2014-2015学年高二数学北师大版选修2-2教案第2章导数的创新应用.doc

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导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解几例．一、求数列的n项和例1已知x≠0，x≠－1，求数列1，2x，3x，…，nx，…的前n项和．分析：根据题特点，可构造等式1+x+x+x+…+x=，求导即可．解：当x≠0，x≠－1时，1+x+x+x+…+x=，两边都是关于x的函数，求导得：1+2x+3x+…+nx==．评注：这样的问题可以通过错位相加(减)求和，但运用导数运算更加简明．二、求组合数的和例2求和：C+2C+3C+…+nC．分析：根据题特点，可构造等式(1+x)=1+Cx+Cx+Cx+…+Cx，求导即可．解：由二项展开式，得：两边求导，得：n(1+x)=C+2Cx+3Cx+…+nCx．令上式x=1，得：C+2C+3C+…+nC=n·2．评注：：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦．三、证明不等式例3证明：．分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决．证明：构造，则．该二次式的判别式，，是上的增函数．，，而，．评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用架桥铺路，使问题得解.四、方程根的问题例4求证方程xlgx＝1在区间（2，3）有且仅有一个实根.分析：可构造函数，利用导数法解决．解：设y＝f(x)＝xlgx－1，∴y′＝lgx＋lge＝lgex，当x∈（2，3）时，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上为增函数，又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0，∴在（2，3）内xlgx－1＝0有且仅有一个实根.评注：本题是通过构造函数f(x)＝xlgx－1，利用导数判断函数f(x)在区间(2，3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，如果函数在区间(a，b)上具有单调性，那么，当f(a)f(b)＜0时，方程f(x)＝0在区间(a，b)有唯一解；当f(a)f(b)＞0时，方程f(x)＝0在区间(a，b)无实数解．。