山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习旋转变换题三例新人教版.doc

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山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习旋转变换题三例新人教版一、在旋转中酝酿与发现例1：（2009河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．思路点拨：直线l绕AC的中点O旋转，始终保持着△AOD和△EOC全等，探究四边形EDBC是等腰梯形的条件，执果索因，应让∠B=∠EDB=60°或ED=BC=2，所以当直线l的旋转角α为30°时，便有∠EDB=60°；此时AD=1；探究四边形EDBC是直角梯形，则只需让∠EDB=90°即可，所以当直线l的旋转角α为60°时便成立；当直线l的旋转角α=90°时,便可得DE∥CB，便不难发现和证明四边形EDBC为菱形解析：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形点评：解决直线绕某一点旋转的动态问题的关键是树立联系，发展的动态观点，整体地把握命题的条件，抓住在运动变化过程中暂时静止的某一瞬间，动中求静，寻找和确定某些特殊图形或位置，进行观察联想，猜测，分析，归纳，总结，寻找出变量关系式，从而使问题得到突破和解决。二、在旋转中计算与证明例2：C A B N M图2－1例2(浙江省嘉兴市)如图2－1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．(1)求x的取值范围；(2)若△ABC为直角三角形，求x的值；(3)探究：△ABC的最大面积？思路：将线段MA与NB通过旋转组合成三角形，便可利用三角形的三边关系“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”求得x的取值范围；若旋转组合而成的△ABC为直角三角形，则要根据AC、AB、BC分别为斜边进行分类讨论，利用勾股定理求得x的值；要探究△ABC的最大面积，也要注意分类讨论，因为△ABC底边AB上的高可能在△ABC的内部，也可能在△ABC的外部．解：(1)在△ABC中，由，，，得解得．(2)AC为斜边，则，即，此时方程无解；AB为斜边，则，解得，满足；BC为斜边，则，解得，满足．综上，或．(3)在△ABC中，作于D．设，△ABC的面积为S，则．C A B N M图2－2 D如图2－2，点D在线段AB上，则．∴，即．∴，即．∴()．C B A D M N图2－3当时(满足)，取最大值，从而S取最大值．如图2－2，点D在线段MA上，则．同理，得()．此时，．综上，△ABC的最大面积为．点评：对于图形的旋转变换，以及在变化过程中的不变量或不变关系要引起高度重视．解这类问题的关键在于认真理解题意，熟悉特殊图形的性质，掌握数学建模的方法，注意运用分类讨论思想进行探究．此外，还要考虑结论是否与实际情况相符．三、在旋转中体验例3：（2009德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）F B A D C E G例3图②F B A D C E G例3图①D F B A C E例3题图③思路点拨：在（1）中，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，证出EG=CG；在（2）中，△BEF绕B点逆时针旋转45º后，充分利用G为DF中点，通过添加辅助线，分别构造△DMG≌△FNG．△DAG≌△DCG．△AMG≌△ENG．从而得证；F B A D C E G M N N图②（一）解析：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．同理，在Rt△DEF中，EG=FD．∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．F B A D C E图③G在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．点评：本题涉及的知识多，构思独特，能力较高，在解题时要充分挖掘相关图形的信息，关注图形的性质，定理，让题目中的某些隐含信息发挥作用，并适当添加辅助线，化一般为特殊，化未知为已知。对于（3）中的结论探索，一般从条件出发，用从特殊到一般的思想，归纳猜想出结论。