课时提升作业(十一)函数与方程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·温州模拟)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.由已知得函数定义域为R,f(-1)=e-1-1-4=-5<0,f(0)=e0-4=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,所以f(1)f(2)<0,所以零点在(1,2)上.2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是()A.x1<x2 B.x1>x2 C.x1=x2 D.不能确定【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.3.(2014·济南模拟)已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】利用解方程法,解方程|f(x)|=1求解.【解析】选D.由y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1,若x>0,则|f(x)|=|lnx|=1,所以lnx=1或lnx=-1,解得x=e或x=.若x≤0,则|f(x)|=|kx+2|=1,所以kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-<0或x=-<0成立,所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.4.(2014·宁波模拟)设函数f(x)=log3-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,log32)B.(0,log32)C.(log32,1)D.(1,log34)【解析】选C.由条件知f(1)f(2)<0.即(1-a)(log32-a)<0,即(a-1)(a-log32)<0,解得:log32<a<1.5.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图象的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象如图,从图中可知,两函数共有2个交点,所以函数f(x)的零点的个数为2.6.(2013·哈尔滨模拟)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x-4的零点为n,则+的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.8【思路点拨】在同一坐标系中分别作出三个函数y=ax,y=logax和y=4-x的图象,数形结合求得m+n的值,再求解.【解析】选A.在同一坐标系中作出三个函数y=ax,y=logax,y=4-x的图象如图,由于函数f(x)=ax+x-4的零点为m,则f(m)=am+m-4=0,化为am=4-m,所以函数f(x)的零点m就是函数y=ax,y=4-x交点的横坐标.同理函数g(x)的零点n就是y=logax,y=4-x交点的横坐标.求得直线y=4-x,y=x的交点为(2,2),由于函数y=ax,y=logax的图象关于y=x对称,则=2,即m+n=4,所以m+n=4≥2,mn≤4,+==≥=1.7.(2014·绍兴模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A.(-∞,-1)∪B.C.D.(-∞,-1)∪【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,所以f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.8.(能力挑战题)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=()A.-12 B.-8 C.-4 D.4【思路点拨】根据函数f(x)的性质,作出其在[-8,8]上的图象,数形结合求解.【解析】选B.因为f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(2-x)=f(2+x),所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,f(x)在区间[-8,8]上的大致图象如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知=-6,即x1+x2=-12,同理:x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.二、填空题(每小题5分,共20分)9.设函数f(x)=函数y=f(x)-1的零点个数为.【解析】若x≤0,由f(x)=1得2x=1,所以x=0.若x>0,由f(x)=1得log2x=1,所以x=2.所以函数的零点有2个.答案:2 10.(2014·金华模拟)函数f(x)=cosx-log8x的零点个数为.【解析】由f(x)=0得cosx=log8x,设y=cosx,y=log8x,作出函数y=cosx,y=log8x的图象,由图象可知,函数的零点个数为3.答案:3【方法技巧】判断函数零点个数的技巧由所给函数f(x),令f(x)=0,若方程可解,则一般用解方程法;若方程f(x)=0不可解,则常转化为两熟悉的函数的图象交点问题求解.11.(2014·厦门模拟)对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题:①q=0时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根;④方程f(x)=0至多有两个实数根;其中正确命题的序号为.【解析】若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p),为奇函数,所以①正确.由①知,当q=0时,为奇函数图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以②正确.当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=当f(x)=0,得x=-,只有一解,所以③正确.取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③.答案:①②③12.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图象,根据对称性画函数g(x)的图象,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:8三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2014·长春模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).14.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的范围.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得<a<.15.(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一个实根属于(x1,x2).【证明】(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0,又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.又因为Δ=b2-4ac≥-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=,g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=,所以g(x1)·g(x2)=·=-[f(x1)-f(x2)]2.因为f(x1)≠f(x2),所以g(x1)·g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.即f(x)=[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根.【加固训练】关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.【解析】设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,因为f(0)=1>0,则应用f(2)<0,又因为f(2)=22+(m-1)×2+1,所以m<-.②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则所以所以所以-≤m≤-1.由①②可知m的取值范围(-∞,-1].
