又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.(2)当cos A＝－时，cos B＝－.又A、B是三角形的内角，A＝π，B＝π，∴显然无意义．∴A＝，B＝，C＝π.[对应学生用书P50]三角同角关系的给值求值问题若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝()A.B．2 C．－D．－2【方法分析】①弄清题目条件是什么，解题目标是什么．题目条件：等式中有同角的正、余弦函数．解题目标：求同角的正切值．②关系探究：已知与未知、条件与目标的转化关系．(ⅰ)弦化切，把条件转化为切函数(tanα)的方程．(ⅱ)构造cosα，sinα的方程求出sinα和cosα，再求切．(ⅲ)利用辅助角公式，求角α，再求tanα.(ⅳ)构造函数，利用最值与极值的关系求切．【解答过程】(ⅰ)由cosα＋2sinα＝－，得＝－.∴1＋2tanα＝－，∴(1＋2tanα)2＝，∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴tanα＝2.(ⅱ)由∴5sin2α＋4sinα＋4＝0，∴sinα＝－，∴cosα＝－－2sinα＝－，∴tanα＝＝2.(ⅲ)cosα＋2sinα＝－，∴(sinα＋cosα)＝－，令cosφ＝，sinφ＝，∴sin(α＋φ)＝－1，∴φ＋α＝－.∴α＝－－φ，tanα＝＝＝2.(ⅳ)设f(x)＝cos x＋2sin x，f(x)min＝－，由cosα＋2sinα＝－可知当x＝α时，f(x)min＝f(α)，又∵f′(x)＝－sin x＋2cos x∴f(α)＝0，∴－sinα＋2cosα＝0，∴tanα＝＝2.【答案】B【回归反思】①得出1＋2tanα＝－后，右边的分母还没变成目标函数，需要对等式两边平方，再结合1＝cos2α＋sin2α，出现切tanα这最难．②解法(ⅲ)与(ⅳ)是技巧法，想法都是利用cosα＋2sinα的最小值为－这个特殊数采用辅助角的代换与求实数技巧．1．(2013·高考广东卷)已知sin＝，那么cosα＝()A．－B．－C.D.解析：选C.利用诱导公式化简已知条件即可．sin＝cosα，故cosα＝，故选C.2．(2013·高考全国新课标卷)已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.解析：选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cosα＝－＝－.3．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan 2α＝()A.B.C．－D．－解析：选C.先利用条件求出tanα，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan 2α＝＝－.4．(2013·高考全国新课标卷)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．解析：本题先求出tanθ，然后运用同角三角函数关系式进行变形求解．∵tan＝，∴＝，解得tanθ＝－.∴(sinθ＋cosθ)2＝＝＝＝.∵θ为第二象限角，tanθ＝－，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ<0，∴sinθ＋cosθ＝－.答案：－。