验证性因素分析：问卷题数及小样本应用策略.doc

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验证性因素分析：问卷题数及小样本应用策略验证性因素分析：问卷题数及小样本应用策略【英文标题】CONFIRMATORY FACTORANALYSES:NUMBER OFITEMSIN QUESTIONNAIRES AND SMALL SAMPLE APPLICATION STRATEGIES Faculty of Education,The Chinese UniversityofHongKong,Hong Kong FacultyofEducation,NortheastChinaNormal University,Changchun,130024 Faculty of Education,University of Western Sydney,Macarthur,Sydney,NSW2560【标题注释】本文初稿于1997—12—03收到，修改稿于1998—09—08收到。此文部分内容曾于1997年10月在苏州中国心理学会第八届全国心理学学术会议中作大会学术报告。本研究由香港中文大学香港教育研究所赞助部分经费，谨此致谢。【作者】侯杰泰/成子娟/马殊赫伯特【作者简介】侯杰泰：香港中文大学教育学院，香港成子娟：东北师范大学教育学院，长春，130024马殊赫伯特：西悉尼大学教育学院，悉尼，NSW2560【内容提要】验证性因素分析在心理、教育等研究应用日广。本文引用三个模拟数据研究，提出一些在分析时的应用策略，包括用较多题目及强制同一因子的负荷相等。样本容量一般愈大愈好，但当资源等条件有限制时，上述两个技巧，可协助解决叠代收敛问题，并能更准确估计各重要参数。此外，一些方法如：每因子只得两题目、当样本只得约100人时每因子用少於四题目，将题目合并以其平均数为指标，均可能导致不收敛、高标准误及偏差估计量等问题，不值得推荐。【英文摘要】Confirmatory factor analysis(CFA)hasbeenwidelyused in psychological andeducationalresearch.Bysummarizingand referring to results of three simulation studies,thepresent paper discussedstrategiesparticularlyrelevanttosmall sample studies.Specifically,it was suggested thatmoreitems should be used and factor loadings canberestrainedtobe equal within the same factor.Generally,larger sampleismore desirable,butwhenresourceislimited,the above two strategies may solve non-convergenceproblemsandincrease the estimation accuracy of importantparameters.Furthemore,the use of two indicators within a factor,theuseof less than four indicators when sample size is onlyabout100,and thecombinationofitemsintoparcelsandusing their averages as indicators are not recommendedbecausetheymay lead tonon-convergence,largestandarderrorandbiased parameter estimation.【关键词】结构方程模式/验证性因素分析/多元分析/小样本structural equation modelling/confirmatory factoranalysis/multivariate analysis/small sample验证性因素分析（Confirmatory factor analysis,CFA）在心理、教育、社会学等研究应用日广[1,2]。本文旨在引述一些新近的研究结果[3,4,5]，讨论如何在CFA研究中，决定问卷题数或变量的多寡，并指出一些尤为适用于小样本的应用策略。1问题的提出1.1验证性因素分析很多心理社会等变项，均不能准确及直接地量度。这包括智力、性格特质等，我们只好用一些外显指标，去反映这些潜在变量。在一典型分析过程中，我们输入各指标变量的相关或协方差矩阵、指标与潜在变量的从属关系，软件包（如：LISREL[6]）会估计指标与潜在、潜在与潜在、模式未能解释部分、指标测量上的误差等指定参数，其数值能反映各关系的强弱。此外软件包亦计算研究者所提出的模型，是否与样本数据吻合（即数据是否可用模型表示）[7-11]。举例来说，我们设计一份学童学习目标问卷，以了解三类目标（“自我进步”、“超越别人”、“对父母及社会尽责任”）的关系。假设每类目标各以四题六点量表的问题测量。每名受试者共有十二个得分，设有三百名受试者，则可根据这些人的回答，计算一个12×12的相关矩阵。本文将讨论当人数固定不变时，我们应否尽量多用一些题目；如果因种种客观条件所限，受试人数甚少时，我们又有何策略可供使用。1.2变量（问卷题目）的上下限研究样本容量愈大愈好，这点学者并无争议，但对研究内变量的适当数目（如：问卷总题数），则意见分歧。就每一因子内的题数（p／f）而言，一般建议是最少三题[1]，以解决识别问题（简单来说，有足够资料去推算各参数），但当因子互有关连时，可减至每因子两题（p／f＝2），也不致出现未可识别的困难，这下限在颇多研究也有出现。至于每一因子题数或总变量（题数）的上限，一般忠告是不可太多，为受试人数（N）所限制，例如Nunnally[12]所提出被人广为引用的建议是：N最少是变量的十倍。在CFA中，Tanaka[13]认为应考虑N与自由估计参数的比例，Bollen[1]及Bentler[14]等权威亦同意N应为自由参数的数倍（如5倍）。也就是说当N固定时，自由参数、变量或每一因子题数均不可过多。不过这些CFA权威的法则，与传统测验理论认为题数增加可提高信度的想法，并不一致。2研究一：因子所含题数的上限颇多传统法则建议我们在每一因子，不可用太多题目（变量），本部分主要是依据一些模拟数据研究结果[3]，说明增加题数，一般有益无害。当问卷题目变量多于传统守则时，一常用策略就是将数题合并成小组（parcel），以数题的加权或平均数作为模式内的指标变量。本研究亦分析这方法的合理性。2.1研究方法模拟数据的总体是一个三因子的模型，三因子间所有相关为0.3。我们改变每一因子所含题数（p／f）及被试人数（N），以了解其影响。研究设计为5种p／f×5种N；p／f分别是2，3，4，6或12；例如在p／f＝2中，共36题，分别从属于三个因子。N＝50，100，200，400或1000。所有因子负荷均为0.60（误差为0.64），即每一题目变异量为1。模拟数据是以软件包随机数生成器，依据上述总体值而制成，包括2500个N＝50的样本（即125000人），以及1000个N＝100，500个N＝200，250个N＝400及100个N＝1000的样本。在N较小时我们刻意采用较多样本，因为这情况下的解答较不稳定。对每一模拟随机数据样本，我们均套以原本模型，并检验解答的收敛情况、各参数值及其标准误等。因用以制造模拟数据的总体及加套于模拟数据的模型完全相同，而此情况下，模型的卡方期望值等于其自由度，故（卡方／df）不应偏离1[3,15]，而卡方的p值亦不应偏离0.5。在检验收敛情况时，我们亦查看各参数是否合理及适当（例如：相关系数不可大于1）。为了解将题目合并为小组的传统是否有益，我们将p／f＝12内的题目合并为2（每小组6题）、3（4题小组）、4（3题小组）或6（2题小组）小组。例如我们将12题分为2组，求每组内6题的平均数，即模型的总变量减至六个（每因子两个指标变量）。2.2结果2.2.1叠代收敛情况研究显示当被试人数（N）或题数（p／f）增加时，模型叠代收敛机会提升，当每因子只有两题时（p／f＝2），N＝50至1000收敛率由14％增至93％（见表1）。其他题数（p／f）时其趋势一致。这支持传统看法，N是愈多愈好。表1模型在不同样本容量（N）及因子内题数（p／f）的收敛率、参数估计和似合优度样本容量(N)/因子负荷卡方／自由度因子内题数收敛率(%)平均标准差平均标准差N=50 2 13.60.611 0.2350.7880.421 3 54.80.615 0.1711.0380.300 4 86.50.603 0.1661.1090.224 6 99.60.599 0.1511.1940.146 12 100.00.599 0.1461.4760.091 N=100 2 32.80.612 0.1900.8230.465 3 85.40.606 0.1291.0320.296 4 99.10.599 0.1141.0580.212 6100.00.602 0.1051.0920.127 12 100.00.601 0.0961.1710.069 N=200 2 55.60.611 0.1510.9090.490 3 97.80.602 0.0911.0210.286 4 99.60.599 0.0811.0360.207 6100.00.603 0.0741.0510.127 12 100.00.602 0.0681.0770.060 N=400 2 82.40.612 0.1130.9520.560 3100.00.603 0.0621.0000.276 4100.00.599 0.0551.0180.205 6100.00.603 0.0521.0290.131 12 100.00.602 0.0471.0350.058 N=1000 2 93.00.606 0.0670.9690.581 3 99.00.603 0.0401.0250.325 4100.00.599 0.0351.0370.217 6100.00.603 0.0331.0280.115 12 100.00.603 0.0291.0150.054在检查p／f的效应时，当N＝1000，p／f＝2有93％收敛，但p／f＝4至12时，收敛均达至100％。当N较小时这差异更大，例如：N＝100，收敛率由33％（p／f＝2），渐升至100％（p／f＝12），N＝50时对应比率为14％升至100％（见表1）。这表明当N足够大（如N＝1000），虽然p／f甚小时（如：p／f＝2，3），会有部分不收敛的情况，但问题尚不算严重。但当N逐渐减少，而每因子的题数只得两三题时，可能有过半，甚至八成以上解答不收敛。此时若能稍增每因子题数（p／f＝4，6等），则收敛困难多可迎刃而解。在了解每因子12题目是否应合并为小组时，我们发觉将数个题目合并成小组，对收敛并无明显好处，反之，当人数不多时（N＝50或100），用小组方法反而导致更多不收敛的情况，N＝50时，2，3，4，6，12小组的收敛率分别为16％，98％，100％，及100％。从叠代收敛的角度来说，将题目合并以平均分为指标的传统做法，并无任何好处。2.2.2参数估计与拟合优度除了每因子只得两题目（p／f＝2）的情况外，所有不同N与p／f组合情况下的参数估计均无偏差。例如：因子负荷在不同样本的平均是0.6，方差分析亦表明p／f及N的总效应只得0.7％；这是因为我们用以制造模拟数据的总体，与加套于数据的模型完全相同有关。不过当N及p／f增加时，参数的标准差显著下降（见表1）。方差分析显示N及p／f的主效应解释因子负荷（31％），题目误差（32％）及因子间相关（30％）的颇大部分方差，结果表明当N及p／f愈大时，参数估计更为准确。从这角度看每因子题数不能太少。至于拟合优度，表1显示（卡方／df）依（p／f）增加而上升，即拟合优度渐减（因卡方大显示不拟合）。一如上文指出在本研究中，（卡方／df）的期望值应为1，故此，当因子内题数较少时拟合优度略增只是一个虚假现象，显示卡方的渐近值在N及p／f较小时并不适用。题目应否合并为小组的分析结果表明，合并成小组与否对参数估计的准确性（如标准差），并无显著影响。这是因为当我们将因子内12题合并成较少的小组（例如2组）时，准确度会因每因子的指标数目（2个）减少而下降，但因每一指标是由多题合并而成（6题），故每一指标的准确度上升，其总效应令合并成小组并无任何显著好处。总括来说，此部分研究显示每因子内题数愈多愈好，不单叠代收敛为适当解答机会增大，参数估计更为准确，因子信度上升。尤其是在样本容量甚小时，用多些题目有益无害。虽然部分研究者建议N最少100，但本研究显示，当N＝100，每因子最少应有4个指标变量。此外，每因子只得两个指标（题目），因未能识别等问题，应尽量避免。当然每份问卷长度受其他客观条件所限，不能过长，我们建议在小样本研究中。应尽量争取用多一些题目，且不应将题目合并成小组，用数题目的平均分作指标并不恰当。3研究二：小样本因子负荷的处理用验证性因子分析估计各因子负荷时，我们一般并不强制各负荷有任何特殊关系：不过在应用一些高效度的测量工具时，我们可假设同一因子内负荷均甚高且一致，若我们强制因子负荷必须相等，则可大大减低要估计的参数数目，从而改善解答的素质。强制负荷相等的概念其实并不新鲜，一些学者早已主张用简单平均数（等重加权）去将数个题目合并，而不用由数据所得的加权因子（每题加权系数不同），以避免纯因随机因素的影响。这强制负荷相等的方法亦符合CFA强调模型必须省俭的原则，因为强制后的模式更为省俭。以下简述一个以模拟数据了解强制负荷相等是否更有利的研究[4]。3.1研究方法模拟方法与研究一大致相同。模拟数据的总体是一个三因子的模型，三因子互有相关（r＝0.3）。每一因子含三指标变量（题目），我们改变样本容量（N＝50，100，200，400，1000），因子负荷饱和状况（均一、低混合、高混合）及因子负荷限制条件（限制、自由），以了解其对收敛及参数估计等的影响。在三种负荷饱和状况下，我们比较因子内题目负荷的一致性如何影响收敛及参数估计。“均一”情况下每一因子所有指标负荷均为0.6，“低混合”则三个指标负荷分别为0.5，0.6及0.7，而高混合则是0.4，0.6及0.8。依据这些总体模型，我们用软件包制做2500个N＝50，1000个N＝100，500个N＝200，250个N＝400及100个N＝1000的样本模拟数据，再以三个互有相关的因子模型加套于数据，以估计各参数及拟合优度。在加套时我们亦比较两种负荷限制条件（限制、自由），在“限制”的情况下，我们在加套时强迫同一因子内三个负荷必须相等，在“自由”情况下则不加这一限制。3.2结果研究显示在大样本容量及均一负荷的情况下，叠代收敛的机会更大，例如：当N＝50，有58％（均一负荷）、53％（低混合）及39％（高混合）收敛为适当解答，当N＝100，则分别对应有89％、84％及67％收敛。最重要的结果是当我们限制同一因子负荷必须相等时，解答的表现大大改善，尤其是当样本较少时（N＝50，100）。“限制”的方法差不多可以完全消灭不适当（不收敛，负误差等）之解答。当N＝50“一致”负荷情况时，由58％（“自由”负荷）适当解答改善至99％（“限制”负荷）；“低混合”时，由53％改善至98％，“高混合”时，由40％改善至98％；在N＝100时，对应数字为89％，84％及67％全改善至100％。对于标准误（SE）的方差分析表明，样本容量（N）及加套模型时的条件（限制、自由）均有极大影响，其主效应及交互作用的eta值对应地为0.82，0.48及0.21。SE依N的增加而递减，当强加负荷相等的限制时，其SE亦会减少，尤其是当N较小时效果更为明显。至于对参数估计的影响，显而易见，对于总体负荷不等的情况（低及高混合），强加负荷相等的限制，一定会导致估计偏差，例如：总体的题目误差为0.64，但在“限制”情况下，估计值为0.69。不过，这估计偏差现象对负荷及题目误差影响较大，对因子间相关影响微不足道（变异量的0.5％）。值得留意的是在颇多研究，潜在变量间的关系才是关注重点（而非题目因子负荷），故此强加等同的限制并不会带来参数估计偏差的问题。此外，研究结果显示当同一因子题目负荷相差甚大时（高混合情况），不收敛为适当解答的问题较严重，但此时强迫同一因子负荷相等，所能产生的正面作用也最大。在拟合优度方面，不难推断，当我们强加因子负荷相等的限制后，模型自由度增加，但拟合程度必然较差（卡方较大），不过当N＝50或100时，限制与否影响拟合度甚少。上述结果显示样本甚小时，强制负荷相等可令叠代收敛的机会增大，参数的误差减少，但不影响我们估计潜在因子间的相关。4研究三：非正态数据与题目小组研究—显示将数题目合并成小组，以其平均分作指标的传统做法，并无任何好处，尤其是当样本容量（N）不大时，合并成小组可能导致不收敛及标准误较大。支持用小组的其中一个论据是当数据略非正态分布时，将数题目合并，应得出一些较接近正态分布的指标，故合并题目是合适做法。本部分引述一模拟数据研究[5]，以探讨这论据是否成立。4.1研究方法本研究与上述两个类似。总体是两因子各含8题的模型，因子相关为0.3，负荷是0.7（误差0.51）。模拟数据包括2000个N＝50；1000个N＝100，400个N＝250及100个N＝1000的样本。我们比较三类小组，包括每因子独立8题、4指标（各由2题平均所得）、及2指标（由4题平均）。总体模型则分五种非正态情况：正态（偏斜skew，s＝0，峰度kurtosis，k＝0）、稍非正态（s＝0.5，k＝0.5）、中等非正态（s＝1，k＝1.5）、严重非正态（s＝1.5，k＝3.25）、平衡（s＝＋0.5／－0.5，k＝＋0.5／－0.5，＋与－对称地合并）。我们用ML，ADF方法估计参数，亦计算稳健统计（robust）SE，SB（Satorra-Bentler）及YB（Yuan-Bentler）的卡方[15,16]。4.2结果在本研究的条件下，非正态并不致于引来严重不收敛的问题，唯一例外是当N＝50及100时，若将题目合并只得两小组时，其收敛只得17％至21％（N＝50），或31％至36％（N＝100），再一次说明合并成新指标并无好处。在卡方的估计中，非正态状况主要影响ML的卡方，其次是SB的卡方，YB卡方表现最好。ML卡方不大受非正态影响，ADF估计参数及其SE时，略偏离其应有的期望值。但ML对参数估计不受非正态分布的影响。稳健SE在正态分布时较ML偏差较大，但当数据严重非正态时，则较ML偏差为小。无论从收敛、参数的偏差及标准误等角度，将数题合并为小组均无任何好处，若合并至每因子两指标时，问题更大。当然日后研究需检视比本次更为非正态的数据，以了解题目小组的方法是否合适。5总结验证性因素分析或包含更广的结构方程模型，以倍增趋势在心理及教育等学科中备受广泛应用。这些统计模型能更准确计算一些多变量潜在因子间的关系。本文引用三个模拟数据研究，提出一些在验证性因素分素时的策略，包括用多一些题目及强制同一因子的负荷相等。样本容量当然愈大愈好，但当资源等条件有限制时，上述两个技巧，可协助解决叠代收敛问题，并能更准确估计各重要参数。此外，一些方法如：每因子用两指标（或两题目）、在N＝100或以下样本容量时用少於四指标、将题目合并为题目小组，均可能导致不收敛、高标准误、及偏差参数等问题，不值得推荐。当然限于研究是采用模拟数据，要推广至所有特殊情况及偏态数据，仍待日后更多其他研究的验证。CFA的软件包日多，且更为易用，本文为协助研究者决定问卷题数（或变量数目），提出数点应用策略，抛砖引玉，希望日后更多统计测量学者进一步研究，提出更多有助CFA应用的守则。【参考文献】1Bollen 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