2015届高考数学理复习训练第3章-第3课时两角和与差的正弦余弦和正切公式北师大版.doc

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【A级】基础训练1．(2013·高考全国新课标卷)已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝()A．－B．－C.D．解析：利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cosα＝－＝－.答案：A 2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于()A.B．C.D．解析：由题意得，tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－，又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，∴C＝.答案：A 3．(2013·高考重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝()A.B．C.D．2－1解析：借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解．4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.答案：C 4．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.解析：由已知，得cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝，则有cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，＝，即tanαtanβ＝.答案：5．若角α的终边经过点(1，－2)，则tan的值为________．解析：∵tanα＝＝－2，∴tan＝＝＝.答案：6．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.解析：由于α，β∈，所以<α＋β<2π，<β－<，故cos(α＋β)＝，cos＝－，cos＝cos＝×＋×＝－.答案：－7．已知<α<π，tanα＋＝－.求的值．解：∵tanα＋＝－，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－.又∵<α<π，∴tanα＝－.∴＝＝＝＝＝－.8．(2014·广西玉林二模)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析表达式；(2)若α是三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．解：(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ.得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.于是＝2tanα，即＝2x.∴y＝，即f(x)＝.(2)∵α是三角形的最小内角，∴0<α≤，即0<x≤.∵＝＝2x＋，设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥2当且仅当x＝时取等号，故函数f(x)的值域为【B级】能力提升1．(2012·高考湖南卷)函数f(x)＝sin x－cos的值域为()A．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D．解析：f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝＝sin.x∈R，∴x－∈R.∴f(x)∈[－，]，故选B.答案：B 2．(2014·合肥模拟)已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B．C.D．－解析：由条件知cos＋sinα＝＋sinα＝＝sin＝.∴sin＝.∴sin＝－sinα－cosα＝－＝－sin＝－.答案：D 3．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于()A．－B．－C.D．解析：∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos＝和sin＝－，可得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＋β＝，此时cos(α＋β)＝－，选B.答案：B 4．设α∈，β∈，cos＝，sin＝，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈，α－∈，又cos＝，∴sin＝.∵β∈，∴＋β∈.∵sin＝，∴cos＝－，∴sin(α＋β)＝sin＝－cos＝－cos·cos＋sin·sin＝－×＋×＝.即sin(α＋β)＝.答案：5．(2014·鄂州模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sinβ＝sin(2α＋β)，则tanβ的最大值是________．解析：由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝，∵＋2tanα≥2，∴tanβ的最大值为＝.答案：6．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1.则C等于________．解析：将两式两边分别平方相加，得25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sin C＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sin A＋4cos B<3sin 30°＋4cos 0°＝，这与3sin A＋4cos B＝6相矛盾，∴C＝30°.答案：30°7．(创新题)如图，在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cosα＝，cosβ＝.∵α为锐角，∴sinα>0，故sinα＝＝，同理sinβ＝＝，∴tanα＝＝7，tanβ＝＝.∴tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.∵0<α<，0<β<，∴0<α＋2β<π.∴α＋2β＝.