2014-2015学年高二数学人教A版必修5学案第二章数列2.3等差数列的前n项和2.doc

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2.3等差数列的前n项和(二)自主学习知识梳理1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝2．等差数列前n项和公式Sn＝____________＝____________.3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定；当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定．(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有____________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．4．一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．自主探究在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最值．对点讲练知识点一已知前n项和Sn，求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.总结已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an.知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．总结在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．变式训练2等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？知识点三已知{an}为等差数列，求{|an|}的前n项和例3已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.总结等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．变式训练3数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.课时作业一、选择题1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S9<S10 B．S9＝S10 C．S11<S10 D．S11＝S10 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()A．9 B．8 C．7 D．6 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A.B.C.D.4．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是()A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1 C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1 5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是()A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值题号12345答案二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.7．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.三、解答题9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．§2.3等差数列的前n项和(二)知识梳理1．S1Sn－Sn－1 2.na1＋d 3．(1)最大最小(2)最小最大自主探究解方法一∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.方法二∵an＝2n－14，∴a1＝－12.∴Sn＝＝n2－13n＝2－.∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.对点讲练例1解当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．变式训练1解当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1.因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝.综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝.例2解方法一利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二先求出d＝－2，因为a1＝25>0，由得所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.变式训练2解方法一由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S9＝S12，得d＝－a1，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1(a1<0)，由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．所以该数列前10项或者前11项的和最小．例3解由S2＝16，S4＝24，得即解得所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝变式训练3解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)Tn＝a1＋a2＋…＋an＝＝9n－n2.∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.∴Sn＝n∈N*.课时作业1．B[由已知得d＝＝1，∴a1＝－9，∴a10＝a1＋9d＝0，∴S10＝S9＋a10＝S9.]2．B[由an＝，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得：7.5<k<9，∴k＝8.]3．A[方法一＝＝，∴a1＝2d，＝＝＝.方法二由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以＝.]4．C[由an＝，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.∴na1>Sn>nan.]5．C[由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.]6．2n－2 7．5或6解析d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．8．10解析由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10.9．(1)证明f(x)＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．(2)解bn＝|3n－8|.当1≤n≤2时，bn＝8－3n，b1＝5.Sn＝＝.当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n－8)＝7＋＝.∴Sn＝10．解(1)根据题意，有：整理得：解之得：－<d<－3.(2)∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…，而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．。