2015届高考数学理复习配套训练第3章第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式含答案.doc

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第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用两角和与差、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式、但对这三组公式不要求记忆)．(见学生用书第57页)1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.3．有关公式的变形、逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝(1－cos 2α)；②cos2α＝(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用①1±sin 2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝sin.1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立()(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立()(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关()【解析】显然(1)正确，(3)错误.对于(2)，cosAcos B－sin Asin B＝cos(A＋B)<0，∴cos Acos B<sin Asin B，则(2)不正确．在(4)中，φ的正切与有关，φ所在象限内a，b的符号确定，(4)错．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2．(人教A版教材习题改编)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是()A.B.C．－D．－【解析】sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－.【答案】C 3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，是cos2＝()A.B.C.D.【解析】∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.【答案】A 4．(2014·南昌质检)若＝，则tan 2α＝()A．－B.C．－D.【解析】由＝，得＝，解得tanα＝－3，则tan 2α＝＝.【答案】B 5．(2012·大纲全国卷)当函数y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取到最大值时，x＝________.【解析】∵y＝sin x－cos x(0≤x<2π)，∴y＝2sin(x－)(0≤x<2π)．由0≤x<2π知，－≤x－<，∴当y取得最大值时，x－＝，∴x＝π.【答案】π(见学生用书第57页)考向1三角函数式的化简【例1】化简：(1)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°；(2)(0＜θ＜π)．【思路点拨】(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；(2)统一为的三角函数，变形化简．【尝试解答】(1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.(2)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0.因此＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)(sin－cos)＝(2sin cos＋2cos2)(sin－cos)＝2cos(sin2－cos2)＝－2cos cosθ.故原式＝＝－cosθ.,规律方法11.注意到第(2)题中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式．2．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．变式训练1化简：＋2；【解】＋2＝＋2＝＋2＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.考向2三角函数的求值问题【例2】(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.【思路点拨】(1)把x＝－代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.(2)由cosθ求出sinθ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.【尝试解答】(1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝×＝1.(2)因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，sin 2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.,规律方法2给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．变式训练2已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f4β－π＝，求cos(α＋β)的值．【解】(1)∵f(x)＝A·cos，且f＝，∴Acos＝Acos＝，则A＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．由解得sinα＝，且cosβ＝.∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.考向3三角函数的给值求角【例3】已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．【思路点拨】着眼点【尝试解答】(1)由tan＝，得tanα＝＝，∴cosα＝sinα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②联立，得25sin2α＝16，∵0＜α＜，∴sinα＝.(2)由(1)知，cosα＝，sinα＝，又0＜α＜＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝，得0＜β－α＜.∴sin(β－α)＝＝，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)·sinα＝×＋×＝＝.由＜β＜π得β＝π.,规律方法31.“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围(第(2)问易忽视角的范围致误)，确定角的大小．其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．变式训练3已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，试求角β的值．【解】由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝＝＝.由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝，由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.又0＜β＜，所以β＝.考向4三角变换的简单应用【例4】(2013·湖南高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．【思路点拨】(1)利用和(差)角、倍角公式将f(x)、g(x)化简，沟通二者联系；(2)由f(x)≥g(x)，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【尝试解答】f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g(x)＝2sin2＝1－cos x(1)由f(α)＝得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1，于是sin≥，从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．,规律方法41.将f(x)化简为sin x，将g(x)化简为1－cos x，从而沟通了g(α)与f(α)之间的关系．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．3．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．变式训练4(2013·合肥高三第二次质检)已知函数f(x)＝msin x＋cos x.(1)若m＝2，f(α)＝，求cosα；(2)若f(x)的最小值为－，求f(x)在上的值域．【解】(1)由m＝2，得f(a)＝2sin a＋cos a＝，又sin2a＋cos2a＝1，∴cos a＝－或cos a＝1.(2)f(x)＝msin x＋cos x＝sin(x＋φ)≤，∴＝，∴m＝1或m＝－3(舍)，∴f(x)＝sin x＋cos x＝sin.∵x∈，∴x＋∈，∴sin∈，∴f(x)在上的值域为.一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．两个技巧1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－.2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．三种变化1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.(见学生用书第59页)从近两年高考看，运用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题，是各省常考常新的题型，并多以解答题的形式呈现，常与三角函数的图象、解三角形相交汇，具有综合性，试题难度中等，分值12分左右，着重考查转化思想和计算能力．思想方法之十一活用辅助角公式，研究三角函数性质(2013·天津高考)已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1＝－sin 2xcos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2(sin 2x－cos 2x)＝2sin.(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2.故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案．(2)求最值时，误把x的范围当成2x－的范围，导致错误答案．防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必要时应进行检验，看化简结果是否正确．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sin t的图象与性质，确定函数的最值或值域．1．(2012·重庆高考)＝()A．－B．－C.D.【解析】原式＝＝＝＝sin 30°＝.【答案】C 2．(2013·江西高考)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.【解析】cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.【答案】C。