考点31数学归纳法（2014年）解答题1.(2014·广东高考理科)(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3.(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),当n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(n∈N*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+=(2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于n∈N*,有an=2n+1,数列{an}的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)[an+1-2(n+1)+1]=(2n+2)[an+2-2(n+2)+1],又a1-(2×1+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.2.（2014·安徽高考理科·Ｔ21）设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，，证明：【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】（1）用数学归纳法证明①当p=2时，，原不等式成立。②假设时，不等式成立，当p=k+1时，=，所以p=k+1时，原不等式成立。综上可得，当且时，对一切整数p>1,不等式均成立。（2）设，并且，由此可得上单调递增，因而，当时，。①当n=1时，由，即可知=，并且，从而。故当n=1时，不等式成立。②假设时，不等式成立，则当n=k+1时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。综合①②可得，对一切正整数n，，不等式均成立。（2013年）一、填空题1.（2013·湖北高考理科·Ｔ14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)=，正方形数N(n,4)=n2，五边形数N(n,5)=，六边形数N(n,6)=，………………………………………可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=【解题指南】归纳出结论，代入数值计算。【解析】三角形数，正方形数=，五边形数=，六边形数==，………………………………………推测k边形.所以.【答案】1000二、解答题2.（2013·江苏高考数学科·Ｔ23）设数列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，………，…,即当时。记.对于，定义集合Pl={n|Sn为an的整数倍,,且1≤n≤}(1)求P11中元素个数.(2)求集合P2000中元素个数.【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力【解析】由数列的定义得=1,=-2,=-2,=3,=3,=3,=-4,=-4,=-4,=-4,=5,所以=1,=-1,=-3,=0,=3,=6,=2,=-2,=-6,=-10,=-5,从而=，=0,=,=2,=-,所以集合中元素的个数为5.（2）先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(iN*).事实上,①当i=1时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立;②假设i=m时成立,即Sm(2m+1)=-m(2m+1),则i=m+1时,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3)综合①②可得Si(2i+1)=-i(2i+1).于是S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).由上述内容可知Si(2i+1)是2i+1的倍数,而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数.又S(i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是2i+2的倍数,而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j，(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当=i(2i+1)时,集合中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i2,于是=i(2i+1)+j(1j2i+1)时,集合中元素的个数为i2+j.又2000=31(231+1)+47,故集合P2000中元素的个数为312+47=1 008.（2012年）1.（2012·天津高考理科·Ｔ18）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记a1bn，，证明.【解题指南】（1）分别求出公差和公比即可得通项公式；l错位相减法求出的关系式，进而证明或用数学归纳法证明之.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由由条件得方程组(Ⅱ)（方法一）由(Ⅰ)得（1），由（2）-（1），得而=，故.（方法二：数学归纳法）（1）当n=1时，，，故等式成立.（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时有：=====，即，因此n=k+1时等式也成立.由（1）和（2），可知对任意成立.2.（2012·湖北高考理科·Ｔ22）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式(xα）＇=αxα-1.【解题指南】本题考查导数在解函数中的应用,本题(I)问中直接求导,求零点讨论单调性求解;(II)要构造函数，利用函数的单调性证明;(III)利用数学归纳法结合放缩法证明.【解析】(I)f＇(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f＇(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f＇(x)<0,所以f(x)在(0,1)内是减函数;当x>1时,f＇(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(II)由(I)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r).①若a1,a2中至少有一个为0,则≤a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是在①中令x=,r=b1,可得(≤b1·+(1-b1),即≤a1b1+a2(1-b1),亦即≤a1b1+a2b2.综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有≤a1b1+a2b2.②(III)(II)中命题的推广形式为:设a1,a2,…,an为非负实数,b1,b2,…,bn为正有理数.若b1+b2+…+bn=1,则…≤a1b1+a2b2+…+anbn.③用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,b1=1,有a1≤a1,③成立.(2)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,且b1+b2+…+bk=1,则…≤a1b1+a2b2+…+akbk.当n=k+1时,已知a1,a2,…,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时0<bk+1<1,即1-bk+1>0,+ak·从而又因(1-bk+1)+bk+1=1,由②得·(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而…≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,③成立,由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.
