2015届高考数学理一轮复习考点突破学案3-2同角三角函数的基本关系式与诱导公式.doc

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第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，＝tanα.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0πsinα0 1 0cosα1 0－－－1tanα0 1－－0辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(×)(3)(教材练习改编)已知sinα＝，α∈，则cosα＝.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)3．诱导公式的应用(7)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.(×)(8)(2013·广东卷改编)已知sin＝，则cosα＝－.(×)[感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)已知tanα＝2，则＝___________，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sinθ·cosθ＝，且＜θ＜，则cosθ－sinθ的值为________．解析(1)＝＝＝－1，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝＝1.(2)当＜θ＜时，sinθ＞cosθ，∴cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－＝，∴cosθ－sinθ＝－.答案(1)－11(2)－学生用书第52页规律方法(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．【训练1】(1)已知sinα＋cosα＝，0＜α＜π，则tanα＝______.(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα＝________.解析(1)法一联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.又0＜α＜π，∴∴tanα＝－.法二∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝，由得∴tanα＝－.(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cosα＝±.答案(1)－(2)±考点二利用诱导公式化简三角函数式【例2】(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.(2)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝________.解析(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.(2)∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.答案(1)1(2)规律方法(1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．(2)诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0～2π的角的三角函数→锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：＝________.解析(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180°＝0＋0＝0.(2)原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.答案(1)0(2)－1考点三利用诱导公式求值【例3】(1)已知sin＝，则cos＝______；(2)已知tan＝，则tan＝________.解析(1)∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.(2)∵＋＝π，∴tan＝－tan＝－tan＝－.答案(1)(2)－规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．【训练3】(1)已知sin＝，则cos＝________；(2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.解析(1)cos＝cos＝cos＝－cos，而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝－.(2)因为tan(π＋α)＝tanα＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝.答案(1)－(2)1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】(2013·浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan 2α＝()．A.B.C．－D．－[一般解法]由sinα＋2cosα＝，得sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②联立①②，解得或所以tanα＝＝3或－.当tanα＝3时，tan 2α＝＝＝－；当tanα＝－时，tan 2α＝＝＝－.综上，tan 2α＝－.故选C.[优美解法]法一(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－.法二(猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝，cosα＝，这时sinα＋2cosα＝符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案]C[反思感悟](1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(2013·东北三校模拟)已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为()．A.B．－C.D．－解析法一∵0＜θ＜，∴cosθ＞sinθ，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－＝，∴sinθ－cosθ＝－.法二∵sinθ＋cosθ＝，且θ∈.∴θ＋∈，sinθ＋cosθ＝sin＝，即sin＝，又cos＝＝＝，∴sinθ－cosθ＝－(cosθ－sinθ)＝－cos＝－.答案B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα等于()．A．－B.C．－D.解析因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sinα＝.答案D 2．(2014·临川一中一调)sin＋cos－tan＝()．A．0 B.C．1 D．－解析原式＝sin(4π＋)＋cos(－10π＋)－tan(6π＋)＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.答案A 3．(2014·郑州模拟)＝()．A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2)D．cos 2－sin 2解析＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案A 4．(2014·石家庄模拟)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()．A.B．－C．－2 D．2解析由＝5得＝5即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.答案A 5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则＝()．A.B.C.D.解析由5x2－7x－6＝0，得x＝－或2.∴sinα＝－.∴原式＝＝＝.答案B二、填空题6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．解析∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.∴cos＝－sin A＝.答案7．已知sin＝，则cos的值为________．解析cos＝cos＝－sin＝－.答案－8．(2013·江南十校第一次考试)已知sin＝，且－π＜α＜－，则cos＝________.解析∵sin＝，又－π＜α＜－，∴＜－α＜，∴cos＝－＝－.答案－三、解答题9．化简：(k∈Z)．解当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.(1)求sin Acos A的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值．解(1)∵sin A＋cos A＝，①∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－，(2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，∴sin A－cos A＝，②∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2012·辽宁卷)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1 B．－C.D．1解析法一因为sinα－cosα＝，所以sin＝，所以sin＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tanα＝－1.法二因为sinα－cosα＝，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝，所以α＝，所以tanα＝－1.答案A 2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1,则sinα的值是()．A.B.C.D.解析由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角．故sinα＝.答案C二、填空题3．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝45＋＝.答案三、解答题4．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件.学生用书第53页。