2011全国中考数学真题考点解析汇编梯形.doc

会员专享推荐 · 你可能也用得上更多

开通会员，畅读全站文档

本篇文档已为你保留

本篇文档价值 ~~¥35.00~~会员免费解锁

全文不限次阅读，剩余内容即刻解锁
高速下载通道，免排队、无等待
专属客服 1 对 1 答疑，优先响应
每日赠送下载券，本篇文档免费送

有 86 篇商业计划书正在上传

下载原文档

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆梯形一、选择题1.（2011•宁夏，3，3分）等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是（）A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：过D作DE∥AB交BC于E，推出平行四边形ABED，得出AD=BE=2cm，AB=DE=DC，推出等边三角形DEC，求出EC的长，根据BC=EB+EC即可求出答案．解答：解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD=4cm，∴BC=4cm+2cm=6cm．故选B．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，全等等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和等边三角形是解此题的关键．2.（2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝，则此梯形的面积为（）A、2 B、1＋C、D、2＋考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。专题：计算题。分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB，∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴OF＝BF＝CF＝BC＝，由勾股定理得：OB＝，∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：OA＝1，AB＝2，同法可求OD＝OA＝1，AD＝，OE＝，S梯形ABCD＝（AD＋BC）•EF＝×（）×（＋）＝2＋故答案为：2＋．点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．3.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4，EF=5，则梯形ABCD的面积是（）A、40 B、30 C、20 D、10考点：梯形；全等三角形的判定与性质。分析：作延长DE交AB延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGFA的面积，根据条件首先证明GE=ED，再证出GH=DF，进而得到GH+AF）的长，HF的长，即可得到答案．解答：解：延长DE交AB延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，∵CD∥BA，E是AB中点，∴△CED≌△BGE，∴GE=ED，即点E也是GD的中点，∵∠GHF=∠DFH=90°，∴CD∥HG，∵点E也是GD的中点，∴△GHE≌△DFE，∴GH=DF，HE=EF=5，∴GH+AF=AF+DF=AD=4，∴梯形ABCD与梯形HGFC的面积相等，∵S梯形HGFC=（GH+AF）•HF=×4×2×5=20，∴S梯形ABCD=20．故选：C．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，梯形的面积公式，解决问题的关键是通过作辅助线，把梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积求解．4.从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件，“这个四边形是等腰梯形”．下列推断正确的是（）A、事件是不可能事件B、事件是必然事件C、事件发生的概率为D、事件发生的概率为【答案】B【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；等腰梯形的判定；随机事件；概率公式．【专题】证明题．【分析】连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=AEB=36°，求出∠CBE=72°，推出BE∥CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．【解答】解：连接BE，∵正五边形ABCDE，∴BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理得：∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED==108°，∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠A）=36°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°，∴∠C+∠CBE=180°，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是等腰梯形，即事件M是必然事件，故选B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，必然事件，概率，随机事件，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．5.（2011北京，4，4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；梯形。专题：证明题。分析：根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．解答：解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴,∵AD=1，BC=3．∴．故选B．点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．6.（2011江苏连云港，7，3分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N.下列说法错误的是（）A．四边形EDCN是菱形B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似D．△AEN与△EDM全等考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；菱形的判定；等腰梯形的判定。分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案．解答：解：∵在正五边形ABCDE中，∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，∴四边形EDCN是平行四边形，∴▱EDCN是菱形；故A正确；同理：四边形BCDM是菱形，∴CN=DE，DM=BC，∴CN=DM，∴四边形MNCD是等腰梯形，故B正确；∴EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD，∵AN=AC﹣CN，EM=BE﹣BM，∵BE=AC，∴△AEN≌△EDM（SSS），故D正确．故选C．点评：此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．7.（2011，台湾省，32,5分）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？（）A、6 B、8 C、10﹣2 D、10+2考点：梯形；菱形的性质。专题：计算题。分析：利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可．解答：解：四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM⊥HE于M点，则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2，且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI面积==8．故选B．点评：本题考查了梯形的面积的计算，解题的关键是正确的利用菱形和正方形的性质计算梯形的底和高．8.（2011山东济南，11，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC=BD B．∠OBC=∠OCB C．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC考点：等腰梯形的性质。分析：由四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，根据等腰梯形的对角线相等，即可证得AC=BD，又由△ABC≌△DCB与△AOB≌△DOC，证得B与C正确，利用排除法即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=CD，AC=BD，故A正确；∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠OBC=∠OCB，故B正确；∴∠ABO=∠DCO，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴S△AOB=S△DOC，故C正确．利用排除法，即可得D错误．故选D．点评：此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用．9.（2011广西来宾，11，3分）在梯形ABCD中如图所示)，已知AB∥DC.∠DAB=90°,∠ABC=60°,EF为中位线。且BC=EF=4,那么AB=（）A.3 B.5 C.6 D.8考点：梯形中位线定理；含30度角的直角三角形。专题：计算题。分析：根据已知可求得两底之和的长及腰长等于上底，从而可得到下底的长等于上底长的2倍，从而不难求得梯形的下底长．解答：解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC=60°BC=EF=4，∴BG=3，∵EF为中位线，∴DC+AB=DC+AG+BG=2EF=2×4=8∴AG=DC=（8﹣2）÷2=3，∴AB=AG+BG=5．故选B．点评：此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．10.（2011•临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=6则梯形ABCD的周长是（）A、12 B、14 C、16 D、18考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形。分析：从上底的两个端点向下底作垂线，构造直角三角形和矩形，求得直角三角形的直角边的长利用告诉的锐角的度数求得等腰梯形的腰长，然后求得等腰梯形的周长．解答：解：作AE⊥BC于E点，DF⊥BC于F点，∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，∵AD=2，BC=6，∴EF=AD=2，BE=CF=（6﹣2）÷2=2，∵∠B=60°，∴AB=DC=2BE=2×2=4，∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16．故选C．点评：本题考查了等腰梯形的性质及含30°的直角三角形的性质，解题的关键是正确的作辅助线构造直角三角形和矩形，从而求得等腰梯形的高．11.（2011山东淄博7，3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，BD⊥CD，则AD+BC等于（）A.2 B.3 C.4 D.5考点：等腰梯形的性质。分析：由AD∥BC，BD平分∠ABC，易证得△ABD是等腰三角形，即可求得AD=AB=1，又由四边形ABCD是等腰梯形，易证得∠C=2∠DBC，然后由BD⊥CD，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得∠DBC=30°，则可求得BC的值，继而求得AD+BC的值．解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，∴∠C=∠ABC，∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AD=AB=1，∴∠C=2∠DBC，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠C=60°，∠DBC=30°，∴BC=2CD=2×1=2，∴AD+BC=1+2=3．故选B．点评：此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12..（2011年四川省绵阳市，11，3分）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（）A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、cm2考点：等腰梯形的性质．专题：几何图形问题．分析：由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．解答：解：∵AC⊥BC，∠ABD=30°，∴∠CAB=30°，∵AB=8cm，∴BC=4cm，AC=4 cm，∴S△ABC=×4×4=8 cm，∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，∴∠CAB=∠DCA=30°，∵∠CAB=30°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴CD=AD=BC=4cm，∴D0=，∴S△ADO=××4=，∴S△AOB=S△ABC-S△ADO=∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴（）2=∴S△DOC=，故选A．点评：此题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形两条对角线相等．13.（2011•宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）A、∠HGF=∠GHE B、∠GHE=∠HEF C、∠HEF=∠EFG D、∠HGF=∠HEF考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定与性质。专题：计算题。分析：利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论．解答：解：连接BD，∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HE∥GE=BD，HE=GE=BD∴四边形HEFG是平行四边形，∴∠HGF=∠HEF，故选D．点评：本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形．14.（2011湖南长沙，10，3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝4，则梯形的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8考点：等腰梯形专题：梯形分析：如下图，过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，则四边形AEFD是矩形，从而EF＝AD＝2；易知△ABE≌△DCF，由BC＝4得BE＝FC＝1；再由∠B＝45°，∠AEB＝90°，得AE＝BE＝1，故S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AE＝(2＋4)·1＝3，因此，选A．解答：A点评：梯形的问题往往通过作辅助线，将其转化三角形、平行四边形、矩形等问题来解决，本题中就是将其转化为两个等腰直角三角形和一个矩形，从而求出该梯形的高，使得问题得以顺利解决．15.（2011•南充，10，3分）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理。专题：证明题。分析：①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．解答：解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．点评：本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．16.（2011四川遂宁，7，4分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积是（）A、10 B、20 C、6+4 D、12+8考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。专题：计算题。分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，证平行四边形AEFD和Rt△AEB≌Rt△DFC，推出AD=EF=3，AE=DF，BE=CF，求出∠BAE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE、CF，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF=3，AE=DF，∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=2，∵∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，AB=CD，∴Rt△AEB≌Rt△DFC，∴BE=CF=2，BC=2+2+3=7，由勾股定理得：AE==2，∴梯形的面积=×（AD+BC）×AE=×（3+7）×2=10，故选A．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出AE和BC的长是解此题的关键．17.（2011•柳州）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，则梯形另外两个底角的度数分别是（）A、100°、115°B、100°、65°C、80°、115°D、80°、65°考点：梯形。专题：计算题。分析：由梯形的性质可知：∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，继而可求出答案．解答：解：由题意得：∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，∵∠A=100°，∠B=115°，∴∠D=80°，∠C=65°．故选D．点评：本题考查了梯形的知识，难度不大，熟练掌握梯形的性质是关键．二、填空题1.（2011江苏南京，10，2分）等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为6cm．考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：根据等腰梯形的腰长和周长求出AD+BC，根据梯形的中位线定理即可求出答案．解答：解：∵等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，∴AD+BC=22﹣5﹣5=12，∵EF为梯形的中位线，∴EF=（AD+BC）=6．故答案为：6．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，梯形的中位线定理等知识点的理解和掌握，理解梯形的中位线定理[知道EF=（AD+BC）]是解此题的关键．2.（2011•江苏宿迁，15，3）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是cm．考点：梯形；等腰三角形的判定与性质。分析：由角平分线的性质与平行线的性质，易证得△ADE与△BEC是等腰三角形，即AE=AD，BE=BC，又由AD=7cm，BC=8cm，则A可求得B的长度．解答：解：∵∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AB∥DC，∴∠2=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∴AE=AD，BE=BC，∵AD=7cm，BC=8cm，∴AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）．故答案为：15．点评：此题考查了梯形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意有平行线与角平分线出现，一般会有等腰三角形出现．3.（2011盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是．考点：等腰梯形的判定.分析：一组对边平行，一组对边不平行的是梯形，两地角相等的梯形是等腰梯形，因为放在一张矩形纸上可先判断出是梯形，然后证明两底角相等．解答：解：∵放置在一张矩形纸片上，∴AD∥BC，AB和DC不平行，∴四边形ABCD是梯形．∵∠ABC=∠EDC，∠BCD=∠EDC，∴∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形．故答案为：等腰梯形．点评：本题考查梯形的概念和等腰梯形的判定，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是，底角相等的梯形是等腰梯形，本题先判定是梯形，再判定是等腰梯形．4.（2011内蒙古呼和浩特，16，3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_______考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形．分析：首先延长BA与CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC与△BCE≌△FCE，然后S△FAD=x，即可求得S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四边形AECD=7x，又由四边形AECD的面积为1，即可求得梯形ABCD的面积．解答：解：延长BA与CD，交于F，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠FCE，∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°，∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA），∴BE=EF，∵BE=2AE，∴BF=4AF，设S△FAD=x，∴S△FBC=16x，∴S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x，∵四边形AECD的面积为1，∴7x=1，∴x=，∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x=．故答案为：．点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．5.（2011陕西，16，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值．考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，得到四边形ADEC是平行四边形，推出AC=DE，AD=CE=3，∠BFH=∠BDE=90°，求出BH=EH=DH=5，根据梯形的面积公式（AD+BC）•DH，即可求出答案．解答：解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，∵DE∥AC，AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFH=∠BDE=90°，∴BH=EH=（3+7）=5，DH=5，∴梯形的面积的最大值是（AD+BC）•DH=×10×5=25，故答案为：25．点评：本题主要考查对梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．6.（2011四川广安，20，3分）如图4所示，直线OP经过点P(4,)，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn，则Sn关于n的函数关系式是____________．考点：梯形，面积问题，函数解析式专题：规律探究问题分析：设直线OP的函数解析式为，根据题意可知，所以．所以．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；…；所以，，，…，所以．解答：点评：运用待定系数法可以确定一次函数的解析式，根据函数解析式，已知自变量的值可求得函数的值，从而可以确定每个梯形的上底与下底的长，根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积，由此发现规律，根据规律可得Sn关于n的函数关系式．7.（2011重庆江津区，13，4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是30．考点：梯形中位线定理。专题：计算题。分析：利用梯形的中位线的定义求得两底和，在利用梯形的面积计算方法计算即可．解答：解：∵中位线长为5，∴AD+BC＝2×5＝10，∴梯形的面积为：＝30，故答案为30．点评：本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．8.（2011湖北咸宁，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，点E在AB边上，且CE平分，DE平分，则点E到CD的距离为．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。分析：首先由过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在Rt△DHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离．解答：解：过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE=EF，BE=EF，∴EF=AE=BE=AB，∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，∴DF=AD=2，CF=CB=4，∴CD=6，∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，∴∠A=∠B=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB，BH=AD=2，∴CH=BC﹣BH=2，在Rt△DHC中，DH=4，∴EF=2．∴点E到CD的距离为2．故答案为：2．点评：此题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．9.（2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.考点：等腰梯形的性质；勾股定理；梯形中位线定理。专题：几何图形问题；数形结合。分析：首先由等腰梯形的性质，求得MN⊥BC，EF═（AD+BC），然后过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，即可得四边形ACFD是平行四边形，四边形MNHD是矩形，则可得△BDK是等腰梯形，由三线合一的知识，可得BH=EF，在Rt△BDH中由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图：已知：AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，且EF2+MN2=8．求：这个等腰梯形的对角长．解：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF=（AD+BC），MN⊥BC，AC=BD，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DK=AC=BD，CK=AD，∴BH=CH=BK=（BC+CK）=（BC+AD），∴BH=EF，∵四边形MNHD是矩形，∴DH=MN，∴在Rt△BDH中，BD2=BH2+DH2=EF2+MN2=8，∴BD=2．∴这个等腰梯形的对角长为2．故答案为：2．点评：此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形，直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．10.（2011四川眉山，15，3分）如图，梯形ABCD中，如果AB∥CD，AB=BC，∠D=60°，AC丄AD，则∠B=120°．考点：等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：由∠D=60°，AC丄AD，得到∠ACD=30°，而AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAC=∠ACD=30°，又因为AB=BC，根据等腰三角形的性质得到∠BCA=∠BAC=30°，最后根据三角形的内角和定理计算出∠B的度数．解答：解：∵∠D=60°，AC丄AD，∴∠ACD=90°﹣60°=30°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=30°，又∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为：120°．点评：本题考查了梯形的性质：梯形的两底边平行．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．11.（2011福建福州，13，4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=270度．考点：直角梯形；平行线的性质．分析：根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案．解答：解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°，故答案为：270．点评：本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠A+∠B的度数是解此题的关键．12.2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是．考点：圆与圆的位置关系；实数与数轴．分析：两扇形的圆弧相交，界于D．A两点重合与C．B两点重合之间，分别求出此时PD的长，PC的长，确定a的取值范围．解答：解：当A．D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，当B．C两点重合时，PO===4，此时P点坐标为a=﹣4，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．故答案为：﹣4≤a≤﹣2．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系．关键是找出两弧相交时的两个重合端点．13.（2011四川达州，11，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，则s△AOD=s△BOC．（填“＞”、“=”或“＜”）考点：梯形；三角形的面积。专题：数形结合。分析：根据题意可判断出△ABD和△ABC的同底等高，由此可判断出两者的面积相等，进而可判断出s△AOD和s△BOC的关系．解答：解：由题意得：△ABD和△ABC的同底等高，∴s△ABD和s△ABC相等，∴s△AOD=s△ABD﹣s△AOB=s△ABC﹣s△AOB=s△BOC．故答案为：=．点评：本题考查了梯形及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是根据梯形的性质判断出△ABD和△ABC的同底等高．14.（2010河南，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为3+．考点：直角梯形；等边三角形的性质；解直角三角形分析：首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．解答：解：已知AD∥BC，∠ABC=90°，点E是BC边的中点，即AD=BE=CE=，∴四边形ABED为平四边形，∴∠DEC=90°，∠A=90°，又∠C=60°，∴DE=CE•sin60°=×=3，又，△DEF是等边三角形，∴DF=DE=AB=3，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30°，∴AG=AD•cot30°=×=1，∴DG=2，FG=DF﹣DG=1，BG=3﹣1=2，∴△AGD≌△BGF，∴BF=AD=，∴△BFG的周长为2+1+=3+，故答案为：3+．点评：此题考查的知识点是直角梯形、等边三角形的性质及解直角三角形，解题的关键是先由已知推出直角三角形CED，再通过△DEF是等边三角形，解直角三角形证明三角形全等求解．15.(2011襄阳，17，3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．考点：梯形；平行四边形的性质。专题：动点型。分析：由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，(1)当Q运动到E和B之间，(2)当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．解答：解：由已知梯形，(1)当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t－＝6－t，解得：t＝，(2)当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：－2t＝6－t，解得：t＝2，故答案为：2或．点评：此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．16.（2011湖北十堰，13，3分）如图等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是.考点：等腰梯形的性质。专题：计算题；几何变换。分析：根据等腰梯形的性质可得到DE将梯形分为一个平行四边形和一个等边三角形，则此时△CDE的周长就不难求得了．解答：解：∵AD∥BC，AB∥DE∴ABED是平行四边形∴DE=CD=AB=6，EB=AD=5∴CE=8﹣5=3∴△CDE的周长是6+6+3=15点评：此题主要考查了等腰梯形的性质和平行四边形的判定及性质．17.（2011邵阳，16，3分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是2cm．考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形.分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠B=60°，即可求得∠DAC=∠CAB=30°，又由AB∥CD，可证得∠DCA=∠CAB，则可得∠DAC=∠DCA，即可证得CD=AD=BC，问题得解．解答：解：∵AB∥CD，AD=BC，∴∠DAB=∠B=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=BC=2cm．故答案为2．点评：此题考查了等腰梯形的性质，以及等腰三角形的判定与性质等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD把等腰梯形分成了四个小三角形，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是．【考点】概率公式；全等三角形的判定；等腰梯形的性质．【专题】计算题．【分析】首先根据等腰梯形的性质，可证得②与④全等，又由树状图，可得所有等可能的结果与任意选取其中两个小三角形是全等三角形的情况，然后有概率公式即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=CD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOD≌△DOC．画树状图得：∴一共有12种等可能的结果，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的有2种，∴任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是．故答案为：．【点评】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定，以及树状图法求概率．此题综合性较强，难度适中，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.（2011年广西桂林，16，3分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC,BE∥AD,梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC的周长为．考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：由AB∥DC，BE∥AD，即可证得四边形ADEB是平行四边形，则可得AD=BE，AB=DE，又由梯形ABCD的周长为26，DE=4，即可求得△BEC的周长．答案：解：∵AB∥DC，BE∥AD，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD，∵梯形ABCD的周长为26，∴AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，∵DE=4，∴BE+EC+BC=18．故答案为：18．点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是整体思想与数形结合思想的应用．20.（2011四川泸州，17，3分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是考点：二次函数的最值；等腰梯形的性质；解直角三角形．分析：根据圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是2b，利用勾股定理得出，则x2-（2-b）2=R2-b2=CP2，再利用二次函数最值求出即可．解答：解：圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，则x2-（2-b）2=R2-b2=CP2代入整理得b=2－，所以，y=4+2x+2b=4+2x+4－=－+2x+8，∴该梯形周长的最大值是18．故答案为18．点评：此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形，根据题意得出x2-（2-b）2=R2-b2=CP2，从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键．21.（2011•南充17，6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F在BC上，且BE=FC，连接DE，AF．求证：DE=AF．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：先根据等腰梯形的性质获得△ABF≌△DCE所需要的条件，再利用全等的性质得到DE=AF．解答：证明：∵四边形ABCD为等腰梯形且AD∥BC，∴AB=DC∠B=∠C，（1分）又∵BE=FC，∴BE+EF=FC+EF即BF=CE，（2分）∴△ABF≌△DCE，（3分）∴DE=AF．（4分）点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题1.（2011江苏苏州，23，6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌ECB；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质．分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB．（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，在△ABD和△ECB中，∴△ABD≌△ECB；（2）∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠DCB=90°-∠EDC=25°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．2.（2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。专题：作图题；几何综合题。分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．解答：解：（1）作图如图；（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，∴S==+π+π+2=π+2．点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．3.（2011新疆建设兵团，24，10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形．分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP＝CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B＝∠APB＝∠BAP＝45°，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．解答：解：（1）作AE⊥BC，∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∴BE＝（BC﹣AD）÷2＝2.5，∵∠B＝45°，∴AB＝，（2）作QF⊥BC，∵等腰梯形ABCD，∴∠B＝∠C＝45°，∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP＝x，∴BP＝CQ＝x，∵BC＝9，∴CP＝9﹣x，QF＝x，设△PQC的面积为y，∴y＝（9﹣x）•x·，即y＝－x＋x，∴当x＝﹣＝时，y的值最大，∴当x＝时，△PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，∴∠BMP＝45°，∵∠B＝∠APB＝∠BMP＝45°，不符合三角形内角和定理，∴假设不存在，∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．4.（2011重庆市，24，10分）如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.⑴求证：AD=AE；⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；（2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．答案：24．解：（1）连接AC∵AB∥CD∴∠ACD=∠BAC∵AB=BC∴∠ACB=∠BAC∴∠ACD=∠ACB∵AD⊥DC AE⊥BC∴∠D=∠AEC=900∵AC=AC∴△ADC≌△AEC∴AD=AE（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC设AB＝x,则BE=x－4，AE=8在Rt△ABE中∠AEB=900由勾股定理得：解得：x=10∴AB=10点评：本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．5.（2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．A B E G C D F 24题图考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=BC=．答：EG的长是．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，A B E G C D F 24题答图∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．6.（2011•贺州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A、B、C、D、考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理。分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AD，BC的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比．解答：解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，∴AM=CM，BN=DN．∴EM=CD，NF=CD．∴EM=NF，∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．故选：C．点评：此题考查了三角形中位线定理、平行线等分线段定理和梯形的中位线定理和梯形面积与三角形面积求法，解答时要将三个定理联合使用，以及得出各部分对应关系是解决问题的关键．7.（2011•广东汕头）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．考点：直角梯形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）利用等边对等角可以得到∠FBC=∠C=30°，再利用折叠的性质可以得到∠EBF=∠CBF=30°，从而可以求得所求角的度数．（2）利用上题得到的结论可以求得线段BD，然后在直角三角形ABD中求得AB即可．解答：解：（1）∵BF=CF=8，∴∠FBC=∠C=30°，∵折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，∴∠EBF=∠CBF=30°，∴∠EBC=60°，∴∠BDF=90°；（2）∵∠EBC=60°∴∠ADB=60°，∵BF=CF=8．∴BD=BF•sin60°=4∴在Rt△BAD中，AB=BD×sin60°=6．点评：本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．8.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论．解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．9.（2011•郴州）在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．求证：梯形ABCD是一个等腰梯形．考点：等腰梯形的判定；平行线的性质。专题：证明题。分析：根据平行线的性质推出∠ADB=∠DBC，根据角平分线的性质推出∠ADB=∠ABD，得出AD=AB，求出AB=CD，即可推出答案．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∵AD=DC，∴AB=CD，∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD是等腰梯形．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰梯形的判定等知识点的理解和掌握，求出AB=CD是解此题的关键．10.2011山东菏泽，17，10分）（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．考点：勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形；平行线分线段成比例．专题：证明题分析：（2）过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥DC∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题．解答：（2）解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC=AD，∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3，在Rt△ABG中，AG==，∵EF∥DC∥AG，∴，∴EF==．点评：此题考查了梯形的性质．勾股定理．平行线分线段成比例的定理即平行四边形的性质与判定，有一定的综合性，难度不大．11.（2011•南充，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，根据ADPQ是矩形，AD=PQ，推出BC=2AD，由点M是BC的中点，推出BM=CM=AD=AB=CD，根据等边三角形的判定即可得到答案；（2）△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME=∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，即可求出△AEF的周长．解答：（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，∵∠C=∠B=60°∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD，由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD，即△MDC中，CM=CD，∠C=60°，故△MDC是等边三角形．（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，∴∠BME=∠AMF，在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，∴△BME≌△AMF（ASA），∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，△AEF的周长的最小值为2+，答：存在，△AEF的周长的最小值为2+．点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．12.（2011四川攀枝花，19）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为．（1）求证：∠ACD=30°；（2）DE的长度．考点：等腰梯形的性质；解直角三角形。分析：（1）利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB，从而得证；（2）利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长．解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵AB=CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠B=60°，∴∠DCA=∠BCA，∴∠ACD=30°；（2）作DG⊥BC于G点，∵∠B=60°，梯形的高为，∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2，∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1．∴DE的长为1．点评：本题考查了等腰梯形的性质及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的利用等腰梯形的性质．13.（2011杭州，22，10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．专题：证明题；代数几何综合题．分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；（3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．解答：解：（1）∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF=AB，而CD∥AB，CD=AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC；（2）∵在Rt△ABC中，AC=，∴sin∠OEF=sin∠CAB===；（3）∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴，即EG=CD，同理FH=CD，∴．点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．求证：△ADM≌△BCM．【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由等腰梯形得到AD=BC，∠A=∠B，根据SAS即可判断△ADM≌△BCM．【解答】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∴AD=BC，∠A=∠B，∵点M是AB的中点，∴MA=MB，∴△ADM≌△BCM．【点评】本题主要考查对等腰梯形的性质，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．15.（2011贵州毕节，24，13分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.(1)在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹不写作法)，并证明四边形ABED是菱形。(7分)(2)若∠ABC＝，EC＝2BE，EC＝2BE.求证：ED⊥DC(6分)考点：梯形；菱形的判定与性质；作图—基本作图。专题：作图题；证明题。分析：（1）根据尺规作图：角的平分线的基本做法，可得到∠BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；（2）根据直角三角形的性质定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC；解答：证明：（1）梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，又AB=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，∴∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，∴EC=2DE，∴△DEC是直角三角形，∴ED⊥DC．点评：本题考查了尺规作图及菱形、直角三角形的性质及判定，综合性较强，锻炼了学生的动手、动脑的能力．16.（2011广西百色，23，分）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例．分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AND≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．解答：解：（1）选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AND≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质．矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．17.（2011湖北黄石，19,7分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC，E是BC的中点，连接AE、DE，求证：AE=DE．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：利用等腰梯形的性质证明△ABE≌DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C．∵E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．18.（2011湖南益阳,15,6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，求证：AC是∠DAB的平分线．考点：梯形；平行线的性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论．解答：解：∵AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA．∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA．∴∠DAC=∠CAB，即AC是∠DAB的角平分线．点评：本题考查了梯形的定义．平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题．19.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，求证：∠DAM=∠ADM．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰梯形的性质得出∠B=∠C，AB=DC，根据SAS证出△ABM≌△DCM，得到AM=DM即可．解答：证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠B=∠C，AB=DC，∵M是BC的中点，∴BM=CM，∴△ABM≌△DCM，∴AM=DM，∴∠DAM=∠ADM．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，求出AM=DM是解此题的关键．20.（2011安徽省芜湖市，21,8分）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；含30度角的直角三角形。专题：证明题。分析：根据梯形的两腰平行和等腰梯形的性质证得CB=BD，然后证明∠BDE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来证明等边三角形．解答：证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵DC∥AB，∴∠BDC=∠ABD=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∵CF⊥BD，∴F为BD的中点，∵DE⊥AB，∴DF=BF=EF，由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．点评：本题考查了等腰梯形的性质及等边三角形的判定方法，等边三角形最常用的判定方法是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．21.（2011福建龙岩，25，14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CD的长及∠1的度数；（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？考点：直角梯形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）.分析：（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=-x，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．解答：解：（1）CD=，∠1=30°；（2）若点G恰好在BC上，则有GE=DE=x，EC=-x，∵∠1=30°，∴∠FED=60°，∴∠GEF=60°，∴∠GEC=60°，∴GE=2CE，∴，∴；（3）∵△EFG≌△EFD，，①当0≤x≤时，随着x的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当时，达到最大值，为．②当，△EFG就有一部分在梯形外，如图3，x∵GE=DE=x，EC=，易求ME=，∴GM=GE－ME=x－=3x－，∴NG==，=，此时===，当时，．综上所述．当时，．点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．22.（2011福建省三明市，21,12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．（1）求证：∠ABD=∠CBD；（2）若∠C=2∠E，求证：AB=DC；（3）在（2）的条件下，sinC=，AD=，求四边形AEBD的面积．考点：梯形；解直角三角形。专题：证明题。分析：（1）由两直线AD∥BC，推知内错角∠ADB=∠CBD；在△BAD中，根据等边AB=AD，推知等角∠ADB=∠ABD；所以由等量代换证得∠ABD=∠CBD；（2）由两直线AE∥DB，推知同位角∠E=∠CBD；利用（1）的结果、等量代换求得∠ABC=2∠CBD=2∠E；根据已知条件知∠ABC=∠C，最后根据等腰梯形的性质知AB=DC；（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，构造四边形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函数值的意义求得=；利用（2）的结论以及勾股定理求得CD=，DF=；最后根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD的平行四边形，再由平行四边形的面积公式：S=底×高，求得S四边形AEBD=AD•DF=．解答：解：（1）∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD∴∠ABD=∠CBD；（2）∵AE∥DB∴∠E=∠CBD由（1）得∠ABD=∠CBD∴∠ABC=2∠CBD=2∠E又∵∠C=2∠E∴∠ABC=∠C∴在梯形ABCD中，AB=DC；（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC=，得由（2）得CD=AB，又AB=AD=，∴CD=，DF=∵AD∥BC，AE∥DB∴四边形AEBD的平行四边形∴S四边形AEBD=AD•DF=×=．点评：本题考查了梯形、解直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角（同位角）相等．23.（2011广东省茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1）求证：OD=OE；（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE；（2）由（1）的OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=（180°﹣∠DOE），∠1=（180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，最后证明AD与BE不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形；（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质即可求出△ACB的面积，然后就可以求出四边形ABED的面积．解答：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，∴∠BAD=∠ABE，又∵AB=BA、∠2=∠1，∴△ABD≌△BAE（ASA），∴BD=AE，又∵∠1=∠2，∴OA=OB，∴BD﹣OB=AE﹣OA，即：OD=OE；（2）证明：由（1）知：OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠OED=（180°﹣∠DOE），同理：∠1=（180°﹣∠AOB），又∵∠DOE=∠AOB，∴∠1=∠OED，∴DE∥AB，∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形，又由（1）知，∴△ABD≌△BAE，∴AD=BE∴梯形ABED是等腰梯形；（3）解：由（2）可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴，即：．∴△ACB的面积=18，∴四边形ABED的面积=△ACB的面积﹣△DCE的面积=18﹣2=16．点评：此题烦恼考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及等腰梯形的判定，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．。