2012年中考数试题学分类解析专题45 梯形.doc

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题45：梯形一、选择题1.（2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26B．25C．21D．20【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。∴BE=AD=5。∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。2.（2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A。【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。3.（2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【】A．120o B．110o C．100o D．80o【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选C。4.（2012湖北十堰3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【】A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B。【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB。∴∠AMB=∠DMC。在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，∠AMB=∠DMC，MB=MC，∴△AMB≌△DMC（SAS）。∴AB=DC。∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24。故选B。5.（2012四川宜宾3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。【分析】如图，连接BD，过点F作FG∥AB交BD于点G，连接EG，CG。∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，∴根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。∴图中的六个三角形面积相等。∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为。故选C。6.（2012四川达州3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。其中正确的个数是【】A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】D。【考点】梯形中位线定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理。【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥AD∥BC，∴①正确。∵在梯形ABCD中，△ABC和△DBC是同底等高的三角形，∴S△ABC=S△DBC。∴S△AB C－S△OBC=S△DBC－S△OBC，即S△ABO=S△DCO。∴②正确。∵EF∥BC，∴∠OGH=∠OBC，∠OHG=∠OCB。已知四边形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC和∠OCB不一定相等，即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等。∴△OGH是等腰三角形不对，∴③错误。∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），∴BG=DG，∴④正确。∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），∴AH=CH。∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EH=BC，FG=BC。∴EH=FG。∴EG=FH，∴⑤正确。∴正确的个数是4个。故选D。7.（2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【】A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。故选C。8.（2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【】A．4B．5C．6D．不能确定【答案】B。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选B。9.（2012广西北海3分）如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO＝2：3，AD＝4，则BC等于：【】A．12 B．8 C．7 D．6【答案】D。【考点】梯形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵梯形ABCD中AD∥BC，∴∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC。∴△AOD∽△COB。∵AO：CO=2：3，AD=4，∴AD：BC=AO：CO=2 3，4：即BC=2：3。解得BC=6。故选D。10.（2012广西贵港3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于【】A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A。【考点】全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质。【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。∴四边形ANCD是矩形。∴∠DAN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD。∴BN＝9－5＝4。∵∠M＝∠EAB＝∠MAN＝∠ANB=90°，∴∠EAM＋∠BAM＝90°，∠MAB＋∠NAB＝90°。∴∠EAM＝∠NAB，∵在△EAM和△BNA中，∠M＝∠ANB；∠EAM＝∠BAN；AE＝AB，∴△EAM≌△BNA（AAS）。∴EM＝BN＝4。∴△ADE的面积是×AD×EM＝×5×4＝10。故选A。11.（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【】A．25 B．50 C．D．【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F。∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形。∴AD=CE=3，AC=DE。在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE。∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。∴△BDE是等腰直角三角形。∴DF=BE=5。S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25。故选A。12.（2012黑龙江龙东地区3分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④；⑤，正确的个数有【】A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B。【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，相似全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，连接DF，AC，EF，∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC。在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，∴△ABF≌△CBE（SAS）。∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。在△AME和△CMF中，∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF，AE=CF，∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM，EM=FM，∴△BEM≌△BFM（SSS）。∴∠ABN=∠CBN。结论①正确。∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形。∴∠AED=45°。∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°。∴∠AED=∠ABN=45°。∴ED∥BN。结论②正确。∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。又∵AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形。∴AF=DC。又AF=CE，∴DC=EC。则△CED为等腰三角形。结论③正确。∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC。∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC。∴△EFM∽△CAM。∴EM：MC=EF：AC=1：2。设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，在Rt△EBC中，根据勾股定理得：，∴3x=y，即x：y=：3。∴EM：BE=：3。结论④正确。∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点。∴。又∵，∴。∵四边形ABFD为矩形，∴。又∵，∴S。∴。结论⑤错误。因此正确的个数有4个。故选B。二、填空题1.（2012上海市4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果那么=▲（用表示）．【答案】。【考点】平面向量。【分析】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，∴。又∵，∴。2.（2012江苏南通3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝▲cm．【答案】2。【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。∵BC=3，AD=4，∴EA=。∴CD=BE=AB×AE=7－5=2。3.（2012江苏扬州3分）已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是▲cm．【答案】3。【考点】梯形中位线定理。【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：设梯形的上底长为x，则梯形的中位线＝(x＋5)＝4，解得x＝3。4.（2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB＝3，则OC＝▲．【答案】3。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵AB=CD，∠ABC=∠BCD，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3。5.（2012湖北咸宁3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，时，四边形BGEF的周长为▲．【答案】28。【考点】梯形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质。【分析】∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形。∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE=∠EBC。∵EF∥BC，∴∠EBC=∠FEB。∴∠FBE=FEB。∴EF=BF。∴四边形BGEF是菱形。∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，∴EF=（AD+BC）=×（2+12）=7。∴四边形BGEF的周长=4×7=28。6.（2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为▲.【答案】9。【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。∴BE=2.5。同理可得CF=2.5。又∵AD=4，∴EF=AD=4（矩形的性质）。∴BC=BE+EF+FC=5+4=9。7.（2012湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为▲．【答案】4。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。∴AE=CD=2，AD=EC=2。∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。∴BE=AB=AE=2。∴BC=BE+CE=2+2=4。8.（2012湖南常德3分）若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为▲厘米。【答案】20。【考点】梯形的中位线定理。【分析】根据梯形的中位线的长度等于上下两底和的一半的性质直接求得：（10＋30）÷2=20。9.（2012四川内江5分）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC，且BD⊥AC若AB=2，CD=4则▲【答案】9。【考点】梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6。又∵BD=AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形。∴BF=DE=3。∴梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9。10.（2012四川巴中3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，且DE∥AB，则∠BCD的度数是▲【答案】60°。【考点】等腰梯形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是Rt△BDC的中线，∴DE=BE=EC=BC.∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形。∴AB=DE。∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD。∴DE=EC=CD。∴△DEC是等边三角形。∴∠BCD=60°。11.（2012辽宁丹东3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为▲．【答案】13。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D。∵E是CD的中点，∴DE=CE。在△ADE和△FCE中，∵∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。∴CF=AD，EF=AE=6。∴AF=AE+EF=12。∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°。∵AB=5，∴。12.（2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若AD=2，BC=4，DF=2，则DC的长为▲．【答案】。【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF⊥BC，AD=2，BC=4可得FC=（4－2）÷2=1.在Rｔ△CDF中，DF=2，FC=1，根据勾股定理,得DC＝。13.（2012贵州黔西南3分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为▲。【答案】27。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】先判定出△AOD∽△BOC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC。∴。∵AD=1，BC=3，，∴。∴。14.（2012广西钦州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为▲．【答案】40。【考点】等腰梯形的性质，锐角克角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°。∴AD=DC=BC=8。在Rｔ△ABC中，。∴等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40。三、解答题1.（2012浙江杭州10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。∴AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD。∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD=。又∵S△ABE=S△DCF=，∴，解得：。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。2.（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。∴四边形EFGH是正方形。（2）解：连接EG。在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴。在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴，即四边形EFGH的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积。3.（2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC.⑴求证：△ABE≌△CDA；⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。∴∠ABE=∠CDA。在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA，BE=AD，∴△ABE≌△CDA（SAS）。⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。∴∠AEB=∠ACE。∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。∴∠EAC=180°－40°－40°=100°。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。【分析】（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等。（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案。4.（2012江苏盐城10分）如图所示,在梯形中,∥,,为上一点,.(1)求证:；（2）若,试判断四边形的形状,并说明理由．5.（2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。6.（2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求证：AE=DE．【答案】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C。∵E是BC的中点，∴BE=CE。在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠B=∠C，BE=CE，∴△ABE≌△DCE（SAS）。∴AE=DE。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。7.（2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E【答案】证明：∵ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠BCD,∠BCD=∠EDC。∴∠B=∠EDC。又∵CE=CD。∴∠EDC=∠E。∴∠B=∠E。【考点】等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质。【分析】根据等腰梯形的性质获得∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质得到∠EDC=∠E。8.（2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。【答案】解：（1）180°－2α。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。∵AB=AD，∴∠ADB=（180°－∠A）=α。∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴，即。∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=。∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。∴。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值。9.（2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．【答案】解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）。理由如下：连接AF并延长交BC的延长线于点G。∵AD∥BC，∴∠ADF=∠GCF。在△ADF和△GCF中，∠ADF=∠GCF，DF=CF，∠DFA=∠CFG，∴△ADF≌△GCF（ASA）。∴AF=FG，AD=CG。又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG。∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。【分析】连接AF并延长交BC于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。